Spence-függvény

Matematikában, a Spence-függvény, vagy dilogaritmus, egy speciális függvény, mely a polilogaritmus egy speciális esete. Jelölése: Li₂(z). A Lobacsevszkij-függvény, és a Clausen-függvény szorosan kapcsolódik a Spence-függvényhez. E két függvényt is, és magát a dilogaritmust is nevezik Spence-függvénynek:

${\mathrm{Li}}_2(\pm z)=-\underset{0}{\overset{z}{\int }}\frac{\ln |1\mp \zeta |}{\zeta }\mathrm{d}\zeta =\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(\pm z{)}^k}{k^2};$

A függvényt William Spence (1777 – 1815), skót matematikusról nevezték el.

Kapcsolódó azonosságok

${\mathrm{Li}}_2(-z)=-{\mathrm{Li}}_2\left(\frac{z}{1+z}\right)-\frac{{\ln }^2(1+z)}{2}$

${\mathrm{Li}}_2(\mathrm{i}z)=\frac{{\mathrm{Li}}_2(-z^2)}{4}+\mathrm{i}{\mathrm{Li}}_2(z)$

${\mathrm{Li}}_2(z)+{\mathrm{Li}}_2(-z)=\frac{1}{2}{\mathrm{Li}}_2(z^2)$

${\mathrm{Li}}_2(1-z)+{\mathrm{Li}}_2(1-\frac{1}{z})=-\frac{{\ln }^{2}z}{2}$

${\mathrm{Li}}_2(z)+{\mathrm{Li}}_2(1-z)=\frac{{\pi }^2}{6}-\ln z\cdot \ln (1-z)$

${\mathrm{Li}}_2(-z)-{\mathrm{Li}}_2(1-z)+\frac{1}{2}{\mathrm{Li}}_2(1-z^2)=-\frac{{\pi }^2}{12}-\ln z$

${\mathrm{Li}}_2\left(\frac{1}{3}\right)-\frac{1}{6}{\mathrm{Li}}_2\left(\frac{1}{9}\right)=\frac{{\pi }^2}{18}-{\ln }^{2}3$

${\mathrm{Li}}_2(-\frac{1}{2})+\frac{1}{6}{\mathrm{Li}}_2\left(\frac{1}{9}\right)=-\frac{{\pi }^2}{18}-\ln 2\cdot \ln 3-\frac{{\ln }^{2}2}{2}-\frac{{\ln }^{2}3}{3}$

${\mathrm{Li}}_2\left(\frac{1}{4}\right)+\frac{1}{3}{\mathrm{Li}}_2\left(\frac{1}{9}\right)=\frac{{\pi }^2}{18}+2\ln 2\ln 3-2{\ln }^{2}2-\frac{2}{3}{\ln }^{2}3$

${\mathrm{Li}}_2(-\frac{1}{3})-\frac{1}{3}{\mathrm{Li}}_2\left(\frac{1}{9}\right)=-\frac{{\pi }^2}{18}+\frac{1}{6}{\ln }^{2}3$

${\mathrm{Li}}_2(-\frac{1}{8})+{\mathrm{Li}}_2\left(\frac{1}{9}\right)=-\frac{1}{2}{\ln }^2\frac{9}{8}$

$36{\mathrm{Li}}_2\left(\frac{1}{2}\right)-36{\mathrm{Li}}_2\left(\frac{1}{4}\right)-12{\mathrm{Li}}_2\left(\frac{1}{8}\right)+6{\mathrm{Li}}_2\left(\frac{1}{64}\right)={\pi }^2$

Speciális értékek

${\mathrm{Li}}_2(-1)=-\frac{{\pi }^2}{12}$

${\mathrm{Li}}_2(0)=0$

${\mathrm{Li}}_2\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{{\pi }^2}{12}-\frac{{\ln }^{2}2}{2}$

${\mathrm{Li}}_2(1)=\frac{{\pi }^2}{6}$

${\mathrm{Li}}_2(2)=\frac{{\pi }^2}{4}$

${\mathrm{Li}}_2(-\frac{\sqrt{5}-1}{2})=-\frac{{\pi }^2}{10}-{\ln }^2\frac{\sqrt{5}-1}{2}$

$=-\frac{{\pi }^2}{10}-{\mathrm{arcsch}}^{2}2$

${\mathrm{Li}}_2(-\frac{\sqrt{5}+1}{2})=-\frac{{\pi }^2}{15}+\frac{1}{2}{\ln }^2\frac{\sqrt{5}-1}{2}$

$=-\frac{{\pi }^2}{15}+\frac{1}{2}{\mathrm{arcsch}}^{2}2$

${\mathrm{Li}}_2\left(\frac{3+\sqrt{5}}{2}\right)=\frac{{\pi }^2}{15}-\frac{1}{2}{\ln }^2\frac{\sqrt{5}-1}{2}$

$=\frac{{\pi }^2}{15}-\frac{1}{2}{\mathrm{arcsch}}^{2}2$

${\mathrm{Li}}_2\left(\frac{\sqrt{5}+1}{2}\right)=\frac{{\pi }^2}{10}-{\ln }^2\frac{\sqrt{5}-1}{2}$

$=\frac{{\pi }^2}{10}-{\mathrm{arcsch}}^{2}2$

Források

• Sablon:CitLib
• Sablon:CitLib
• Sablon:CitLib

Kapcsolódó szócikkek

• http://maths.dur.ac.uk/~dma0hg/dilog.pdf
• http://mathworld.wolfram.com/Dilogarithm.html
• Lobacsevszkij-függvény
• Clausen-függvény
• Polilogaritmus