Clausen-függvény

A matematikában a Clausen-függvényt a következő integrál definiálja:

${\mathrm{Cl}}_2(\theta )=-\underset{0}{\overset{\theta }{\int }}\log |2\sin (t/2)|dt.$

A definíció Thomas Clausen (1801 – 1885) dán matematikus nevéhez fűzödik (1932).

A Lobacsevszkij-függvény, Λ vagy Л, lényegében hasonló függvény más változókkal:

$\mathrm{\Lambda }(\theta )=-\underset{0}{\overset{\theta }{\int }}\log |2\sin (t)|dt={\mathrm{Cl}}_2(2\theta )/2.$

Meg kell jegyezni, hogy a “Lobacsevszkij-függvény” elnevezés nem teljesen pontos történetileg, mivel Lobacsevszkij képlete hiperbolikus mennyiségekre kissé különböző:

$\underset{0}{\overset{\theta }{\int }}\log |\sec (t)|dt=\mathrm{\Lambda }(\theta +\pi /2)+\theta \log 2$

Általános definíció

${\mathrm{Cl}}_s(\theta )=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\sin (n\theta )}{n^s}$

mely a komplex s- re érvényes, Re s >1 mellett. A definíció kiterjeszthető az egész komplex síkra az analitikus folytatás módszerével.

Kapcsolat a polilogaritmussal

${\mathrm{Cl}}_s(\theta )=\mathrm{\Im }({\mathrm{Li}}_s(e^{i\theta }))$

Kummer-féle kapcsolat

Ernst Kummer által felfedezett úgynevezett Kummer-függvény egyike kapcsolódik a polilogaritmushoz:

${\mathrm{Li}}_2(e^{i\theta })=\zeta (2)-\theta (2\pi -\theta )/4+i{\mathrm{Cl}}_2(\theta )$

érvényes: $0\le \theta \le 2\pi$.

Sorozat gyorsítás

$\frac{{\mathrm{Cl}}_2(\theta )}{\theta }=1-\log |\theta |-\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\zeta (2n)}{n(2n+1)}{\left(\frac{\theta }{2\pi }\right)}^n$

mely érvényes: $|\theta |<2\pi$. Itt a $\zeta (s)$, a Riemann zéta függvény. Egy még gyorsabban konvergáló formula:

$\frac{{\mathrm{Cl}}_2(\theta )}{\theta }=3-\log [|\theta |(1-\frac{{\theta }^2}{4{\pi }^2})]-\frac{2\pi }{\theta }\log \left(\frac{2\pi +\theta }{2\pi -\theta }\right)+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\zeta (2n)-1}{n(2n+1)}{\left(\frac{\theta }{2\pi }\right)}^n$

A konvergenciát segíti az a tény, hogy $\zeta (n)-1$ közelít zéróhoz n nagy értékeinél.

Speciális értékek

${\mathrm{Cl}}_2\left(\frac{\pi }{2}\right)=G$

ahol G a Catalan-állandó.

Irodalom

• Sablon:CitLib
• Sablon:CitLib
• Sablon:CitLib
• Sablon:CitLib

Kapcsolódó szócikkek

• http://people.math.sfu.ca/~cbm/aands/page_1005.htm
• http://mathworld.wolfram.com/ClausenFunction.html
• L-függvény
• Lobacsevszkij-függvény
• Kummer-függvény
• Riemann-féle zéta-függvény
• Spence-függvény
• Konvergencia
• Catalan-állandó