Maxwell–Boltzmann-eloszlás

A Maxwell–Boltzmann-eloszlás gázokban lévő részecskék sebességéről szól, ahol a részecskék között nincs állandó kölcsönhatás, szabadon mozognak rövid ütközések között. A részecskék sebességének valószínűségét írja le (a sebességvektor hosszát) a rendszer hőmérsékletének függvényében. James Clerk Maxwellről és Ludwig Boltzmannról nevezték el.

Többnyire azt gondolják a Maxwell–Boltzmann-eloszlásról, hogy az csak a molekuláris sebességekről szól, de vonatkozik a sebességek eloszlására, a nyomatékokra, a molekulák momentumának nagyságrendjére, és mindezek különböző eloszlási valószínűségére is.

Ez a szócikk a sebességek eloszlásáról szól.

Az eloszlásban háromdimenziós vektorok szerepelnek, melyek komponensei függetlenek és normális eloszlásúak '0' középértékkel és a $a$ szórással.

Ha $X_{i}$ eloszlása $X \sim N (0, a^{2})$ , akkor

Z = \sqrt{X_{1}^{2} + X_{2}^{2} + X_{3}^{2}}

a Maxwell–Boltzmann-eloszlást követi $a$ paraméterrel. Az $a$ paramétertől eltekintve az eloszlás azonos a 3 szabadságfokú khí-eloszlással.

Alkalmazás

A Maxwell–Boltzmann-eloszlást a termodinamikai egyensúly közelében lévő ideális gázokra alkalmazzák nemrelativisztikus sebességeken, ahol a kvantummechanikai hatás elhanyagolható.

A kinetikus gázelmélet alapjául szolgál, megmagyarázza a gázok alapvető tulajdonságait, mint például a nyomást és a diffúziót.

Levezetés

Maxwell levezetésében eredetileg a három irány egyenlő mértékben szerepelt, de később Boltzmann elhagyta ezt a feltételezést és a kinetikus elméletet használta.

Az energiákat tekintve a Maxwell–Boltzmann-eloszlás leginkább a Boltzmann-eloszlásból ered:

\frac{N_{i}}{N} = \frac{g_{i} \exp (- E_{i} / k T)}{\sum_{j}^{} g_{j} \exp (- E_{j} / k T)} (1)

ahol:

i a mikroállapot
E_i az i mikroállapot energia szintje
T a rendszer egyensúlyi hőmérséklete
g_i az a tényező, mely az azonos energiaállapotban lévő mikroállapotok számát jelzi.
k a Boltzmann-állandó
N_i az egyensúlyi T hőmérsékleten a molekulák száma az i állapotban (kvantumállapotok hasonló energia állapotokban).
N a molekulák teljes száma

A fenti egyenletet néha g_i degenerációs tényező nélkül írják fel. Ez esetben az “i” index egy egyedi állapotot specifikál a g_i állapotok helyett, melyek hasonló E_i energiával rendelkeznek.

Kapcsolatot teremt az energia a és a részecskék hőmérséklete között.

Ebben az egyenletben a nevezőt úgy ismerik, mint a kanonikus partíciós függvény.

Az impulzusvektor eloszlása

Ez a levezetés nagyban különbözik Maxwell azon levezetésétől, amit később Boltzmann kiegészített. Ez Boltzmann 1877-es megközelítéséhez áll közel. Arra az esetre, amikor az ideális gáz alaphelyzetben olyan atomokat tartalmaz, melyek nincsenek egymással kölcsönhatásban, minden energia kinetikus energia formában van jelen és a g_i, állandó minden i-re. A kinetikus energia és a lendület közötti kapcsolat részecskékre:

E = \frac{p^{2}}{2 m} (2)

ahol p² az impulzusvektor négyzete p = [p_x, p_y, p_z]. Ekkor átírhatjuk a (1) egyenletet:

\frac{N_{i}}{N} = \frac{1}{Z} \exp [- \frac{p_{i, x}^{2} + p_{i, y}^{2} + p_{i, z}^{2}}{2 m k T}] (3)

Ahol Z a partíció függvény, az (1) egyenlet nevezője. Az “m” a gáz molekuláris tömege, “T” a termodinamikus hőmérséklet és “k” a Boltzmann-állandó. N_i/N eloszlás arányos a f_p sűrűségfüggvénnyel:

f_{𝐩} (p_{x}, p_{y}, p_{z}) = \frac{c}{Z} \exp [- \frac{p_{x}^{2} + p_{y}^{2} + p_{z}^{2}}{2 m k T}] . (4)

A c normalizáló állandó meghatározásánál figyelembe veendő, hogy 1 annak a valószínűsége, hogy bármely molekulának van impulzusa. Ezért a (4) egyenlet integráljának minden p_x, p_y és p_z-re 1-nek kell lennie.

c = \frac{Z}{(2 π m k T)^{3 / 2}} . (5)

Az (5) egyenletet behelyettesítve a (4) egyenletbe:

f_{𝐩} (p_{x}, p_{y}, p_{z}) = {(\frac{1}{2 π m k T})}^{3 / 2} \exp [- \frac{p_{x}^{2} + p_{y}^{2} + p_{z}^{2}}{2 m k T}] . (6)

Látható, hogy az eloszlás három független, normális eloszlású változó, $p_{x}$ , $p_{y}$ és $p_{z}$ szorzata, $m k T$ szórásnégyzettel. Ráadásul látható, hogy a momentum nagyságrendjének eloszlása megfelel a Maxwell–Boltzmann-eloszlásnak, $a = \sqrt{m k T}$ mellett. Az impulzus Maxwell–Boltzmann-eloszlása alapvetően megkapható a H-elmélet felhasználásával egyensúlyi állapotban a kinetikus elmélet keretein belül.

Energiaeloszlás

p² = 2mE esetén, az energia eloszlása:

f_{E} d E = f_{p} (\frac{d p}{d E}) d E = 2 \sqrt{\frac{E}{π}} {(\frac{1}{k T})}^{3 / 2} \exp [\frac{- E}{k T}] d E . (7)

Mivel az energia arányos a három normális eloszlású impulzuskomponens négyzetével, ez az eloszlás a gamma-eloszlás, és a khí-négyzet eloszlás harmadfokú szabadságfokkal. Az ekvipartíció-tétel szerint, ez az energia egyenletesen oszlik el a három szabadságfok között, így az egy szabadságfokra jutó energia a khí-négyzet eloszlás szerint oszlik el, egy szabadságfokkal:^[1]

f_{ϵ} (ϵ) d ϵ = \sqrt{\frac{ϵ}{π k T}} \exp [\frac{- ϵ}{k T}] d ϵ

ahol $ϵ$ egy szabadságfokra jutó energia. Egyensúlyi állapotban az eloszlás igaz bármely számú szabadságfokra. Például, ha a részecskék merev dipólusok, három transzlációs szabadságfokkal és kettő járulékos körforgó szabadságfokkal rendelkeznek. Minden egyes szabadságfok energiája a fent említett khí-négyzet eloszlással írható le és a teljes energia a khí-négyzet eloszlással írható le öt szabadságfokkal. Ennek hatása van a gázok hőkapacitás elméletére.

Sebességvektor-eloszlás

A sebességvektor valószínűségi sűrűsége f_v arányos az impulzus valószínűségi sűrűségfüggvényével:

f_{𝐯} d^{3} v = f_{𝐩} {(\frac{d p}{d v})}^{3} d^{3} v

és ha p = mv , akkor

f_{𝐯} (v_{x}, v_{y}, v_{z}) = {(\frac{m}{2 π k T})}^{3 / 2} \exp [- \frac{m (v_{x}^{2} + v_{y}^{2} + v_{z}^{2})}{2 k T}],

mely a Maxwell–Boltzmann-sebességvektor eloszlása.

Látni kell, hogy a Maxwell-Boltzmann sebességvektor-eloszlás a [v_x, v_y, v_z] sebességvektorokra az eloszlások szorzata mindhárom irányra:

f_{v} (v_{x}, v_{y}, v_{z}) = f_{v} (v_{x}) f_{v} (v_{y}) f_{v} (v_{z})

Ahol minden egyes irányra az eloszlás:

f_{v} (v_{i}) = \sqrt{\frac{m}{2 π k T}} \exp [\frac{- m v_{i}^{2}}{2 k T}] .

A sebességvektor minden komponense normális eloszlású $μ_{v_{x}} = μ_{v_{y}} = μ_{v_{z}} = 0$ középértékkel és a szórás $σ_{v_{x}} = σ_{v_{y}} = σ_{v_{z}} = \sqrt{\frac{k T}{m}}$ így a vektornak egy háromdimenziós normál eloszlása van, ‘multinormál’ eloszlásnak is hívják, $μ_{𝐯} = 𝟎$ középértékkel és $σ_{𝐯} = \sqrt{\frac{3 k T}{m}}$ szórással.

A sebességeloszlás

A sebesség itt skaláris mennyiség.

Maxwell-Boltzmann molekuláris sebességeloszlás

Az ábra néhány nemesgáz sebességének valószínűségi sűrűségfüggvényét ábrázolja 25 °C hőmérsékleten. Az y tengelyen s/m a paraméter, így a görbe alatti terület dimenzió nélküli. Általában a molekulák sebessége érdekel bennünket és nem a komponenseinek vektorai. A Maxwell–Boltzmann-eloszlás a sebességvektor eloszlásából következik. A sebesség:

v = \sqrt{v_{x}^{2} + v_{y}^{2} + v_{z}^{2}}

és a térfogat növekménye:

d v_{x} d v_{y} d v_{z} = v^{2} \sin ϕ d v d θ d ϕ

ahol a $θ$ és a $ϕ$ a vektor azimut és útszög (a vektor eltérési szöge) jellemzői. A normál valószínűségi sűrűségfüggvény integrálása, a sebesség behelyettesítve a vektorkomponensek négyzetének összegével, adja a valószínűségi sűrűségfüggvényt a sebességre:

f (v) = \sqrt{\frac{2}{π} {(\frac{m}{k T})}^{3}} v^{2} \exp (\frac{- m v^{2}}{2 k T})

Ez az egyenlet egyszerűen a Maxwell-eloszlás $a = \sqrt{\frac{k T}{m}}$ szórásparaméterrel.^[2]

Rendszerint sokkal jobban érdekel bennünket a részecskék átlagos sebessége, mint az aktuális eloszlásuk. Az átlagos sebesség, a legvalószínűbb sebesség a Maxwell-eloszlásból számítható.

A tipikus sebességek

A gyakorlatban az eloszlásnál érdekesebb lehet az átlagos sebesség.

A leginkább valószínű sebesség v_p, az a sebesség, melyet bármely molekula leginkább felvesz (azonos tömeg esetén) és mely megfelel a f(v) maximum értékének. Ehhez a $\frac{d f (v)}{d v} = 0$ egyenletet kell megoldani v-re:

v_{p} = \sqrt{\frac{2 k T}{m}} = \sqrt{\frac{2 R T}{M}}

Ahol R a gázállandó és M = N_A, m az anyag moláris tömege. A kétatomos nitrogén esetében (N₂,mely a levegő fő komponense) szobahőmérsékleten: $v_{p} = 422$ m/s Az átlagos sebesség a sebességeloszlás matematikai átlaga:

⟨ v ⟩ = \int_{0}^{\infty} v f (v) d v = \sqrt{\frac{8 k T}{π m}} = \sqrt{\frac{8 R T}{π M}} = \frac{2}{\sqrt{π}} v_{p}

A v_rms effektív sebesség az átlagos sebesség négyzetgyöke:

v_{r m s} = {(\int_{0}^{\infty} v^{2} f (v) d v)}^{1 / 2} = \sqrt{\frac{3 k T}{m}} = \sqrt{\frac{3 R T}{M}} = \sqrt{\frac{3}{2}} v_{p}

A tipikus sebességek viszonya:

0.886 ⟨ v ⟩ = v_{p} < ⟨ v ⟩ < v_{r m s} = 1.085 ⟨ v ⟩ .

A relatív sebesség eloszlása

A relatív sebesség: $u = \frac{v}{v_{p}}$ , ahol $v_{p} = \sqrt{\frac{2 k T}{m}} = \sqrt{\frac{2 R T}{M}}$ a legvalószínűbb sebesség. Arelatív sebességeloszlás ismerete lehetővé teszi különböző gázok összehasonlítását függetlenül a hőmérséklettől és a molekuláris súlytól.

Amikor a gáz forrósódik és a kT közelít vagy meghaladja a mc²-t a $γ = 1 / \sqrt{1 - v^{2} / c^{2}}$ valószínűségi eloszlása a relativisztikus maxwelli gáznál a Maxwell–Juttner-eloszlás szerint:^[3]

f (γ) = \frac{γ^{2} β}{θ K_{2} (1 / θ)} e x p (- \frac{γ}{θ}) (11)

ahol: $β = \frac{v}{c} = \sqrt{1 - 1 / γ^{2}},$ $θ = \frac{k T}{m c^{2}},$ és a $K_{2}$ a módosított másodrendű Bessel-függvény.

Az impulzussal kifejezve:

f (p) = \frac{1}{4 π m^{3} c^{3} θ K_{2} (1 / θ)} e x p (- \frac{γ (p)}{θ})

Ahol: $γ (p) = \sqrt{1 + {(\frac{p}{m c})}^{2}}$ .

A Maxwell–Juttner egyenlet kovariáns.^[4]

További információk

Java szimuláció a Maxwell–Boltzmann-eloszlás kifejlődéséről 250 egyforma sebességű részecske ütközései során. Szerzők: W. Christian és P. Krahmer
Letölthető interaktív szimuláció a Maxwell–Boltzmann-eloszlás görbéiről 50 K és 500 K között. Szerző: Zbigniew Kąkol

Kapcsolódó szócikkek

Jegyzetek

Sablon:Jegyzetek

Sablon:Portál

Sablon:Commonscat

↑ Sablon:Cite book, Appendix N, page 434
↑ http://mathworld.wolfram.com/MaxwellDistribution.html Sablon:Wayback Maxwell distribution
↑ Sablon:Cite book
↑ Sablon:Cite journal

[1] Sablon:Cite book, Appendix N, page 434

[2] ttp://mathworld.wolfram.com/MaxwellDistribution.html Sablon:Wayback Maxwell distribution

[Synge-3] Sablon:Cite book

[4] Sablon:Cite journal

[1]

[2]

[3]

[4]

Maxwell–Boltzmann-eloszlás

Tartalomjegyzék

Alkalmazás

Levezetés

Az impulzusvektor eloszlása

Energiaeloszlás

Sebességvektor-eloszlás

A sebességeloszlás

A tipikus sebességek

A relatív sebesség eloszlása

További információk

Kapcsolódó szócikkek

Jegyzetek

Navigációs menü

Maxwell–Boltzmann-eloszlás

Alkalmazás

Levezetés

Az impulzusvektor eloszlása

Energiaeloszlás

Sebességvektor-eloszlás

A sebességeloszlás

A tipikus sebességek

A relatív sebesség eloszlása

További információk

Kapcsolódó szócikkek

Jegyzetek

Navigációs menü

Keresés