Hipergeometrikus eloszlás

Az X valószínűségi változó hipergeometrikus eloszlást követ – vagy rövidebben hipergeometrikus eloszlású – pontosan akkor, ha

$𝐏(X=k)=\frac{(\genfrac{}{}{0ex}{}{M}{k})(\genfrac{}{}{0ex}{}{N-M}{n-k})}{(\genfrac{}{}{0ex}{}{N}{n})}$

ahol max{0, n – N + M} ≤ k ≤ min{n, M}. A hipergeometrikus eloszlás a visszatevés nélküli mintavételt írja le.

Szemléletes jelentése: Van N termékünk, ebből M selejtes. Mi annak a valószínűségét akarjuk kiszámolni, hogy n-et (visszatevés nélkül) kihúzva pontosan k selejtes lesz a kezünkben.

Az ötöslottó találati valószínűségeit pontosan így számolhatjuk ki: 90 "termékből" 5 kitüntetett (azaz kihúzták a sorsoláson), mi 5-öt választunk (azaz töltünk ki a szelvényünkön), és mennyi a valószínűsége, hogy a sorsoltakból k a mi szelvényünkön szerepel.

A hipergeometrikus eloszlást jellemző függvények

Karakterisztikus függvénye

Generátorfüggvénye

A hipergeometrikus eloszlást jellemző számok

Várható értéke

$𝐄(X)=\frac{nM}{N}$.

Szórása

$𝐃(X)=\sqrt{n\frac{N-n}{N-1}\cdot \frac{M}{N}(1-\frac{M}{N})}$

Momentumai

Ferdesége

${\beta }_1(X)=\frac{(1-\frac{M}{N})*\frac{M}{N}}{{[n\frac{N-n}{N-1}\cdot \frac{M}{N}(1-\frac{M}{N})]}^{\frac{1}{2}}}\cdot \frac{N-2n}{N-2}=\frac{(1-\frac{M}{N})*\frac{M}{N}}{𝐃(X)}\cdot \frac{N-2n}{N-2}$

Lapultsága

Hipergeometrikus eloszlású valószínűségi változók néhány fontosabb tulajdonsága

• Ha N és M a végtelenbe tart úgy, hogy M / N egy 0 és 1 közötti p konstanshoz tart, akkor a hipergeometrikus eloszlások sorozata a binomiális eloszláshoz tart. (Az összefüggés lényegében azt mondja ki, hogy a visszatevés nélküli mintavétel egyre nagyobb mintákon egyre jobban hasonlít a visszatevéses mintavételhez.)

Források

• Fazekas I. (szerk.) (2000): Bevezetés a matematikai statisztikába. Kossuth Egyetemi Kiadó, Debrecen.