Bienaymé-formula

A Bienaymé-formula egy alapvető összefüggés a szórásnégyzettel (variancia) kapcsolatban.

A valószínűségszámításban az eloszlásokat számos paraméterrel lehet jellemezni. A szórásnégyzet azt mutatja meg, hogy egy valószínűségi változó milyen mértékben szóródik a várható értéktől (középérték), más szóval mennyire kenődik el. A szórásnégyzet paramétert az eloszlások megkülönböztetésére is alkalmazzák. Az egyik ok, hogy előnyben részesítik más szórást jellemző paraméterrel szemben, az a korrelálatlan valószínűségi változókra érvényes Bienaymé-formula:

$\mathrm{Var}\left(\sum _{i=1}^n{X}_i\right)=\sum _{i=1}^n\mathrm{Var}(X_i).$

Ezt az összefüggést Bienaymé fedezte fel 1853-ban. Irénée-Jules Bienaymé (1796 – 1878) francia statisztikus volt.

Gyakran azt a feltételt fogalmazzák meg, hogy a független változókra érvényes a kifejezés, de a korrelálatlanság elégséges feltétel. Ha minden változónak hasonló a szórásnégyzete σ², akkor, mivel az n-nel történő osztás lineáris transzformáció, a szórásnégyzet várható értéke:

$\mathrm{Var}\left(\bar{X}\right)=\mathrm{Var}\left(\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i\right)=\frac{1}{n^2}\sum _{i=1}^n\mathrm{Var}\left(X_i\right)=\frac{{\sigma }^2}{n}.$

Ha n nő, akkor a szórásnégyzet várható értéke csökken. Ezt az összefüggést a mintavétel átlagainak standard hiba definíciójánál használják, melyet a központi határérték elméletnél alkalmaznak.

Irodalom

• Sablon:CitLib

Kapcsolódó szócikkek

• Valószínűség-eloszlások listája
• Normális eloszlás
• Bernoulli-eloszlás
• Binomiális eloszlás
• Sűrűségfüggvény
• Skálaparaméter
• Alakparaméter
• Gumbel-eloszlás
• Eloszlásfüggvény
• Valószínűségszámítás
• Statisztika
• Matematikai statisztika
• Burr-eloszlás
• Lapultság
• Módusz
• Variancia
• Binomiális eloszlás
• Negatív binomiális eloszlás
• Geometriai eloszlás
• Hipergeometrikus eloszlás
• Béta-binomiális eloszlás
• Kategorikus-eloszlás
• Multinomiális eloszlás
• Többváltozós hipergeometrikus eloszlás
• Poisson-eloszlás
• Exponenciális eloszlás
• Khí-négyzet eloszlás
• T-eloszlás
• F-eloszlás
• Bayes-tétel
• Béta-eloszlás
• Gamma-eloszlás
• Dirichlet-eloszlás
• Wishart-eloszlás