Polilogaritmus

A polilogaritmus-függvény a komplex függvények egyike, nevezik Jonquière-féle függvénynek is. Jelölése: Li_s(z).

Definíciói

Hatványsorral

Definíciója végtelen hatványsor alakjával:

${\mathrm{Li}}_s(z)=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{z^k}{k^s}=z+\frac{z^2}{2^s}+\frac{z^3}{3^s}+\cdots .$

• A fenti definíció minden komplex s-re érvényes, valamint minden z argumentumra, ahol |z| < 1; kiterjeszthető |z| ≥ 1 értékekre is az analitikus folytatás módszerével.
• Csak s speciális értékeinél redukálódik a polilogaritmus elemi függvénnyé, mint például logaritmusfüggvénnyé.

Ha s=1, akkor a természetes logaritmus esete áll fenn, Li₁(z) = −ln(1−z), s=2 esete a dilogaritmus, más néven Spence-függvény, az s=3 esetét trilogaritmusnak hívják.

Integrálással

A polilogaritmus elnevezés onnan származik, hogy úgy is lehet definiálni, mint többszörösen végrehajtott integrálokat:

${\mathrm{Li}}_{s+1}(z)=\underset{0}{\overset{z}{\int }}\frac{{\mathrm{Li}}_s(t)}{t}\mathrm{d}t;$

így a dilogaritmus a logaritmus integrálja, és így tovább.

Ha s egy nempozitív egész szám, akkor a polilogaritmus racionális függvény.

Alkalmazások

A polilogaritmus előfordul zárt formában a Fermi-Dirac-eloszlás (lásd: Fermi–Dirac-statisztikánál) és a Bose-Einstein-eloszlásnál is, melyeket úgy is hívnak, mint Fermi–Dirac-integrál vagy Bose–Einstein-integrál.

A polilogaritmus nem összetévesztendő a polilogaritmikus függvényekkel vagy az Euler-féle logaritmikus integrállal.

Speciális esetek

polilogaritmusok

Speciális esetekben a polilogaritmus kifejezhető más függvényekkel. Ha s egész, akkor a z•∂/∂z ismételt alkalmazásával a Li₁(z)-re a következő összefüggések kaphatók:

${\mathrm{Li}}_1(z)=-\ln (1-z)$

${\mathrm{Li}}_0(z)=\frac{z}{1-z}$

${\mathrm{Li}}_{-1}(z)=\frac{z}{(1-z{)}^2}$

${\mathrm{Li}}_{-2}(z)=\frac{z(1+z)}{(1-z{)}^3}$

${\mathrm{Li}}_{-3}(z)=\frac{z(1+4z+z^2)}{(1-z{)}^4}$

${\mathrm{Li}}_{-4}(z)=\frac{z(1+z)(1+10z+z^2)}{(1-z{)}^5}.$

A polilogaritmus redukálódik a z polinomjainak arányára. Az általános eset a következő véges összeggel fejezhető ki:

${\mathrm{Li}}_{-n}(z)={\left(z\frac{\partial }{\partial z}\right)}^n\frac{z}{1-z}=$

$=\sum _{k=0}^{n}k!S(n+1,k+1){\left(\frac{z}{1-z}\right)}^{k+1}(n=0,1,2,\dots ),$

ahol S(n,k) másodfajú Stirling-szám. Hasonló formula kapható negatív egészek esetében:

${\mathrm{Li}}_{-n}(z)=(-1{)}^{n+1}\sum _{k=0}^{n}k!S(n+1,k+1){\left(\frac{-1}{1-z}\right)}^{k+1}(n=1,2,3,\dots ),$

és

${\mathrm{Li}}_{-n}(z)=\frac{1}{(1-z{)}^{n+1}}\sum _{k=0}^{n-1}⟨\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}⟩z^{n-k}(n=1,2,3,\dots ),$

ahol $⟨\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}⟩$ Euler-féle szám.

Polilogaritus-függvények a komplex síkon

${\mathrm{Li}}_{-3}(z)$	${\mathrm{Li}}_{-2}(z)$	${\mathrm{Li}}_{-1}(z)$	${\mathrm{Li}}_0(z)$	${\mathrm{Li}}_1(z)$	${\mathrm{Li}}_2(z)$	${\mathrm{Li}}_3(z)$

Irodalom

• Lewin, L: Dilogarithms ans Associated Functions MacDonald London, 1958.
• Sablon:CitLib
• Sablon:CitLib
• Sablon:CitLib

Kapcsolódó szócikkek

• http://mathworld.wolfram.com/Polylogarithm.html
• https://launchpad.net/anant
• NIST Digital Library of Mathematical Functions: Dilogarithm
• Spence-függvény
• Logaritmus