Rayleigh-eloszlás

A valószínűségszámítás elméletében, és a statisztika területén a Rayleigh-eloszlás egy folytonos valószínűség eloszlás.

A Rayleigh-eloszlás gyakran megfigyelhető, amikor egy vektor nagyságrendje kapcsolatban van az irány komponenseivel.

Egy tipikus példa a Rayleigh-eloszlásra, mely a természetben is megfigyelhető, amikor a szél sebességét analizálják az ortogonális kétdimenziós vektor komponensei szerint. Feltételezve, hogy a komponenseknek nincs korrelációjuk egymással, és normális eloszlásúak, hasonló szórásnégyzettel, akkor a szél sebességét a Rayleigh-eloszlás jellemzi.

Egy következő példa az algebrából: véletlenszerű komplex számok esetében, ahol a valós és imaginárius komponensek függetlenek és azonos eloszlásúak. Ebben az esetben a komplex szám abszolút értéke Rayleigh-eloszlású.

Az eloszlást felfedezőjéről, John William Strutt-ról, Rayleigh III. lordjáról nevezték el.

A Rayleigh-féle valószínűségsűrűség-függvény:

$f(x;\sigma )=\frac{x}{{\sigma }^2}{e}^{-x^2/2{\sigma }^2},x\ge 0,$

ahol $\sigma >0,$ és a kumulatív eloszlás függvény:

$F(x)=1-e^{-x^2/2{\sigma }^2}$

ahol $x\in [0,\mathrm{\infty }).$

Tulajdonságok

A Rayleigh-eloszlás sűrűségfüggvénye

Rayleigh-féle kumulatív eloszlásfüggvény

A nyers momentum:

${\mu }_k={\sigma }^k{2}^{k/2}\mathrm{\Gamma }(1+k/2)$

ahol $\mathrm{\Gamma }(z)$ a gamma függvény. A Rayleigh-féle valószínűségi változó középértéke és szórásnégyzete:

$\mu (X)=\sigma \sqrt{\frac{\pi }{2}}\approx 1.253\sigma ,$

és

$\text{var}(X)=\frac{4-\pi }{2}{\sigma }^2\approx 0.429{\sigma }^2.$

$f_{\text{max}}=f(\sigma ;\sigma )=\frac{1}{\sigma }{e}^{-\frac{1}{2}}\approx \frac{0.606}{\sigma }$

A ferdeség:

${\gamma }_1=\frac{2\sqrt{\pi }(\pi -3)}{(4-\pi {)}^{3/2}}\approx 0.631.$

A többlet lapultság:

${\gamma }_2=-\frac{6{\pi }^2-24\pi +16}{(4-\pi {)}^2}\approx 0.245.$

A karakterisztikus függvény:

$\phi (t)=1-\sigma t{e}^{-{\sigma }^2{t}^2/2}\sqrt{\frac{\pi }{2}}(\text{erfi}\left(\frac{\sigma t}{\sqrt{2}}\right)-i)$

ahol $\mathrm{erfi}(z)$ a képzetes hibafüggvény.

A momentum-generáló függvény:

$M(t)=1+\sigma t{e}^{{\sigma }^2{t}^2/2}\sqrt{\frac{\pi }{2}}(\text{erf}\left(\frac{\sigma t}{\sqrt{2}}\right)+1),$

ahol $\mathrm{erfi}(z)$ a hibafüggvény.

Információ entrópia

Az információ entrópia, vagyis a Shannon-entrópiafüggvény: $H=1+\ln \left(\frac{\sigma }{\sqrt{2}}\right)+\frac{\gamma }{2}$

ahol $\gamma$ az Euler–Mascheroni állandó.

Paraméter becslés

N darab független és azonos eloszlású Rayleigh-eloszlású valószínűségi változó esetén a $\sigma$ maximális valószínűsége:

$\hat{\sigma }\approx \sqrt{\frac{1}{2N}\sum _{i=1}^N{x}_i^2}.$

A $\sigma$ értékének becslése az MRI képalkotó technikában is használatos, ahol az MRI képelemek komplex alkotókból állnak, és a háttér adat Rayleigh-eloszlású. A fenti összefüggés segítségével megbecsülhető a hiba szórás a MRI háttér adatokból.

Rayleigh-eloszlású valószínűségi változók generálása

Ha adva van egy állandó eloszlásból származó U valószínűségi változó, (0, 1) tartományban, akkor a valószínűségi változó:

$X=\sigma \sqrt{-2\ln (1-U)}$

Rayleigh-eloszlású lesz $\sigma$ paraméterrel. Ez a kumulatív eloszlás függvényből következik. Ha U egységes (uniformizált), (1–U)-nak is hasonló tulajdonsága lesz, a fenti összefüggés egyszerűsíthető:

$X=\sigma \sqrt{-2\ln (U)}.$

Megjegyzés: ha véletlen számokat generálunk [0,1) tartományban, a zérót kizárjuk, hogy elkerüljük a zéró természetes logaritmusát.

Kapcsolódó eloszlások

• Ha $R\sim \mathrm{R}\mathrm{a}\mathrm{y}\mathrm{l}\mathrm{e}\mathrm{i}\mathrm{g}\mathrm{h}(\sigma )$ Rayleigh-eloszlású, akkor $R=\sqrt{X^2+Y^2}$, ahol $X\sim N(0,{\sigma }^2)$, és $Y\sim N(0,{\sigma }^2)$ független normál valószínűségi változók.(Ez teszi lehetővé a $\sigma$ szimbólum alkalmazását a fenti Rayleigh-sűrűségfüggvény parametrizálásánál.
• Ha $R\sim \mathrm{R}\mathrm{a}\mathrm{y}\mathrm{l}\mathrm{e}\mathrm{i}\mathrm{g}\mathrm{h}(1)$, akkor $R^2$ khí-négyzet eloszlású. két szabadságfokkal: $R^2\sim {\chi }_2^2$
• Ha X exponenciális eloszlású , akkor $X\sim \mathrm{E}\mathrm{x}\mathrm{p}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{l}(\lambda )$, then $Y=\sqrt{2X{\sigma }^2\lambda }\sim \mathrm{R}\mathrm{a}\mathrm{y}\mathrm{l}\mathrm{e}\mathrm{i}\mathrm{g}\mathrm{h}(\sigma )$.
• Ha $R\sim \mathrm{R}\mathrm{a}\mathrm{y}\mathrm{l}\mathrm{e}\mathrm{i}\mathrm{g}\mathrm{h}(\sigma )$, akkor $\sum _{i=1}^N{R}_i^2$ gamma-eloszlású, $N$ and $2{\sigma }^2$: $[Y=\sum _{i=1}^N{R}_i^2]\sim \mathrm{\Gamma }(N,2{\sigma }^2)$ paraméterekkel.
• A Khí-eloszlás a Rayleigh-eloszlás egy általánosítása
• A Rice-eloszlás a Rayleigh-eloszlás egy általánosítása
• A Weibull-eloszlás a Rayleigh-eloszlás egy általánosítása. Ez esetben a sigma paraméter kapcsolódik a Weibull-skálaparaméterhez $\lambda$:

$\lambda =\sigma \sqrt{2}$.

• A Maxwell–Boltzmann-eloszlás írja le a normál vektor nagyságrendjét három dimenzióban.

Kapcsolódó szócikkek

• Rayleigh-fading
• Maxwell–Boltzmann statisztika
• Boltzmann-eloszlás
• Maxwell sebesség eloszlás
• Matematikai statisztika
• Normális eloszlás
• Szórás
• Nakagami-eloszlás
• Norma
• Valószínűségi változó
• Szórásnégyzet
• Entrópia