Torlódási pont

A torlódási pont egy topológiai fogalom, egy X topologikus tér S részhalmazára vonatkozóan. Az x pontot (amely X eleme, de nem szükségszerűen eleme S-nek) akkor nevezzük torlódási pontnak ha "közelíthető" S-ben lévő pontokkal vagyis bármely környezete az x pontnak tartalmaz x-től különböző S-ben lévő pontokat. Fontos, hogy magának az x pontnak nem muszáj az S halmaz elemének lennie. Ez a fogalom fontos építőeleme olyan fogalmaknak, mint a zárt halmaz és egy halmaz lezártja.

Definíció

Legyen S az X topologikus tér egy részhalmaza. Egy x pontot akkor nevezünk S (egy) torlódási pontjának ha x minden környezete tartalmaz legalább egy x-től különböző pontot amely[ek] eleme[i] S-nek. A definíció akkor is érvényes (és ugyanazt jelenti) ha a környezetek alatt nyílt környezeteket értünk.

Torlódási pontok típusai

Egy sorozat, amely végighalad minden pozitív racionális számon. Minden pozitív valós szám sűrűsödési pontja (angolul: cluster pontja) ennek a sorozatnak, vagyis bármely pozitív valós számnak a tetszőleges környezetében van pozitív racionális szám, vagyis olyan szám, ami az előbbi sorozatnak eleme.

A hagyományos euklidészi topológiákban a következő racionális számsorozat:·$x_n=(-1{)}^n\frac{n}{n+1}$ nem konvergens ( vagyis nincs határértéke), de van 2 sűrűsödési pontja (amelyek a sorozat elemei által alkotott halmaz torlódási pontjai), amelyek -1 és +1.

Ha minden nyitott halmaz, amely tartalmazza x-et, tartalmaz végtelen sok egyéb pontot is S-ből, akkor x ω-sűrűsödési pontja S-nek.

Ha minden nyitott halmaz, ami tartalmazza x-et, megszámlálhatatlan sok S-beli pontot is tartalmaz akkor x S kondenzációs pontja.

Ha minden nyitott halmaz U-ra, ami tartalmazza x-et teljesül, hogy Sablon:Nowrap, akkor x S teljes sűrűsödési pontja.

Az Sablon:Nowrap pont egy sűrűsödési pontja a (x_n)_n ∈ N sorozatnak, ha x bármely V környezetére létezik végtelen sok olyan n természetes szám, hogy x_n ∈ V.

Források

• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), "Limit point of a set"Sablon:Halott link, Encyclopedia of Mathematics, Springer, Sablon:ISBN

Külső hivatkozások

• limit point