Skálaparaméter

A skálaparaméter a valószínűségi eloszlások egy speciális numerikus paramétere, a valószínűségszámítás elméletében és a statisztika területén.

Minél nagyobb a skálaparaméter, annál terjedelmesebb, szétszórtabb az eloszlás.

Definíció

Ha a valószínűségi eloszlásoknál van egy s paraméter (és más paraméter θ), melyekre a kumulatív eloszlásfüggvény kielégíti az alábbiakat:

F (x; s, θ) = F (x / s; 1, θ),

akkor s–t skálaparaméternek hívják, mivel ez az érték határozza meg a valószínűségi eloszlás szétszórtságát, skáláját (arányait).

Ha s nagy, akkor az eloszlás terjedelmes, szétszórt lesz, ha s kis értékű, akkor az eloszlás koncentráltabb.

Ha a valószínűség-sűrűség létezik az összes paraméter értékre, akkor a sűrűség (csak mint a skálaparaméter függvénye) kielégíti:

f_{s} (x) = f (x / s) / s,

függvényt, ahol f a sűrűség standardizált változatának a jele.

$f_{s}$ -et felírhatjuk $g (x) = x / s$ kifejezéssel is, a következőképpen:

f_{s} (x) = f (x / s) \times 1 / s = f (g (x)) \times g^{'} (x) .

Mivel f a valószínűség sűrűség függvény:

1 = \int_{- \infty}^{\infty} f (x) d x = \int_{g (- \infty)}^{g (\infty)} f (x) d x .

A behelyettesítési szabály alkalmazásával:

1 = \int_{- \infty}^{\infty} f (g (x)) \times g^{'} (x) d x = \int_{- \infty}^{\infty} f_{s} (x) d x .

Így $f_{s}$ szintén helyesen normalizált lett.

Néhány eloszlás használja az úgynevezett arányparamétert, mely egyszerűen a skálaparaméter reciproka.

Így például az exponenciális eloszlás β skálaparaméterrel és valószínűség sűrűséggel

f (x; β) = \frac{1}{β} e^{- x / β}, x \geq 0

leírható a λ arányparaméterrel is:

f (x; λ) = λ e^{- λ x}, x \geq 0 .

A normális eloszlásnak két paramétere van: a helyparaméter $μ$ és a skálaparaméter $σ$ .

Praktikus okokból a normális eloszlást gyakran jellemzik a skálaparaméter négyzetével, $σ^{2}$ , mely megfelel az eloszlás szórásnégyzetének.

A gamma-eloszlást rendszerint $θ$ skálaparaméterrel jellemzik, vagy annak inverzével.
Például, ha a helyparaméter és a skálaparaméter is egyenlő zérussal, akkor a normális eloszlás standard normális eloszlásként ismert, és a Cauchy-eloszlás is, mint standard Cauchy-eloszlás.