Hurwitz-féle zéta-függvény

A matematikában a Hurwitz-féle zéta-függvény a zéta-függvények egyike. Formális definíciója s, q komplex argumentumokra, ha Re(s) > 1 és Re(q) > 0:

$\zeta (s,q)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{(q+n{)}^s}.$

A fent megadott tartományon abszolút konvergens, és kiterjeszthető a komplex síkra úgy, hogy s≠1. A Riemann-féle zéta-függvény ennek egy speciális esete: ζ(s,1).

Hurwitz-féle zéta-függvény, ha q=1/3. Tartományszínezéses módszerrel generálva a Matplotlib felhasználásával. A piros szín pozitív, a kékeszöld negatív valós értékeket jelez

Analitikus folytatás

Hurwitz-féle zéta-függvény, ha q=24/25

Ha $\mathrm{R}\mathrm{e}(s)\le 1$, akkor a függvény definiálható, mint:

$\zeta (s,q)=\mathrm{\Gamma }(1-s)\frac{1}{2\pi i}\underset{C}{\int }\frac{z^{s-1}{e}^{qz}}{1-e^z}dz$

ahol az integráció $C$ útvonala hurok a negatív tengely körül. Ezzel $\zeta (s,q)$ analitikusan folytatható s-ben.

A Hurwitz-féle zéta-függvény ezzel a folytatással meromorf, ami minden $s$ komplex számra definiálható, amire $s\ne 1$. Az $s=1$ helyen elsőrendű pólusa van, és reziduuma 1. A konstans term

$\underset{s\to 1}{\lim }[\zeta (s,q)-\frac{1}{s-1}]=\frac{-{\mathrm{\Gamma }}^{\prime }(q)}{\mathrm{\Gamma }(q)}=-\psi (q)$

ahol $\mathrm{\Gamma }$ a gamma-függvény, és $\psi$ a digamma-függvény.

Sorfejtés

Hurwitz-féle zéta-függvény, mint q függvénye. Itt s rögzített, s=3+4i

Helmut Hasse konvergens Newton-sor reprezentációt definiált minden valós q > 0 és minden s ≠ 1 esetére 1930-ban:

$\zeta (s,q)=\frac{1}{s-1}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n+1}\sum _{k=0}^n(-1{)}^k(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})(q+k{)}^{1-s}.$

A sor egyenletesen konvergál az s-sík kompakt halmazain egy egészfüggvényhez. A belső összeg érthető, mint $q^{1-s}$ n-edik hátradifferenciálja; azaz,

${\mathrm{\Delta }}^n{q}^{1-s}=\sum _{k=0}^n(-1{)}^{n-k}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})(q+k{)}^{1-s}$

ahol Δ az előredifferenciál operátor. Tehát

$\begin{array}{cc}\zeta (s,q)& =\frac{1}{s-1}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{n+1}{\mathrm{\Delta }}^n{q}^{1-s}\\ & =\frac{1}{s-1}\frac{\log (1+\mathrm{\Delta })}{\mathrm{\Delta }}{q}^{1-s}\end{array}$

Integrál reprezentáció

A függvény integrálreprezentációja Mellin-transzformációval kapható:

$\zeta (s,q)=\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(s)}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{t^{s-1}{e}^{-qt}}{1-e^{-t}}dt$

ha $\mathrm{\Re }s>1$ és $\mathrm{\Re }q>0.$

Hurwitz képlete

Hurwitz képlete:

$\zeta (1-s,x)=\frac{1}{2s}[e^{-i\pi s/2}\beta (x;s)+e^{i\pi s/2}\beta (1-x;s)]$

ahol

$\beta (x;s)=2\mathrm{\Gamma }(s+1)\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\exp (2\pi inx)}{(2\pi n{)}^s}=\frac{2\mathrm{\Gamma }(s+1)}{(2\pi {)}^s}{\text{Li}}_s(e^{2\pi ix})$

a zéta egy reprezentációja, ami érvényes $0\le x\le 1$ and s > 1. Itt ${\text{Li}}_s(z)$ a polilogaritmus.

Függvényegyenlet

A függvényegyenlet kapcsolatot teremt a jobb és a bal félsíkon felvett értékek között. Egész $1\le m\le n$ esetén

$\zeta (1-s,\frac{m}{n})=\frac{2\mathrm{\Gamma }(s)}{(2\pi n{)}^s}\sum _{k=1}^n[\cos (\frac{\pi s}{2}-\frac{2\pi km}{n})\zeta (s,\frac{k}{n})]$

fennáll minden s értékre.

Taylor-sorok

A zéta függvényt a második argumentumában vett parciális deriválás eltolja:

$\frac{\partial }{\partial q}\zeta (s,q)=-s\zeta (s+1,q).$

Emiatt a Taylor-sornak különböző árnyékformája van:

$\zeta (s,x+y)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{y^k}{k!}\frac{{\partial }^k}{\partial x^k}\zeta (s,x)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(\genfrac{}{}{0ex}{}{s+k-1}{s-1})(-y{)}^k\zeta (s+k,x).$

Alternatívan,

$\zeta (s,q)=\frac{1}{q^s}+\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(-q{)}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{s+n-1}{n})\zeta (s+n),$

ahol $|q|<1$.

Közeli rokon a Stark–Keiper formula:

$\zeta (s,N)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}[N+\frac{s-1}{k+1}](\genfrac{}{}{0ex}{}{s+k-1}{s-1})(-1{)}^k\zeta (s+k,N)$

ami egész N-ekre és tetszőleges s-re teljesül. Lásd még Faulhaber képletét hasonló kapcsolatért egészek hatványainak véges összegével.

Laurent-sor

A Laurent-sorkifejtés használható a Stieltjes-konstansok definiálásához:

$\zeta (s,q)=\frac{1}{s-1}+\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{n!}{\gamma }_n(q)(s-1{)}^n.$

Speciálisan ${\gamma }_0(q)=-\psi (q)$ és ${\gamma }_0(1)=-\psi (1)={\gamma }_0=\gamma$.

Fourier-transzformált

A Hurwitz-féle zéta-függvény s szerinti diszkrét Fourier-transzformáltja a Legendre-féle khi-függvény.

Kapcsolat a Bernoulli-polinomokkal

A fent definiált $\beta$ függvény a Bernoulli-polinomok általánosítása:

$B_n(x)=-\mathrm{\Re }[(-i{)}^n\beta (x;n)]$

ahol $\mathrm{\Re }z$ a z komplex szám valós része. Alternatívan

$\zeta (-n,x)=-\frac{B_{n+1}(x)}{n+1}.$

Speciálisan $n=0$ esetén:

$\zeta (0,x)=\frac{1}{2}-x.$

Kapcsolat a Jacobi-féle théta-függvénnyel

Ha $\vartheta (z,\tau )$ a Jacobi-féle théta-függvény, akkor

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}[\vartheta (z,it)-1]t^{s/2}\frac{dt}{t}={\pi }^{-(1-s)/2}\mathrm{\Gamma }\left(\frac{1-s}{2}\right)[\zeta (1-s,z)+\zeta (1-s,1-z)]$

teljesül minden $\mathrm{\Re }s>0$ és komplex, de nem egész z esetén. Ha z=n egész, az összefüggés egyszerűsíthető:

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}[\vartheta (n,it)-1]t^{s/2}\frac{dt}{t}=2{\pi }^{-(1-s)/2}\mathrm{\Gamma }\left(\frac{1-s}{2}\right)\zeta (1-s)=2{\pi }^{-s/2}\mathrm{\Gamma }\left(\frac{s}{2}\right)\zeta (s).$

ahol ζ a Riemann-féle zéta-függvény. Jegyezzük meg, hogy ez utóbbi forma függvényegyenlet a Riemann-féle zéta-függvényre, és ez Riemanntól származik. A különbség annak tulajdonítható, hogy a Jacobi-féle théta-függvény határértéke a Dirac-delta z-ben, ha $t\to 0$.

Kapcsolat a Dirichlet-féle L-függvényekkel

Racionális argumentumokra a Hurwitz-féle zéta-függvény kifejezhető Dirichlet-féle L-függvények lineáris kombinációjaként, és fordítva: A Hurwitz-féle zéta-függvény egyenlő a ζ(s) Riemann-féle zéta-függvénnyel ha q = 1, ha q = 1/2 akkor (2^s−1)ζ(s), és ha q = n/k ahol k > 2, (n,k) > 1 és 0 < n < k, akkor

$\zeta (s,n/k)=\frac{k^s}{\phi (k)}\sum _{\chi }\bar{\chi }(n)L(s,\chi ),$

és az összeg végigfut az összes Dirichlet-karakteren mod k. Megfordítva, tekintsük a következő lineáris kombinációt:

$L(s,\chi )=\frac{1}{k^s}\sum _{n=1}^k\chi (n)\zeta (s,\frac{n}{k}).$

Teljesül még a multiplikációs tétel:

$k^s\zeta (s)=\sum _{n=1}^k\zeta (s,\frac{n}{k}),$

ahol a hasznos általánosítás az eloszlás reláció

$\sum _{p=0}^{q-1}\zeta (s,a+p/q)=q^s\zeta (s,qa).$

(Ez utóbbi akkor teljesül, ha q természetes szám, és 1 − qa nem.)

Nullhelyek

Ha q = 1, akkor éppen a Riemann-féle zéta-függvényt kapjuk vissza. Ha q = 1/2, akkor a Riemann-féle zéta-függvény és egy egyszerű függvény szorzatát kapjuk, ami nehézzé teszi a nullhelyek keresését. Ha 0<q<1 és q≠1/2, akkor minden pozitív &epsilon-hoz van gyök az 1<Re(s)<1+&epsilon sávban. Ezt Davenport és Heilbronn bizonyította transzcendens esetre, és Cassels algebrai irracionális esetre.

Racionális értékek

A Hurwitz-féle zéta-függvénnyel több azonosság is levezethető a racionális számokra. Az $E_n(x)$ Euler-polinomok együtthatói:

$E_{2n-1}\left(\frac{p}{q}\right)=(-1{)}^n\frac{4(2n-1)!}{(2\pi q{)}^{2n}}\sum _{k=1}^q\zeta (2n,\frac{2k-1}{2q})\cos \frac{(2k-1)\pi p}{q}$

és

$E_{2n}\left(\frac{p}{q}\right)=(-1{)}^n\frac{4(2n)!}{(2\pi q{)}^{2n+1}}\sum _{k=1}^q\zeta (2n+1,\frac{2k-1}{2q})\sin \frac{(2k-1)\pi p}{q}$

Továbbá

$\zeta (s,\frac{2p-1}{2q})=2(2q{)}^{s-1}\sum _{k=1}^q[C_s\left(\frac{k}{q}\right)\cos \left(\frac{(2p-1)\pi k}{q}\right)+S_s\left(\frac{k}{q}\right)\sin \left(\frac{(2p-1)\pi k}{q}\right)]$

ami teljesül, ha $1\le p\le q$. Itt $C_{\nu }(x)$ és $S_{\nu }(x)$ a ${\chi }_{\nu }$ Legendre-féle khi-függvény segítségével vannak definiálva

$C_{\nu }(x)=\mathrm{Re}{\chi }_{\nu }(e^{ix})$

és

$S_{\nu }(x)=\mathrm{Im}{\chi }_{\nu }(e^{ix}).$

A ν egész értékeire ezek kifejezhetők az Euler-polinomokkal. Ezek a relációkl megkaphatók a függvényegyenlet alkalmazásával a fenti Hurwitz-formulára.

Speciális esetek, általánosítások

A Hurwitz-féle zéta-függvény pozitív egész m-mel kapcsolódik a poligamma függvényhez:

${\psi }^{(m)}(z)=(-1{)}^{m+1}m!\zeta (m+1,z).$

Negatív egész −n számokra az értékek a Bernoulli-polinomokhoz kapcsolódnak:

$\zeta (-n,x)=-\frac{B_{n+1}(x)}{n+1}.$

A Barnes-féle zéta-függvény a Hurwitz-féle zéta-függvény általánosítása.

A Lerch-transzcendens a Hurwitz-féle zéta-függvény általánosítása:

$\mathrm{\Phi }(z,s,q)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{z^k}{(k+q{)}^s}$

így

$\zeta (s,q)=\mathrm{\Phi }(1,s,q).$

Hipergeometrikus függvény

$\zeta (s,a)=a^{-s}\cdot {}_{s+1}{F}_s(1,a_1,a_2,\dots a_s;a_1+1,a_2+1,\dots a_s+1;1)$ ahol $a_1=a_2=\dots =a_s=a\text{ és }a\notin \mathbb{N}\text{ valamint }s\in {\mathbb{N}}^{+}.$

Meijer-féle G-függvény

$\zeta (s,a)=G{}_{s+1,s+1}^{1,s+1}(-1\left|\begin{array}{c}0,1-a,\dots ,1-a\\ 0,-a,\dots ,-a\end{array}\right)s\in {\mathbb{N}}^{+}.$

Alkalmazásai

A Hurwitz-féle zéta-függvény több különböző tudományterületen felbukkan. Legtöbbször a számelmélet használja, itt jól kidolgozott elmélete van. Fraktálok, dinamikai rendszerek esetén is megjelenik. Az alkalmazott statisztikában kapcsolódik a Zipf-törvény, és a Zipf–Mandelbrot-törvény. A részecskefizikában Julian Schwinger egy képletében is megjelenik, hogy pontos eredményt adjon egy Dirac-elektron párképződésére uniform elektromos mezőben.

Források

• Sablon:Dlmf
• * Apostol, Tom M. (1976), Introduction to analytic number theory, Undergraduate Texts in Mathematics, New York-Heidelberg: Springer-Verlag, Sablon:ISBN (12. fejezet)
• Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, Handbook of Mathematical Functions, (1964) Dover Publications, New York. Sablon:ISBN. (See Paragraph 6.4.10 for relationship to polygamma function.)
• Sablon:Cite book
• Sablon:Cite journal
• Sablon:Cite web
• Sablon:Cite journal