Divergens sorozat

Egy sorozat divergens, ha nem határozható meg egy konkrét érték, mely felé a sorozat tagjai tartanak. Más megfogalmazásban, egy sorozat divergens, ha nem konvergens. Ekkor ha a sorozat bármely tagja körül meghatározunk egy körzetet (egy tetszőleges számot - küszöbindexet -, amivel legfeljebb el lehet térni tőle), akkor azt vehetjük észre, hogy a sorozat tagjai elvándorolnak ettől, esetleg bolyonganak (oszcillálnak) benne.

Matematikai definíciója

Metrikus terekben

$(K,d)$ metrikus tér

$a_n\in K,n\in \mathbb{N}$ mely szerint $a$ tehát $K$ elemeiből alkotott sorozat

ha a következő teljesül:

$\mathrm{\forall }\alpha \in K\mathrm{\exists }ϵ>0\mathrm{\forall }{n}_0\in \mathbb{N}\mathrm{\exists }n\in \mathbb{N}:(n>n_0\wedge d(a_n,\alpha )>ϵ)$

akkor a sorozat divergens, és nincs határértéke.

Számtestekben

$K$ számtest

$a_n\in K,n\in \mathbb{N}$ mely szerint $a$ tehát $K$ elemeiből alkotott sorozat

ha a következő teljesül:

$\mathrm{\forall }\alpha \in K\mathrm{\exists }ϵ>0\mathrm{\forall }{n}_0\in \mathbb{N}\mathrm{\exists }n\in \mathbb{N}:(n>n_0\wedge \mid a_n-\alpha \mid >ϵ)$

akkor a sorozat divergens, és nincs határértéke.

Megjegyzés: minden K számtest metrikus tér a $d(a,b):=\mid a-b\mid$ metrikával, ahol az |a-b| függvény az a,b elemek különbségének abszolútértéke; azaz |x| := {z∈K | (z=x ∨ z=-x) ∧ z>0 }.

Példák

$n\in \mathbb{N},a_n\in ℝ$

$a_n=(-1{)}^n$

ennek a sorozatnak minden páros eleme 1, minden páratlan eleme -1

$a_n=n$

ennek a sorozatnak nincs határértéke $ℝ$-ben.

Megjegyzések, tételek

Minden korlátos sorozatnak van konvergens részsorozata.

Valós számsorozat lényegében kétféleképpen lehet nem konvergens. Vagy azért divergens, mert nem egy, hanem több érték körül csoportosul a sorozat elemei (például az $a_n=(-1{)}^n$ sorozat az 1 és a −1 értékeket is végtelen sokszor felveszi), az ilyen tipusú sorozatra azt mondjuk, hogy oszcillálva divergál. A másik lehetőség, mikor a sorozat elemei minden határon túl nőnek, tehát nem korlátos a sorozat. Ha egy a_n sorozatra igaz, hogy bármely 0 < N-re található olyan n₀ küszöbszám, hogyha n > n₀ akkor a_n > N, akkor azt mondjuk, hogy a sorozat a plusz végtelenbe divergál. Ha a kibővített valós számok felett tekintünk erre a sorozatra, akkor a plusz végtelenbe konvergál kifejezést is használhatjuk. Például

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{n}^2=+\mathrm{\infty }$

A mínusz végtelenbe divergálást (konvergálást) hasonlóan értelmezzük.

Források

• Analízis lépésről-lépésre - Konvergens, divergens sorozatok. Dr. Stettner Eleonóra, Kaposvári Egyetem (2014)
• Sorozatok - Farkas István, DEATC GazdaságelemzésiésStatisztikaiTanszék