Weibull-eloszlás

A valószínűségszámítás elméletében és a statisztika területén a Weibull-eloszlás egy folytonos valószínűség-eloszlás.

Ezt az eloszlást Waloddi Weibullról nevezték el, aki 1951-ben írta le részletesen.

Az eloszlást Maurice Fréchet (1927) fedezte fel, és 1933-ban alkalmazták először granulált részecskék (granulátumok) eloszlására.

Meghatározás

A Weibull x valószínűségi változó valószínűség-sűrűségfüggvénye:

$f(x;\lambda ,k)=\{\begin{array}{cc}\frac{k}{\lambda }{\left(\frac{x}{\lambda }\right)}^{k-1}{e}^{-(x/\lambda {)}^k}& x\ge 0,\\ 0& x<0,\end{array}$

ahol k > 0 az alakparaméter és λ > 0 a skálaparaméter. A komplementer kumulatív eloszlásfüggvénye a nyújtott exponenciális függvény. A Weibull-eloszlás több más valószínűségi eloszlással is kapcsolatos, különösen az exponenciális eloszlással (k = 1), és a Rayleigh-eloszlással (k = 2). A Weibull-eloszlás ez utóbbi kettő közötti interpolációjának tekinthető. Ha x az az érték, mely a meghibásodásig eltelt időt jelzi, akkor a Weibull-eloszlás az idővel arányos meghibásodási gyakoriságot jelzi. A k alakparaméter értelmezése a következő:

• k<1 azt jelenti, hogy a meghibásodási gyakoriság idővel csökken. Ez akkor fordul elő, ha a kezdeti meghibásodás jelentős, és idővel ezért csökken a meghibásodás, mert a potenciálisan hibás elemek már kiestek a rendszerből.
• k=1 esetén a meghibásodási gyakoriság időben állandó. Ez azt jelenti, hogy a hibákat véletlenszerű külső események okozzák.
• k>1 azt jelzi, hogy a meghibásodási gyakoriság időben növekszik. Ez akkor fordulhat elő, amikor a vizsgálat tárgya az öregedési tartományba kerül, a rendszer alkotóelemei az elöregedés, és az elhasználódás miatt egyre gyakrabban hibásodnak meg.

Az anyagtudományok területén a k alakparaméter Weibull-modulusként ismert.

Tulajdonságok

Sűrűségfüggvény

Valószínűség-sűrűségfüggvény (2 paraméteres)

Kumulatíveloszlás-függvény (2 paraméteres)

A Weibull-eloszlás sűrűségfüggvénye drasztikusan változik a k értéktől függően.

0 < k < 1 tartományban a sűrűségfüggvény ∞ felé tart, ha x tart a zéróhoz.

k = 1 esetében a sűrűségfüggvény az 1/λ felé tart, amikor x közelít a zéróhoz.

k > 1 esetén a sűrűségfüggvény zéróhoz tart, ha x zéróhoz tart, és monoton nő a maximumig, majd csökkenni kezd. Érdemes megjegyezni, hogy a sűrűségfüggvény negatív meredekségű x=0-nál, ha 0 < k < 1; monoton pozitív meredekségű x= 0-nál, ha 1 < k < 2, és lapos x= 0-nál, ha k > 2.

k= 2 esetén a sűrűség monoton pozitív meredekségű x=0-nál.

Ha k tart a végtelenbe, a Weibull-eloszlás a Dirac delta eloszláshoz konvergál x= λ középértékkel.

Eloszlásfüggvény

A Weibull-eloszlás kumulatív eloszlásfüggvénye:

$F(x;k,\lambda )=1-e^{-(x/\lambda {)}^k}$

x ≥ 0, és F(x; k; λ) = 0 x < 0 esetén. A meghibásodási gyakoriság h (vagy hazárd ráta):

$h(x;k,\lambda )=e^{-{\left(\frac{x}{\lambda }\right)}^k}\frac{k}{\lambda }{\left(\frac{x}{\lambda }\right)}^{k-1}.$

Momentumok

A Weibull-eloszlású valószínűségi változók logaritmusának a momentum-generáló függvénye:

$E\left[e^{t\log X}\right]={\lambda }^t\mathrm{\Gamma }(\frac{t}{k}+1)$

ahol $\mathrm{\Gamma }$ a gamma-függvény. Hasonlóan a log X karakterisztikus függvénye:

$E\left[e^{it\log X}\right]={\lambda }^{it}\mathrm{\Gamma }(\frac{it}{k}+1).$

Az X n-edik nyers momentuma:

$m_n={\lambda }^n\mathrm{\Gamma }(1+\frac{n}{k}).$

Egy Weibull valószínűségi változó középértéke és szórásnégyzete:

$\mathrm{E}(X)=\lambda \mathrm{\Gamma }(1+\frac{1}{k})$

és

$\text{var}(X)={\lambda }^2[\mathrm{\Gamma }(1+\frac{2}{k})-{\mathrm{\Gamma }}^2(1+\frac{1}{k})].$

A ferdeség:

${\gamma }_1=\frac{\mathrm{\Gamma }(1+\frac{3}{k}){\lambda }^3-3\mu {\sigma }^2-{\mu }^3}{{\sigma }^3}$

ahol $\mu$ a középérték és $\sigma$ a szórás. A többletlapultság:

${\gamma }_2=\frac{-6{\mathrm{\Gamma }}_1^4+12{\mathrm{\Gamma }}_1^2{\mathrm{\Gamma }}_2-3{\mathrm{\Gamma }}_2^2-4{\mathrm{\Gamma }}_1{\mathrm{\Gamma }}_3+{\mathrm{\Gamma }}_4}{[{\mathrm{\Gamma }}_2-{\mathrm{\Gamma }}_1^2{]}^2}$

ahol ${\mathrm{\Gamma }}_i=\mathrm{\Gamma }(1+i/k)$. A lapultság még kifejezhető így is:

${\gamma }_2=\frac{{\lambda }^4\mathrm{\Gamma }(1+\frac{4}{k})-4{\gamma }_1{\sigma }^3\mu -6{\mu }^2{\sigma }^2-{\mu }^4}{{\sigma }^4}-3$

Momentum-generáló függvény

Számos kifejezés ismert a X momentum-generáló függvényre: sorozatként:

$E\left[e^{tX}\right]=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{t^n{\lambda }^n}{n!}\mathrm{\Gamma }(1+\frac{n}{k}).$

Integrálként:

$E\left[e^{tX}\right]=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{tx}\frac{k}{\lambda }{\left(\frac{x}{\lambda }\right)}^{k-1}{e}^{-(x/\lambda {)}^k}dx.$

Ha k racionális szám, k = p/q, ahol p és q egész, akkor ezt az integrál analitikus módon kiértékelhető. Ha t–t helyettesítjük t-vel, akkor:

$E\left[e^{-tX}\right]=\frac{1}{{\lambda }^k{t}^k}\frac{p^k\sqrt{q/p}}{(\sqrt{2\pi }{)}^{q+p-2}}{G}_{p,q}^{q,p}\left(\begin{array}{c}\frac{1-k}{p},\frac{2-k}{p},\dots ,\frac{p-k}{p}\\ \frac{0}{q},\frac{1}{q},\dots ,\frac{q-1}{q}\end{array}|\frac{p^p}{{\left(q{\lambda }^k{t}^k\right)}^q}\right)$

ahol G a Meijer G-függvény. A karakterisztikus függvény is kiszámítható Muraleedharan és társai által kidolgozott módon.

Az információ entrópiája

Az információ entrópiája (Shannon-entrópiafüggvény):

$H=\gamma (1-\frac{1}{k})+\ln \left(\frac{\lambda }{k}\right)+1$

ahol $\gamma$ az Euler–Mascheroni állandó.

Weibull-plot

A Weibull-eloszlást vizuálisan a Weibull-plot jelenítheti meg. A Weibull-plot a tapasztalati kumulatív eloszlásfüggvény megjelenítése. Egy Q-Q plot-ban speciális tengelyeket használva az $\hat{F}(x)$ adat ábrázolható. A tengelyek $\ln (-\ln (1-\hat{F}(x)))$ és $\ln (x)$. A változók megváltozástatásának az oka a kumulatív eloszlásfüggvény linearizálása:

$\begin{array}{cc}F(x)& =1-e^{-(x/\lambda {)}^k}\\ -\ln (1-F(x))& =(x/\lambda {)}^k\\ \underset{\text{'y'}}{\underbrace{\ln (-\ln (1-F(x)))}}& =\underset{\text{'mx'}}{\underbrace{k\ln x}}-\underset{\text{'c'}}{\underbrace{k\ln \lambda }}\end{array}$

Ha az adat a Weibull-eloszlásból származik, akkor a Weibull-plotban egy közel egyenes vonal várható. Számos megközelítés létezik arra, amikor a tapasztalati eloszlásfüggvény generálása történik. Az egyik módszer, amikor minden egyes pont függőleges koordinátája a következő összefüggésből származik: $\hat{F}=\frac{i-0.3}{n+0.4}$ ahol $i$ az adat rangsora és $n$ az adatpontok száma. A Weibull-eloszlás paramétereinek kiértékeléséhez a lineáris regresszió módszere is alkalmazható. A gradiens a $k$ alak paraméterről ad információt közvetlenül, és a $\lambda$ paraméterre is lehet következtetni.

Alkalmazás

A Weibull-eloszlást a következő területeken alkalmazzák:

• Túlélés-analízis
• Hibananalizis
• Megbízhatósági számítások
• Ipari termelésnél (szállítási idők stb.)
• Időjárás-előrejelzés (szélsebesség-eloszlás)
• Extrémérték-elmélet
• Kommunikációban (radar képek kiértékelésénél, mobil kommunikációban a csatornák áthallás vizsgálatánál)
• Általános (nem élet-) biztosításoknál
• Technológiaváltozásoknál
• Hidrológiában (egynapos esők maximális mennyisége, folyó áradások becslése)
• Granulált részecskék méretének becslésénél

Kapcsolódó eloszlások

A kiegészített Weibull-eloszlás egy járulékos paramétert tartalmaz.

Ennek a valószínűség-sűrűségfüggvénye:

$f(x;k,\lambda ,\theta )=\frac{k}{\lambda }{\left(\frac{x-\theta }{\lambda }\right)}^{k-1}{e}^{-(\frac{x-\theta }{\lambda }{)}^k}$

$x\ge \theta$ és f(x; k, λ, θ) = 0 x < θ-re, ahol $k>0$ is az alakparaméter, $\lambda >0$ a skálaparameter és a $\theta$ a helyparaméter. Ha θ=0, akkor ez 2 paraméteres eloszlásra redukálja az eloszlást.

A Weibull-eloszlás úgy is jellemezhető, mint egy X valószínűségi változó eloszlása:

$Y={\left(\frac{X}{\lambda }\right)}^k$

mely az exponenciális eloszlás 1 intenzitással.

A Weibull-eloszlás egy interpoláció az exponenciális eloszlás (1/λ intenzitással, ha k = 1) és a Rayleigh-eloszlás között, amikor a Rayleigh eloszlásnál $\sigma =\lambda /\sqrt{2}$ ha k = 2. A Weibull-eloszlás jellemezhető az állandó eloszlással is. Ha X eloszlása állandó (0,1),tartományban, akkor a valószínűségi változó $\lambda (-\ln (X){)}^{1/k}$ Weibull-eloszlású k és λ paraméterekkel. Ez egy egyszerűen implementálható numerikus sémát ad a Weibull-eloszlás szimulációjára.

A Weibull-eloszlás a három paraméteres hatványozott Weibull-eloszlás egy speciális esete, ahol a járulékos kitevő =1. A hatványozott Weibull-eloszláshoz tartozik az „unimodális fürdőkádgörbe” és a monoton hiba ráta.

A Weibull-eloszlás az általánosított extrémérték-eloszlás egy speciális esete. Ebben a kapcsolatban azonosította először Maurice Fréchet 1927-ben a Weibull-eloszlást. Az ezzel szoros kapcsolatban lévő Fréchet-eloszlás (Fréchet-ről elnevezve), a következő valószínűség sűrűség eloszlással rendelkezik:

$f_{\mathrm{F}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{t}}(x;k,\lambda )=\frac{k}{\lambda }{\left(\frac{x}{\lambda }\right)}^{-1-k}{e}^{-(x/\lambda {)}^{-k}}=*f_{\mathrm{W}\mathrm{e}\mathrm{i}\mathrm{b}\mathrm{u}\mathrm{l}\mathrm{l}}(x;-k,\lambda ).$

A Weibull-eloszlást a 3 paraméteres hatványozott Weibull-eloszlásra is lehet általánosítani. Ez az az eset, amikor a meghibásodási ráta több tényezőtől függ, és időnként nő, máskor meg csökken (lásd: fürdőkádgörbe). Azt az eloszlást, melyet minimálisan több valószínűségi változó határoz meg, és mindegyiknek különböző Weibull-eloszlása van, azt poli-Weibull-eloszlásnak hívják.

Irodalom

• Sablon:CitLib
• Sablon:CitLib
• Sablon:CitLib
• Sablon:CitLib

Kapcsolódó szócikkek

• Fisher–Tippett–Gnedenko elmélet
• Statisztika
• Rayleigh-fading
• Normális eloszlás
• Exponenciális eloszlás
• Gamma-eloszlás
• Shannon-entrópiafüggvény
• Entrópia
• Lapultság
• Fürdőkádgörbe
• poli-Weibull-eloszlás
• Fréchet-eloszlás
• Általánosított extrémérték-eloszlás
• Hatványozott Weibull-eloszlás
• Extrémérték-elmélet
• Nyújtott exponenciális függvény

Jegyzetek

• Adatok
• A Weibull-eloszlás
• Egy PDF-fájl