Boltzmann-tényező

A Boltzmann-tényező a fizika egyik szakterminusa, egy súlyzó tényező, amely meghatározza egy többállapotú rendszerben az i állapotban lévő részecske relatív valószínűségét, amikor a rendszer termodinamikus egyensúlyban van T hőmérsékleten.

Normál esetben a Boltzmann-tényezőt a kanonikus halmazok leírásánál alkalmazzák. A nagy kanonikus halmazok esetén a Gibbs-tényező használata előnyösebb, mely figyelembe veszi a részecske mozgását a rendszer és a környezet között. Annak a valószínűsége, hogy egy rendszer $E_{i}$ állapotban van:

P (E_{i}) = \frac{1}{Z} \exp (- β E_{i})

ahol $β$ :

β = \frac{1}{k_{B} T}

$Z_{}$ a partíció függvény (statisztikai mechanika) $k_{B}$ a Boltzmann-állandó, $T$ a hőmérséklet $E_{i}$ az $i$ állapot energiája

A Boltzmann-tényező :

\exp (- β E_{i}) = \exp (- E_{i} / k_{B} T)

Levezetés

Tekintsünk egy egyatomos rendszert $E_{1}, E_{2}, . . .$ energia állapotokkal. Ez a rendszer kapcsolatban van egy hőtárolóval és a teljes energia:

E = E_{s} + E_{r} = k o n s t a n s

ahol $E_{s}$ a rendszer teljes energiája és a $E_{r}$ a teljes tárolt energia. Egyensúlyban $R$ és $S$ állapotai száma $Ω$ többszöröse. Így a teljes energia :

Ω_{E} \approx Ω_{R} (E_{R}) - Ω_{S} (E_{S})

Az ekvipartíció-tételből következően annak valószínűsége, hogy egy atom $E_{j}$ állapotban van, összefüggésben van a tároló állapotainak számával. Tekintsük a két valószínűség arányát:

\frac{P (E_{2})}{P (E_{1})} = \frac{Ω_{R} (E - E_{2})}{Ω_{R} (E - E_{1})}

az állapotok száma összefüggésbe hozható az entrópia elméletével a

S_{R} (E_{j}) = k_{B} \ln [Ω_{R} (E - E_{j})]

kifejezésen keresztül

amely adja:

\frac{P (E_{2})}{P (E_{1})} = \frac{\exp [\frac{S_{R} (E_{2})}{k_{B}}]}{\exp [\frac{S_{R} (E_{1})}{k_{B}}]} = \exp [\frac{S_{R} (E_{2}) - S_{R} (E_{1})}{k_{B}}]

Az alapvető termodinamikus összefüggésből következik, hogy a tároló (a kémiai potenciált elhanyagolva):

d S_{R} = \frac{1}{T} [d U_{R} + P d V_{R}]

ahol $S_{R}$ az entrópia, $U_{R}$ a belső energia, $P$ a nyomás, és $V$ a térfogat.

Gázoknál indokolt feltételezni, hogy $P d V_{R} ≪ d U_{R}$ , így:

Δ S_{R} = \frac{1}{T} Δ U_{R}

Δ S_{R} = \frac{1}{T} [U_{R} (E_{2}) - U_{R} (E_{1})]

Energia tároláskor: $E = E_{R} + E_{i}$ and $U_{R} (E_{j}) = E - E_{j}$ melyből

Δ S_{R} = - \frac{1}{T} (E_{1} - E_{2})

következik.

A valószínűség arányt behelyettesítve:

\frac{P (E_{2})}{P (E_{1})} = \exp (\frac{- [E_{2} - E_{1}]}{k_{B} T}) = \frac{\exp (- β E_{2})}{\exp (- β E_{1})}

ahol $β$ egy tetszőlegesen definiált jel, a Boltzmann-állandó és a hőmérséklet szorzatának reciproka. A változók szeparálása után írhatjuk:

\frac{P (E_{2})}{\exp (- β E_{2})} = \frac{P (E_{1})}{\exp (- β E_{1})} = c o n s t = \frac{1}{Z}

és ezáltal:

P (E_{i}) = \frac{1}{Z} \exp (- β E_{i})

Megjegyzés

A Boltzmann-tényező önmagában nem egy valószínűség, mert nincs normalizálva. A normalizáló tényező egy osztva a partíciófüggvénnyel, amely a Boltzmann-tényezők összege a rendszer összes állapotára vonatkozóan. Ez adja a Boltzmann-eloszlást.

A Boltzmann-tényezőből le lehet vezetni a következő statisztikákat: Maxwell–Boltzmann-statisztika, a Bose–Einstein-statisztika, és a Fermi–Dirac-statisztika, amelyek leírja a klasszikus részecskék mozgását, valamint a kvantummechanika bozonjait és fermionjait.

Irodalom

Boltzmann-tényező

Levezetés

Megjegyzés

Irodalom

Navigációs menü

Keresés