Határérték

A matematikában a határérték az az érték, amihez „egyre közelebb” kerül egy függvény vagy sorozat értéke, ahogy a függvény bemenete „egyre közelebb” kerül valamely adott véges értékhez vagy végtelenhez, ill. ahogy a sorozat indexe a végtelenhez tart. A matematikai analízis szinte teljes egészében a határérték fogalmára épül, mint például a differenciálszámítás, integrálszámítás esetében. A latin limes (jelentése: határ, mesgye) szóból lim-ként rövidítik matematikai jelölésekben.

A határérték fogalmát a topológia, illetve a kategóriaelmélet eszközeivel általánosabban is meg lehet határozni.

Sorozat határértéke ($\mathbb{N}\to ℝ$)

Az (1,79; 1,799; 1,7999;…) sorozatról intuitívan megállapítható, hogy a számok egyre „közelítenek” 1,8-hez, amennyiben a sorozat minden elemére igaz, hogy az előzőnél eggyel több kilences tizedesjegye van. Ezt az intuitív gondolatot fogalmazza meg formálisan a sorozat határértékének fogalma.

Definíció

Legyen adott az ($x_1,x_2,...$) valós számokból álló sorozat. A valós $A$ szám a sorozat határértéke, ha minden $ϵ$ (epszilon) $>0$ esetén létezik olyan $N(ϵ)$ (epszilontól függő) természetes szám, melyre minden $n>N(ϵ)$ esetén $|x_n-A|<ϵ$. Jelölése:

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{x}_n=A$ vagy $x_n\to A$.

Szemléletesen ez azt jelenti, hogy tetszőlegesen közel kerül a sorozat eleme a határértékhez azáltal, hogy elég nagy indexű elemet választunk, hiszen az $|x_n-A|$ abszolút érték az $x_n$ és $A$ távolságaként is felfogható. Ha létezik olyan tulajdonságú $A$ szám, ami a fenti definíciónak megfelel, akkor a sorozatot konvergensnek nevezik, ha pedig nem, akkor divergensnek. Bebizonyítható, hogy legfeljebb egy ilyen szám létezhet, így a $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{x}_n$ jelölés és a „határérték” megnevezés egyértelmű.

Tétel: Ha $x_n\to A$ és $x_n\to B$, akkor $A=B$.

Hasonlóan definiálható a több koordinátával jellemezhető pontsorozatok határértéke.

Tétel: Egy pontsorozat pontosan akkor konvergens, ha az egyes koordinátái által alkotott számsorozatok konvergensek.

Például az $(a_i,b_i)$ pontsorozat konvergenciája ekvivalens az $a_i$ és a $b_i$ sorozatok konvergenciájával.

A sorozat és a függvény határértékének a fogalma szoros kapcsolatban áll egymással. A két fogalom egymás definiálására is felhasználható, de értelmezhetők külön-külön is. Az $x_n$ sorozat határértékét a pozitív egészek halmazán értelmezett $f(n)=a_n$ függvény végtelenben vett határértékeként is definiálhatjuk, míg a függvény határértéke definiálható a sorozat határértékének felhasználásával: $f$ függvény határértéke $A$ helyen akkor létezik, ha az $f(x_n)$ sorozat konvergens és azonos határértékű bármely olyan $x_n,A$ határértékű konvergens sorozat esetén, amely a függvény értelmezési tartományából vesz fel értékeket. Ekkor az $f(n)$ sorozat egyértelmű határértéke lesz a függvény $A$ helyen vett határértéke.

Tulajdonságok

Ha az $a_n$ és a $b_n$ valós sorozat is konvergens, akkor az $a_n\pm b_n$, $a_n\cdot b_n$ sorozatok is konvergensek, és határértékük a megfelelő művelettel kapható a határértékekből. Ha a $b_n$ sorozat véges sok nullát tartalmaz, és nem tart nullához, akkor hasonló teljesül az $a_n/b_n$ sorozatra is. Ezek a pontsorozatokra is érvényesek, ha a műveleteket koordinátánként végezzük.

A konvergens valós szám- és pontsorozatokra teljesül a Cauchy-tulajdonság, ami azt mondja ki, hogy a sorozat távoli elemei is közel vannak egymáshoz. Formálisan, az $a_n$ sorozat konvergens, ha minden $ϵ$-hoz van olyan $n_0$, hogy minden $n,m>n_0$-ra $|a_n-a_m|<ϵ$. Megfordítva, minden valós Cauchy-sorozat konvergens. Más terekben ez nem feltétlenül igaz; ahol viszont igen, azt a teret teljesnek mondjuk.

A konvergens sorozatok tulajdonságai kritériumokat adnak arra, hogy belássuk, hogy ha egy sorozat nem konvergens. Szintén vannak kritériumok a sorozat konvergens voltára. Nincs mindig szükség a határérték kiszámítására.

Példák

• mértani sorozat határértéke:

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}_0{q}^n=\{\begin{array}{cc}0,& \text{ha }|q|<1\\ a_0,& \text{ha }q=1\end{array}$

• mértani sor sorösszege:

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\sum _{i=0}^n{a}_0{q}^i=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}_0\frac{q^n-1}{q-1}=a_0\frac{1}{1-q}$, ha $|q|<1$

Függvényhatárérték ($ℝ\to ℝ$)

Határérték véges pontban

Ábra a formális definícióhoz. Véges pontban vett véges határérték

Feltéve, hogy $f(x)$ valós függvény és $a$ valós szám. A

$\underset{x\to a}{\lim }f(x)=A$

kifejezés azt jelenti, hogy $f(x)$ értéke tetszőlegesen közel kerül az $A$-hoz, ha az $x$ elég közel van $a$-hoz. Ebben az esetben „az $f(x)$ határértéke, ha $x$ tart $a$-hoz, $A$”. Ez akkor is igaz lehet, ha $f(a)\ne A$, sőt az $f(x)$ függvénynek nem muszáj értelmezve lennie az $a$ pontban.

Formális definíció

Legyen az $f$ függvény, mely a $a$ egy nyílt környezetében végtelen sok értékre értelmezve van - esetleg $a$-ban nem - vagyis $a$ egy torlódási pontja a $D_f$-nek; és $A$ egy valós szám. A

$\underset{x\to a}{\lim }f(x)=A$

jelölés azt jelenti, hogy minden $ϵ>0$ érték esetén van olyan $\delta >0$, melyekre bármely $x$ esetén, ha $0<|x-a|<\delta$, akkor $|f(x)-A|<ϵ$.

Példák

Vizsgáljuk meg $f(x)=\frac{x}{x^2+1}$ határértékét, ha $x$ tart 2-höz. Ebben az esetben az $f(x)$ definiált a 2 helyen, és egyenlő az ottani 0,4 értékével:

f(1,9)	f(1,99)	f(1,999)	f(2)	f(2,001)	f(2,01)	f(2,1)
0,4121	0,4012	0,4001	$\Rightarrow$ 0,4 $\Leftarrow$	0,3998	0,3988	0,3882

Ha $x$ közelít 3-hoz, akkor $f(x)$ közelít 0,3-hez, azaz $\underset{x\to 3}{\lim }f(x)=0,3$. Ezekben az esetekben, amikor $f(a)=\underset{x\to a}{\lim }f(x)$, azt mondjuk, hogy $f$ folytonos az $x=a$ helyen.

De nem minden függvény folytonos. Legyen például a $g$ függvény az alábbi módon értelmezett:

$g(x)=\{\begin{array}{cc}\frac{x}{x^2+1},& \text{ha }x\ne 2\\ 0,& \text{ha }x=2\end{array}$

A $g(x)$ határértéke $x$ tart 2 esetén 0,4 (ahogy az $f(x)$ esetén is), de $\underset{x\to 2}{\lim }g(x)\ne g(2)$; $g$ nem folytonos $x=2$ helyen.

Függvényhatárérték a végtelenben

Van, amikor nem csak a véges helyen vett határértéket kell vizsgálnunk, hanem, hogy a függvény hogyan viselkedik, amikor $x$ tart a pozitív vagy negatív végtelenhez.

Példaként vizsgáljuk az $f(x)=\frac{2x}{x+1}$ függvényt.

• $f(100)=1,9802$
• $f(1000)=1,9980$
• $f(10000)=1,9998$

…

Ahogy $x$ nagyon naggyá válik, $f(x)$ közelít 2-höz. Ebben az esetben,

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }f(x)=2$

Formális definíció

A végtelenben vett határérték definíciója:

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }f(x)=A$ pontosan akkor, ha minden $ϵ$ > 0 esetén létezik olyan $K$ valós szám, melyre $|f(x)-A|<ϵ$ teljesül, ha $x>K$.

A negatív végtelenben vett határérték hasonlóan definiálható.

Definíciója topologikus térben

Függvényeknél

Legyen $X$ és $Y$ topologikus tér, $f:A\subseteq X\to Y$, $x_0\in X$ az $A$ torlódási pontja és $y\in Y$. Az $f$ függvény határértéke az $x_0$ pontban $y$, ha:

$y$ tetszőleges $V$ környezetéhez található $x_0$-nak olyan $U$ környezete, hogy $(U\setminus \left\{x_0\right\})\cap A$ halmaz $f$ általi képe $y$ környezetébe esik, azaz:

$\mathrm{\forall }V\mathrm{\exists }U:f((U\setminus \left\{x_0\right\})\cap A)\subseteq V$.

A határérték ezen fogalma annyira általános, hogy adott pontban több határértéke is lehet egy függvénynek. Ugyanis egyes topologikus terek olyan "egyszerűek", hogy bizonyos pontoknak azonosak a környezetei. Más szóval a pontok nem különböztethetőek meg a "szomszédok" által. Fontos tény továbbá, hogy a függvénynek nem kell értelmezve lennie az $x_0$ pontban, ahol a határértéket vizsgáljuk.

A szakirodalomban szigorúbb változatai is előfordulnak, melyek például megkövetelik, hogy a leképezés $x_0$ egy teljes környezetében legyen értelmezve, leszámítva esetleg magát $x_0$-t ($U\setminus \left\{x_0\right\}\subseteq A$), azaz $f(U\setminus \left\{x_0\right\})\subseteq V$. Illetve olyan gyengítései is akadnak, amelyek az értelmezési tartomány speciális részhalmazain ($S\subseteq A$) határozzák meg a limes-t, azaz $f((U\setminus \left\{x_0\right\})\cap S)\subseteq V$. Ha elvárnánk, hogy a vizsgált pont az értelmezési tartomány eleme legyen ($x_0\in A$) és $f(U\cap A)\subseteq V$, akkor a pontbeli folytonosság topológiai fogalmához lyukadnánk ki.

Pontsorozatoknál

Legyen $Y$ topologikus tér, $a_n:\mathbb{N}\to Y$ a tér pontjaiból álló sorozat, $N\in \mathbb{N}$ és $y\in Y$. Az $a_n$ sorozat határértéke $y$, ha:

$y$ minden $V$ környezetéhez létezik olyan $N$ index, hogy a sorozat minden $N$-nél nagyobb indexű tagja $y$ környezetébe esik, azaz

$\mathrm{\forall }V\mathrm{\exists }N:n>N\Rightarrow a_n\in V$.

Definíciója metrikus térben

Metrikus terek esetén, melyek egyben topologikus terek is, a definíció speciálisabban megfogalmazható. Ez esetben rendelkezésünkre áll a távolságfüggvény, amellyel környezetet definiálhatunk.

Függvény határértéke

Legyen $X$ és $Y$ metrikus tér, $f:A\subseteq X\to Y$, $x_0\in X$ az $A$ torlódási pontja, $x\in A$ és $y\in Y$. Az $f$ függvény határértéke az $x_0$ pontban $y$, ha:

$y$ minden $ϵ>0$ sugarú nyílt környezetéhez található $x_0$-nak olyan $\delta >0$ sugarú nyílt környezete, hogyha $0<d_X(x,x_0)<\delta$, akkor $x$ $f$ általi képe $y$ környezetébe esik, azaz

$\mathrm{\forall }ϵ>0\mathrm{\exists }\delta >0:0<d_X(x,x_0)<\delta \Rightarrow d_Y(f(x),y)<ϵ$,

ahol:

• $ϵ,\delta \in {ℝ}^{+}$,
• $U=\{p\in X|d_X(p,x_0)<\delta \}$ és
• $V=\{p\in Y|d_Y(p,y)<ϵ\}$ az általános definícióban szereplő környezetek megfelelői,
• $d_X(p,x_0)$ és $d_Y(p,y)$ rendre az $X$ és $Y$ metrikus térben definiált távolság.

Sorozat határértéke

Legyen $Y$ metrikus tér, $a_n:\mathbb{N}\to Y$, a tér pontjaiból álló sorozat, $N\in \mathbb{N}$ és $y\in Y$. Az $a_n$ sorozat határértéke $y$, ha:

$y$ minden $ϵ>0$ sugarú nyílt környezetéhez található olyan $N(ϵ)$ (epszilontól függő) index, hogy a sorozat minden $N$-nél nagyobb indexű tagja az $y$ környezetébe esik, azaz

$\mathrm{\forall }ϵ>0\mathrm{\exists }N:n>N\Rightarrow d_Y(a_n,y)<ϵ$.

Euklideszi térben

Az n-dimenziós vektortéren értelmezett skalárszorzat természetesen módon normát indukál, amellyel metrika, azaz távolság definiálható a téren. Ez teszi az Euklideszi teret topologikus, ill. metrikus térré. A távolságfüggvény:

${ℝ}^n:d_n(𝐚,𝐛)=\Vert 𝐚-𝐛\Vert =\sqrt{\sum _1^n{|a_i-b_i|}^2}$, speciálisan: $ℝ:d(a,b)=|a-b|$.

Többdimenziós terekben a határérték számítása gyökös távolságképlettel nehézkes. Könnyítést ad az a tény, hogyha egy pontnak van nyílt gömbkörnyezete, akkor van nyílt téglakörnyezete is és fordítva:

Tétel: $(\mathrm{\exists }ϵ:\Vert 𝐚-𝐛\Vert <ϵ)\iff (\mathrm{\forall }i\mathrm{\exists }{ϵ}_i:|a_i-b_i|<{ϵ}_i)\iff (\mathrm{\exists }{ϵ}_{II}\mathrm{\forall }i:|a_i-b_i|<{ϵ}_{II})$.

Magyarul, egy vektor akkor és csak akkor van közel egy másikhoz, ha külön-külön a koordinátái is közel vannak a másik koordinátáihoz. Így a vektorfüggvények és vektorsorozatok határértéke visszavezethető a koordináta-függvények határértékére.

Definíciója végtelenre

A fenti definíciók egyike sem mondja meg, mit értünk végtelen határértéken, vagy végtelenben vett határértéken. Nem is határozhatja meg, mert a végtelen egy képzeletbeli pont. Nem része a térnek, míg a határérték és a pont, ahol a határértéket vizsgájuk a tér egy eleme kell hogy legyen. Azonban kiterjeszthetjük úgy a fogalmat, hogy definiáljuk a végtelen egy környezetét, így lehetőségünk nyílik a képzeletbeli pont körül vizsgálódni. Általános topológiai eszközökkel kicsit bonyolult, de normált, s ezáltal egyben metrizálható terekben igen egyszerű.

Végtelen környezete

$\{x|\Vert x\Vert >K,K\in {ℝ}^{\mathbb{+}}\}$ halmaz a végtelen egy "$\mathrm{\infty }-K$ sugarú nyílt gömbkörnyezete". (Nyilvánvalóan ez a megfogalmazás matematikailag nem elfogadható, inkább szemléltető jellege van.)

Végtelenben vett határérték

Legyen $X$ és $Y$ normált tér, $f:A\subseteq X\to Y$, legyen a végtelen $A$ torlódási pontja, $x\in A$, $K\in ℝ$ és $y\in Y$. Az $f$ függvény végtelenben vett határértéke $y$, ha:

$y$ minden $ϵ>0$ sugarú nyílt környezetéhez található olyan $K$, hogyha $\Vert x{\Vert }_X>K$, akkor $x$ $f$ általi képe $y$ környezetébe esik, azaz

$\mathrm{\forall }ϵ>0\mathrm{\exists }K>0:\Vert x{\Vert }_X>K\Rightarrow \Vert f(x)-y{\Vert }_Y<ϵ$,

ahol:

• $\Vert x{\Vert }_X$ és $\Vert y{\Vert }_Y$ az X és Y terekben definiált norma.
• A végtelen torlódási pontja $A$-nak, ha $\mathrm{\forall }K>0\mathrm{\exists }x\in A:\Vert x{\Vert }_X>K$.

Ez a definíció konzisztens a sorozatoknál kimondott határérték fogalmával, ugyanis a természetes számok halmaza normált tér és a fenti $Y$ lehet teljesen általános topologikus tér is.

Végtelen mint határérték

Legyen $X$ és $Y$ normált tér, $f:A\subseteq X\to Y$, $x_0\in X$ az A torlódási pontja, $x\in A$, $K\in ℝ$ és $y\in Y$. Az $f$ függvény határértéke az $x_0$ pontban végtelen, ha:

minden $K$-hoz található $x_0$-nak olyan $\delta >0$ sugarú nyílt környezete, hogyha $0<\Vert x-x_0{\Vert }_X<\delta$, akkor $x$ $f$ általi képének normája nagyobb mint $K$, azaz

$\mathrm{\forall }K>0\mathrm{\exists }\delta >0:0<\Vert x-x_0{\Vert }_X<\delta \Rightarrow \Vert f(x){\Vert }_Y>K$.

Végtelenben vett végtelen határérték

Értelmezését egyszerűen a két megfogalmazás kombinációja szolgáltatja. Röviden:

$\mathrm{\forall }K>0\mathrm{\exists }T>0:\Vert x{\Vert }_X>T\Rightarrow \Vert f(x){\Vert }_Y>K$.

Plusz és mínusz végtelen

Speciális a következő eset: a valós számegyenesből ($ℝ$) kivéve egy pontot könnyűszerrel felbontjuk a teret, két diszjunkt és külön-külön összefüggő halmazra. Az intuíciónk pedig az, hogy ezek a halmazok mintha két különböző végtelennek lennének a környezetei. A gondolatmenetet tovább folytatva bármely térben definiálhatnánk egy speciális részhalmazt, hogy a végtelenben vett határérték vizsgálódását ezen részhalmazra leszűkítve végezzük. De ${ℝ}^{𝕟},n>1$ esetén nem szoktunk megkülönböztetni irány szerinti végteleneket.

A valós számegyenesnél a $(-\mathrm{\infty },0)$ és a $(0,+\mathrm{\infty })$ intervallumok által szűkített végtelenben vett határérték keresése rendre a $-\mathrm{\infty }$ és a $+\mathrm{\infty }$ határérték fogalmához vezet. Hasonlóan lehet a határérték $\pm \mathrm{\infty }$ is.

Komplex számok esetében sincs $\pm \mathrm{\infty }$, topológiailag izomorf ${ℝ}^{\mathrm{𝟚}}$-tel. Ez esetben a végtelen pontot szemléletesen definiálhatjuk az úgynevezett Riemann-gömbbel. Ha ennek megfelelően elkészítjük a valós esetre vonatkozó szemléltető kört, akkor a $\pm \mathrm{\infty }$-ben vett limes-t felfoghatjuk úgy is, mint a végtelenben vett bal és jobb oldali határértéket.

Tétel: Egy ${ℝ}^{𝕟}$-beli vektorsorozat pontosan akkor tart végtelenbe, ha legalább az egyik koordinátasorozata végtelenbe tart.

Ekkor belátható, hogy a vektor normája is tart végtelenbe. Fordítva, ha a norma tart végtelenbe, akkor legalább egy koordináta abszolút-értéke is végtelenbe kell hogy tartson.

Egyértelműsége

Fentebb már említésre került, hogy általános topologikus terek között ható függvénynek egy adott pontban, illetve pontsorozatnak létezhet több határértéke is. Ilyenkor a határértékek egy halmazáról, mint megoldásról érdemes beszélni. Ahhoz, hogy egy egyenlőségi formulával adhassuk meg a határértéket, annak egyértelműen kell léteznie. Ez egy speciális térben mindig igaz is:

Hausdorff-tér vagy $T_2$ tér olyan topologikus tér, amelyben minden pontpárhoz található őket elválasztó diszjunkt környezet.

Tétel: Hausdorff-térben ha létezik határérték, akkor egyértelműen létezik.

Legtöbbször azonban metrikus terekben ($ℝ,{ℝ}^n,$…) lévő pontsorozatokkal és ezen terek között ható függvényekkel ($\mathbb{N}\to ℝ,ℝ\to ℝ,{ℝ}^n\to {ℝ}^m,$…) találkozunk és vizsgáljuk határértéküket.

Tétel: Minden metrikus tér egyben Hausdorff-tér is.

Tehát metrikus terekben is egyértelmű a határérték. Értelemszerűen minden metrikus tér egyben topologikus tér is. Pontosabban, természetes módon topologikus térré tehető, ha az $ϵ$-sugarú nyílt gömbök segítségével definiáljuk a környezeteket.

Jelölései

• általánosan: "limesz iksz tart iksznullba efiksz egyenlő ipszilon"

$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=\underset{x_0}{\lim }f=y$

$x\to x_0,f(x)\to y$

• sorozatoknál: "á n tart ipszilonba ha n tart végtelenbe"

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}_n=\underset{\mathrm{\infty }}{\lim }{a}_n=\lim a_n=y$

$n\to \mathrm{\infty },a_n\to y$

• speciális tartományon:

$\underset{x\in S}{\underset{x\to x_0}{\lim }}f(x)=y$

Határértéken alapuló definíciók

Határérték-változatok

• Limesz szuperior, inferior:

$\underset{\mathrm{\infty }}{\lim }\left(\underset{m\ge n}{\sup }{a}_n\right)=\mathrm{lim\; sup}{a}_n=\bar{\lim }{a}_n$

$\underset{\mathrm{\infty }}{\lim }\left(\underset{m\ge n}{\inf }{a}_n\right)=\mathrm{lim\; inf}{a}_n=\underset{―}{\lim }{a}_n$

• Parciális limesz:

$\lim a_{\phi (n)}$, ahol $\phi :\mathbb{N}\to \mathbb{N},n>m\Rightarrow \phi (n)>\phi (m)$

• Bal és jobb oldali határérték:

$\underset{x\in (-\mathrm{\infty },x_0)\cap D_f}{\underset{x\to x_0}{\lim }}f(x)=\underset{x\to x_0-0}{\lim }f(x)=\underset{x\to x_0-}{\lim }f(x)=f(x_0^{-})$

$\underset{x\in (x_0,+\mathrm{\infty })\cap D_f}{\underset{x\to x_0}{\lim }}f(x)=\underset{x\to x_0+0}{\lim }f(x)=\underset{x\to x_0+}{\lim }f(x)=f(x_0^{+})$

• Végtelenben vett határérték:

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }f(x)=\underset{\Vert x\Vert \to \mathrm{\infty }}{\lim }f(x)$

$\underset{x\in {ℝ}^{\mathbb{-}}\cap D_f}{\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }}f(x)=\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }f(x)$

$\underset{x\in {ℝ}^{\mathbb{+}}\cap D_f}{\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }}f(x)=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }f(x)$

Új fogalmak megalapozása

• Derivált, iránymenti derivált:

$\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}={\frac{df}{dx}|}_{x_0}=f^{\prime }(x_0)$

$\underset{\lambda \to 0+}{\lim }\frac{f({𝐱}_{\mathrm{𝟎}}+\lambda 𝐞)-f({𝐱}_0)}{\lambda }={\frac{\partial f}{\partial 𝐞}|}_{{𝐱}_{\mathrm{𝟎}}}=f{\text{'}}_{𝐞}({𝐱}_{\mathrm{𝟎}})$

• Végtelen sorok összege, improprius integrál:

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\sum _{i=m}^n{a}_i=\sum _{i=m}^{\mathrm{\infty }}{a}_i$

$\underset{t\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{a}{\overset{t}{\int }}f(x)dx=\underset{a}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)dx$

Konvergencia

A fogalom létezésének tényét erősíti, hogy sorozatok esetén egyértelműen mindig a végtelenben vett határértékről beszélünk, így a kérdés leredukálódik a: van-e határértéke vagy sem kérdésre. Olyat nem mondunk, hogy konvergens függvény, vagy a függvény konvergens egy pontban, de egy függvénysorozat lehet az, hiszen az is sorozat.

Definíció

Legyen Y topologikus tér, $a_n:\mathbb{N}\to Y$. Az $a_n$ sorozatot konvergensnek nevezzük , ha létezik határértéke. Ellenkező esetben, azaz mikor nincs határértéke, divergensnek nevezzük.

Tétel: Metrikus térben konvergens sorozatnak egyértelmű a határértéke.

Hiszen a metrikus tér Hausdorff-tér is, melyben legfeljebb egy határértéke lehet egy sorozatnak.

Fontos megemlíteni, hogy mivel értelmezzük a végtelen határértéket is oda kell figyelnünk, hogy konvergens nem lehet egy sorozat, ha csak végtelen határértéke van, ugyanis az nem eleme a térnek. Hacsak nem a végtelen elemmel bővített halmazzal van dolgunk, vagy nem tágabb értelemben beszélünk konvergenciáról. A tárgyalási módból ki kell derülnie. Ezért találkozhatunk azzal a kifejezéssel, hogy: létezik a határérték és véges.

Cauchy-sorozat

Legyen Y metrikus tér, $a_n:\mathbb{N}\to Y$. Az $a_n$ sorozatot Cauchy-sorozatnak nevezzük , ha tetszőlegesen közel kerülnek egymáshoz az elemek, azaz

$\mathrm{\forall }ϵ>0\mathrm{\exists }N:n,m\ge N\Rightarrow d_Y(a_n,a_m)<ϵ$.

Tétel: Minden, metrikus térben konvergens sorozat, egyben Cauchy-sorozat is. Megfordítása általánosan nem igaz.

Ha egy sorozat tetszőlegesen megközelíti a határértéket, akkor a sorozat elemei is tetszőlegesen megközelítik egymást.

Teljes tér

Azokat a metrikus tereket, melyekben minden Cauchy-sorozat konvergens, teljesnek nevezzük.

Tétel: Minden metrikus tér teljessé tehető. (Úgy, hogy hozzávesszük azon hipotetikus pontokat, amelyeket a divergens Cauchy-sorozatok kijelölnek.)

Tétel: Az ekludeszi tér $({ℝ}^{𝕟})$ teljes metrikus tér.

Nem teljes tér például $\mathbb{Q}$. A sorozat, melynek $n$. tagja olyan racionális szám, mely a $\sqrt{2}$-t $n$ tizedesjegy pontossággal írja le, határértéke $\sqrt{2}$, de ez nem racionális szám. Természetesen $ℝ$-ben a sorozat konvergens lenne, illetve Cauchy-konvergens $\mathbb{Q}$-ban. Ha a $\mathbb{Q}$-t teljessé tesszük, akkor pedig éppenséggel $ℝ$-t kapjuk.

Források

• Császár Ákos: Valós analízis I.