Stirling-formula

A Stirling-formula a faktoriális függvény nagy értékeinek becslését segíti aszimptotika megadásával.

Eszerint $n!\sim \sqrt{2\pi n}{\left(\frac{n}{e}\right)}^n$ ahol e a természetes logaritmus alapja, a $\sim$ jel pedig azt jelenti, hogy a két oldal aszimptotikusan egyenlő.

A Stirling-formulának ott van nagy jelentősége, ahol sokszor kell nagy binomiális együtthatókra jó becsléseket adni, tehát a valószínűségszámításban, de a matematika szinte minden ágában felhasználják. A formula igaz a gamma-függvényre is:

$\mathrm{\Gamma }\left(z\right)\sim \sqrt{\frac{2\pi }{z}}{\left(\frac{z}{e}\right)}^z,$

ha $z\to \mathrm{\infty }$ és $\left|\arg z\right|<\pi$.

Története

James Stirling skót matematikus az 1730-as Methodus Differentialis című művében mutatta be a logaritmusfüggvénnyel kapcsolatos összegzési eredményeit. Állítása szerint a $\log 1+\log 2+\cdots +\log n=\log n!$ kifejezés értéke a következő sor első három vagy négy tagjának felhasználásával megkapható (ahol log a természetes logaritmus függvény):

$\left(n+\frac{1}{2}\right)\log \left(n+\frac{1}{2}\right)-\left(n+\frac{1}{2}\right)+\frac{1}{2}\log \left(2\pi \right)-\frac{1}{24\left(n+\frac{1}{2}\right)}+\frac{7}{2880{\left(n+\frac{1}{2}\right)}^3}-\cdots$

A végtelen sor együtthatóira rekurziós összefüggést adott meg, de explicit képlettel nem rendelkezett. Az általános tag $k\ge 1$ esetén a következő:

$\frac{\left(2^{1-2k}-1\right)B_{2k}}{2k\left(2k-1\right){\left(n+\frac{1}{2}\right)}^{2k-1}},$

ahol B_k a Bernoulli-féle számokat jelöli. Stirling eredményeit látva, Abraham de Moivre Miscellaneis Analyticis Supplementum című művében felfedezett egy egyszerűbb képletet:

$\left(n+\frac{1}{2}\right)\log n-n+\frac{1}{2}\log \left(2\pi \right)+\frac{1}{12n}-\frac{1}{360n^3}+\cdots$

Ebben az esetben az általános tag

$\frac{B_{2k}}{2k\left(2k-1\right)n^{2k-1}}.$

A képletben látható $\frac{1}{2}\log \left(2\pi \right)$ tag a történet szerint Stirling érdeme volt, ezért az első összefüggéssel ellentétben De Moivre képlete vált ismertté Stirling-formula (vagy Stirling-sor) néven.

Bizonyítás

De Moivre formuláját bizonyítjuk a gamma-függvényre. Euler képletéből indulunk ki:

$\mathrm{\Gamma }\left(z\right)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{n!n^z}{z\left(z+1\right)\cdots \left(z+n-1\right)}.$

A logaritmikus deriváltra áttérve (mindvégig feltesszük, hogy $\mathrm{\Re }(z)>0$)

$\psi \left(z\right):=\frac{{\mathrm{\Gamma }}^{\prime }\left(z\right)}{\mathrm{\Gamma }\left(z\right)}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\left(\log n-\frac{1}{z}-\frac{1}{z+1}-\cdots -\frac{1}{z+n-1}\right)$

$=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\left(\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{e^{-t}-e^{-nt}}{t}dt-\sum _{r=0}^{n-1}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-\left(z+r\right)t}dt\right)$

$=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\left(\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{e^{-t}-e^{-nt}}{t}dt-\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{1-e^{-nt}}{1-e^{-t}}{e}^{-zt}dt\right)$

$=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\left(\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{e^{-t}}{t}-\frac{e^{-zt}}{1-e^{-t}}dt-\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\left(\frac{1}{t}-\frac{e^{-zt}}{1-e^{-t}}\right)e^{-nt}dt\right)$

$=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\left(\frac{e^{-t}}{t}-\frac{e^{-zt}}{1-e^{-t}}\right)dt=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{e^{-t}-e^{-zt}}{t}dt+\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\left(\frac{1}{t}-\frac{1}{1-e^{-t}}\right)e^{-zt}dt$

$=\log z+\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\left(\frac{1}{t}-\frac{1}{1-e^{-t}}\right)e^{-zt}dt.$

Az utolsó lépésben a zárójelben lévő függvény analitikus a 0 pontban és ott hatványsora a következő alakú:

$\frac{1}{t}-\frac{1}{1-e^{-t}}=-\frac{1}{2}-\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{B_{2k}}{\left(2k\right)!}{t}^{2k-1},$

ahol B_k ismét a Bernoulli-féle számokat jelöli. Függvényünk pozitív $t$ esetén korlátos, ezért alkalmazható az aszimptotikus analízis egyik fontos állítása, a Watson-lemma, így

$\psi \left(z\right)\sim \log z-\frac{1}{2z}-\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{B_{2k}}{2k}\frac{1}{z^{2k}},\left|z\right|\to \mathrm{\infty },\left|\arg z\right|<\frac{\pi }{2}.$

Most mindkét oldalt integrálva

$\log \mathrm{\Gamma }\left(z\right)\sim \left(z-\frac{1}{2}\right)\log z-z+C+\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{B_{2k}}{2k\left(2k-1\right)z^{2k-1}}$

adódik valamilyen $C$ konstans mellett. A konstans meghatározásához a kapott sort helyettesítsük Legendre duplikációs képletébe:

$\log \mathrm{\Gamma }\left(z\right)+\log \mathrm{\Gamma }\left(z+\frac{1}{2}\right)+\left(2z-1\right)\log 2=\log \mathrm{\Gamma }\left(2z\right)+\frac{1}{2}\log \pi .$

Határértéket véve $C=\frac{1}{2}\log \left(2\pi \right)$-t fogunk kapni. A formulát itt csak $\left|\arg z\right|<\frac{\pi }{2}$ esetén bizonyítottuk, megjegyzendő azonban, hogy fennáll akkor is, ha $\left|\arg z\right|<\pi$.

Érdemes észrevenni, hogy ha a kapott eredményt ismét a Legendre-féle összefüggésbe helyettesítjük $\log \mathrm{\Gamma }\left(z+\frac{1}{2}\right)$-t meghagyva, majd arra rendezve, $z=n+\frac{1}{2}$-et helyettesítve, végül felhasználva, hogy $\log \mathrm{\Gamma }\left(n+1\right)=\log n!$, éppen Stirling eredeti sorát kapjuk.

Konvergencia és exponenciális alak

A fentebb bizonyított aszimptotikus sor semmilyen $z$ esetén sem konvergens, ami a Bernoulli számok rohamos növekedéséből is jól látszik. Jó közelítést kaphatunk viszont, ha csak az első néhány tagot tartjuk meg.

A De Moivre-féle sor mindkét oldalának exponenciálissá tételével kapjuk a szintén Stirling-formula néven ismert formulát:

$\mathrm{\Gamma }\left(z\right)\sim {\left(\frac{z}{e}\right)}^z\sqrt{\frac{2\pi }{z}}\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{\left(2k+1\right)!!a_{2k+1}}{z^k}={\left(\frac{z}{e}\right)}^z\sqrt{\frac{2\pi }{z}}\left(1+\frac{1}{12z}+\frac{1}{288z^2}-\cdots \right),$ ahol $a_k$ az

$a_k=\frac{a_{k-1}}{k+1}-\frac{1}{2}\sum _{i=1}^{k-1}{a}_i{a}_{k+1-i},a_1=1,a_2=\frac{1}{3}$

rekurzióval számítható. Stirling eredeti sorára

$\mathrm{\Gamma }\left(z+\frac{1}{2}\right)\sim {\left(\frac{z}{e}\right)}^z\sqrt{2\pi }\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{b_k}{z^k}={\left(\frac{z}{e}\right)}^z\sqrt{2\pi }\left(1-\frac{1}{24z}+\frac{1}{1152z^2}+\cdots \right)$

adódik. Bevezetve a $c_k:=\left(2k+1\right)!!a_{2k+1}$ jelölést, Legendre duplikációs képletéből

$b_k=\frac{1}{2^k}\sum _{i=0}^k{\left(-1\right)}^i{2}^i{c}_{k-i}{c}_i.$

Hibabecslés

Tetszőleges pozitív egész $N$ esetén vezessük be a következő jelöléseket:

$\log \mathrm{\Gamma }\left(z\right)=\left(z-\frac{1}{2}\right)\log z-z+\frac{1}{2}\log \left(2\pi \right)+\sum _{k=1}^{N-1}\frac{B_{2k}}{2k\left(2k-1\right)z^{2k-1}}+R_N\left(z\right)$

és

$\mathrm{\Gamma }\left(z\right)={\left(\frac{z}{e}\right)}^z\sqrt{\frac{2\pi }{z}}\left(\sum _{k=0}^{N-1}\frac{c_k}{z^k}+{\tilde{R}}_N\left(z\right)\right).$

Ekkor

$\left|R_N\left(z\right)\right|\le \frac{\left|B_{2N}\right|}{2N\left(2N-1\right){\left|z\right|}^{2N-1}}\{\begin{array}{cc}1& \text{ ha }|\arg z|\le \frac{\pi }{4},\\ \left|\csc (\arg z)\right|& \text{ ha }\frac{\pi }{4}<|\arg z|<\frac{\pi }{2},\\ {\sec }^{2N}\left(\frac{\arg z}{2}\right)& \text{ ha }|\arg z|<\pi ,\end{array}$

és

$\left|{\tilde{R}}_N\left(z\right)\right|\le \left(\frac{\left|c_N\right|}{{\left|z\right|}^N}+\frac{\left|c_{N+1}\right|}{{\left|z\right|}^{N+1}}\right)\{\begin{array}{cc}1& \text{ ha }|\arg z|\le \frac{\pi }{4},\\ \left|\csc (\arg z)\right|& \text{ ha }\frac{\pi }{4}<|\arg z|<\frac{\pi }{2}.\end{array}$

További információk és hibabecslések a megjelölt forrásokban találhatók.

A Stirling formula konvergens változata

1763-ban Thomas Bayes John Cantonnak írt levelében bizonyította be, hogy a Stirling-sor nem ad konvergens sorfejtést a faktoriálisra.[1]

A Stirling-formula egy konvergens változatának meghatározásához a következő összefüggést alkalmazhatjuk:

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{2\arctan \frac{t}{z}}{\exp (2\pi t)-1}dt=\log \mathrm{\Gamma }(z)-(z-\frac{1}{2})\log z+z-\frac{1}{2}\log (2\pi ).$

Célba érünk, ha konvergens sor segítségével állítjuk elő az integrált. Ha $z^{\bar{n}}=z(z+1)\cdots (z+n-1)$, akkor

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{2\arctan \frac{t}{z}}{\exp (2\pi t)-1}dt=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{c_n}{(z+1{)}^{\bar{n}}}$

ahol

$c_n=\frac{1}{n}\underset{0}{\overset{1}{\int }}{x}^{\bar{n}}(x-\frac{1}{2})dx=\frac{1}{2n}\sum _{k=1}^n\frac{k\left|s(n,k)\right|}{\left(k+1\right)\left(k+2\right)},$

ahol $s\left(n,k\right)$ az Elsőfajú Stirling-számokat jelöli. Ebből a Stirling-formula következő változatát nyerjük

$\log \mathrm{\Gamma }(z)=(z-\frac{1}{2})\log z-z+\frac{\log 2\pi }{2}$

$+\frac{1}{12(z+1)}+\frac{1}{12(z+1)(z+2)}+\frac{59}{360(z+1)(z+2)(z+3)}+\frac{29}{60(z+1)(z+2)(z+3)(z+4)}+\cdots ,$

ami konvergens, ha $\mathrm{\Re }(z)>0$.

Zárt közelítések

Az alábbiakban néhány zárt közelítés látható, amelyek a "sima" Stirling-formulánál jobb becsléseket adnak.

Gosper [2]:

$n!\sim {\left(\frac{n}{e}\right)}^n\sqrt{2\pi \left(n+\frac{1}{6}\right)}$

Robert H. Windschitl [3]:

$n!\sim {\left(\frac{n}{e}\sqrt{n\sinh \frac{1}{n}}\right)}^n\sqrt{2\pi n}$

Nemes Gergő [4]:

$n!\sim {\left(\frac{n}{e}{\left(1+\frac{1}{15n^2}\right)}^{5/4}\right)}^n\sqrt{2\pi n}$

$n!\sim {\left(\frac{1}{e}\left(n+\frac{1}{12n-\frac{1}{10n}}\right)\right)}^n\sqrt{2\pi n}$

Ez utóbbi három formula jól alkalmazható programozható számológépekben a gamma-függvény értékeinek közelítésére.

A faktoriális logaritmusa

A relatív hiba (log x!) és (x log x – x) között x növekedtével 0-hoz tart

A faktoriális logaritmusának közelítő értékét megadó képletet is Stirling-formulának nevezik, és a következőt mondja ki:

$\log n!\approx n\log n-n$

minden elég nagy természetes n számra, ahol log a természetes logaritmus függvény.

Lásd még

• Spouge-formula

Források

Faktoriális algoritmusok

• Faktoriális algoritmusok

Faktoriális közelítései

• Közelítő képletek

Számológépek a faktoriálishoz

• Számológépek a faktoriálishoz