Bernoulli-eloszlás

A valószínűségszámításban és a statisztika területén a Bernoulli-eloszlás egy diszkrét valószínűség-eloszlás.

Ezt az eloszlást Jakob Bernoulli (1654-1705) svájci matematikusról nevezték el.

Egy Bernoulli-kísérlet kimenetele kétféle lehet, ennek megfelelően a Bernoulli-eloszlás két értéket vehet fel: ha a p valószínűségű esemény bekövetkezik, akkor 1 értékét vesz fel, ha nem következik be, akkor 0 értéket vesz fel.

Így ha X valószínűségi változó ezt az eloszlást követi, akkor:

$\mathrm{Pr}(X=1)=p\text{ és }\mathrm{Pr}(X=0)=1-p=q.$

A Bernoulli-eloszlás klasszikus példája, ha feldobunk egy pénzérmét. Az érme p valószínűséggel esik le fejre, és 1-p valószínűséggel írásra.

A kísérlet akkor korrekt, ha p=0,5.

A valószínűség tömegfüggvénye:

$f(k;p)=\{\begin{array}{cc}p& \text{ha }k=1,\\ 1-p& \text{ha }k=0.\end{array}$

Ezt a következőképpen is kifejezhetjük:

$f(k;p)=p^k(1-p{)}^{1-k}\text{ha }k\in \{0,1\}.$

A Bernoulli valószínűségi változó X várható értéke $E\left(X\right)=p$, szórásnégyzete:

$\text{var}\left(X\right)=p(1-p).$

A Bernoulli-eloszlás, a binomiális eloszlás speciális esete.

Az eloszlás lapultsága, a p alacsony, és magas értékeinél végtelenhez tart, de p=1/2 esetben, a Bernoulli eloszlás lapultsága alacsonyabb bármely más valószínűség eloszlásnál (-2). A Bernoulli-eloszlás az úgynevezett exponenciális családba tartozik.

A p maximális valószínűségi becslése az átlagos minta véletlenszerű mintáján alapul.

Kapcsolódó eloszlások

• Ha $X_1,\dots ,X_n$ független, Bernoulli-eloszlású valószínűségi változók p valószínűséggel, akkor

$Y=\sum _{k=1}^n{X}_k\sim \mathrm{B}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{o}\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{l}(n,p)$ (binomiális eloszlás (n,p) paraméterekkel). A Bernoulli-eloszlás a binomiális eloszlás speciális esete: $\mathrm{B}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{o}\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{l}(1,p)$.

• A kategorikus eloszlás a Bernoulli-eloszlás általánosítása diszkrét értékű konstansokra.
• A béta-eloszlás a Bernoulli-eloszlás konjugált priorja.

Kapcsolódó szócikkek

• Sűrűségfüggvény
• Skálaparaméter
• Alakparaméter
• Lapultság
• Binomiális eloszlás
• Gamma-eloszlás
• Gumbel-eloszlás
• Eloszlásfüggvény
• Valószínűségszámítás
• Valószínűségi változó
• Kategorikus eloszlás
• Béta-eloszlás

Források

• Sablon:CitLib
• Sablon:CitLib
• Sablon:Mathworld