Projektor mátrix

A projektor mátrix vagy idempotens mátrix egy olyan négyzetes mátrix, amelynek minden sajátértéke 0 vagy 1. Minden n×n-es projektor mátrixnak van n darab lineárisan független sajátvektora. Ha egy n×n-es projektor mátrix rangja n, akkor az az egységmátrix. Négyzetre (és ebből következően bármilyen hatványra) emelve önmagát eredményezi.

Példák

2×2-es idempotens mátrixok:

$\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$

$\left(\begin{array}{cc}3& -6\\ 1& -2\end{array}\right)$

Egy 3×3-as idempotens mátrix:

$\left(\begin{array}{ccc}2& -2& -4\\ -1& 3& 4\\ 1& -2& -3\end{array}\right)$

A 2×2-es eset

Ha az $\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$ mátrix idempotens, akkor $\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$. Ebből következik, hogy

• $a=a^2+bc$,
• $b=ab+bd$, azaz $b(1-a-d)=0$, tehát $b=0$ vagy $d=1-a$,
• $c=ca+cd$, azaz $c(1-a-d)=0$, tehát $c=0$ vagy $d=1-a$, és
• $d=bc+d^2$.

Egy 2×2-es mátrix tehát akkor idempotens, ha vagy diagonális mátrix, vagy pedig nyoma 1. Megjegyzendő, hogy az idempotens diagonális mátrix esetében az a és a d értéke 1 vagy 0.

Speciálisan

Ha b = c, akkor az $\left(\begin{array}{cc}a& b\\ b& 1-a\end{array}\right)$ mátrix idempotens lesz, feltéve ha $a^2+b^2=a$, vagyis az (a, b) számpár kielégíti a következő másodfokú egyenletet:

$a^2-a+b^2=0$, vagy $(a-\frac{1}{2}{)}^2+b^2=\frac{1}{4}$,

ami egy olyan kör egyenlete, amely középpontjának a koordinátái ($\frac{1}{2}$, 0) és a sugara $\frac{1}{2}$. Az (a, b) koordinátájú pontok e kör pontjai. A θ szög mint paraméter függvényében kifejezve

$a=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cos \theta$,

$b=\frac{1}{2}\sin \theta$, és az

$M=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{cc}1+\cos \theta & \sin \theta \\ \sin \theta & 1-\cos \theta \end{array}\right)$ mátrix idempotens.

A b = c nem egy feltétel,

bármelyik $\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& 1-a\end{array}\right)$ mátrix, ahol $a^2+bc=a$ fennáll, idempotens, így például a fentebb említett $\left(\begin{array}{cc}3& -6\\ 1& -2\end{array}\right)$ is az.

Tulajdonságok

Az egységmátrix kivételével az idempotens mátrixok nem invertálható (szinguláris) mátrixok. Valóban, ha $M$ invertálható idempotens mátrix, akkor $MM=M$, ahonnan mindkét oldalt balról $M^{-1}$-zel szorozva $M=IM=M^{-1}MM=M^{-1}M=I$ adódik. Nem-triviális idempotens mátrixokban tehát a független sorok (és oszlopok) száma kisebb mint a sorok (és oszlopok) száma.

Ha az idempotens mátrixot kivonjuk az egységmátrixból, az eredmény egy szintén idempotens mátrix lesz, a következők szerint: [I − M][I − M] = I − M − M + M² = I − M − M + M = I − M.

Az $A$ mátrix idempotens akkor és csak is akkor, ha bármilyen pozitív n számnál $A^n=A$. Az „akkor” feltétel következik abból ha $n=2$. A „csak is akkor” feltételt matematikai indukcióval lehet bizonyítani. Az $n=1$ esetében világos, hogy $A^1=A$. Feltételezve hogy $A^{k-1}=A$, akkor $A^k=A^{k-1}A=AA=A$ megfelel a követelménynek. Az indukciót alkalmazva az eredmény nyilvánvaló.

Egy idempotens mátrix mindig átlósítható és a sajátértékei 0 vagy 1. Egy idempotens mátrix nyoma (főátlójában lévő elemek összege) egyenlő a mátrix rangjával és az mindig egész szám. Ez egyszerűvé teszi egy olyan mátrix rangjának illetve a nyomának megállapítását aminek az elemei nem ismertek, ami a nagy segítséget nyújt különböző ökonometriai és valószínűség (Variancia) számításoknál.

Alkalmazások

Az idempotens mátrixok gyakran előfordulnak a regressziószámításban és az ökonometriában. Például a legkisebb négyzeteknél (OLS), a regressziós probléma egy olyan $\beta$ vektor választása ami minimálisra csökkenti a négyzetösszeg maradékokat (félrebecsléseket), e_i.

Mátrix formában:

$\text{Minimize }(y-X\beta {)}^T(y-X\beta )$

ahol y a függő változó vektora és az X egy mátrix amelyiknek minden oszlopa egy független változó vektora.

A kapott együttható:

$\hat{\beta }=(X^{T}X{)}^{-1}{X}^{T}y$

ahol a T egy transzponált mátrixot jelez és a maradék vektor

$\hat{e}=y-X\hat{\beta }=y-X(X^{T}X{)}^{-1}{X}^{T}y=[I-X(X^{T}X{)}^{-1}{X}^T]y=My.$

Itt, úgy az M mint az $X(X^{T}X{)}^{-1}{X}^T$ (projekciós) mátrix idenpotens és szimmetrikus, ami lehetővé teszi az egyszerűsítést a négyzetösszeg maradékok számításánál

${\hat{e}}^T\hat{e}=(My{)}^T(My)=y^T{M}^{T}My=y^{T}MMy=y^{T}My.$

Az M idempotenssége szerepet játszik más számításokban is, pl. egy együttható varianciájának a megállapításánál, $\hat{\beta }$.

Források

• Mátrixaritmetika Sablon:Wayback