Normalizáló állandó

A normalizáló állandó koncepciója a valószínűségszámítás és a matematika egyes területeiről származik.

Meghatározás

A normalizáló állandó egy konstans, mellyel megszorozva egy sehol-sem-negatív függvény, annak görbe alatti területe 1 lesz. Más szavakkal a normalizáló konstans az egységnyi integrálértéket biztosítja. Például ezzel előállítható a sűrűségfüggvény, vagy a tömegfüggvény.

Példák

Ha például definiáljuk a:

$p(x)=e^{-x^2/2},x\in (-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty })$ függvényt, akkor kapjuk:

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}p(x)dx=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-x^2/2}dx=\sqrt{2\pi },$

Ha $\phi (x)$ függvényt a következőképpen definiáljuk:

$\phi (x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}p(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-x^2/2}$

akkor

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\phi (x)dx=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-x^2/2}dx=1$

$\phi (x)$ függvény a sűrűségfüggvény. Ez a standard normális eloszlás sűrűsége (a standard azt jelenti, hogy a középérték=0, a szórásnégyzet=1). A $\frac{1}{\sqrt{2\pi }}$ konstans a $p(x)$ függvény normalizáló állandója. Hasonlóképpen:

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{{\lambda }^n}{n!}=e^{\lambda },$

és így:

$f(n)=\frac{{\lambda }^n{e}^{-\lambda }}{n!}$

a valószínűségi tömegfüggvény a nem negatív egészek tartományában. Ez a Poisson-eloszlás tömegfüggvénye λ várható értékkel. A Boltzmann-eloszlás parametrizált normalizáló állandója központi szerepet játszik a statisztikus mechanikában. Ebben a kontextusban normalizáló állandót partíció függvénynek hívják.

Nem sztochasztikus folyamatokkal kapcsolatos felhasználás

Az Legendre-polinomok jellemezhetők ortogonalitással, tekintettel az egyenletes mérésre a [-1,1] intervallumban. Az a szorzótényező, mellyel 1 értékűvé válik a polinom, az a normalizáló állandó. Ortonormális függvények is normalizálhatók:

$⟨f_i,f_j⟩={\delta }_{i,j}$

tekintettel egy belső szorzatra: <f, g>.

Az 1/√2 konstans segítségével létrehozhatók hiperbolikus függvények ( hiperbolikus szinusz és a hiperbolikus koszinusz) a hiperbolikus háromszög oldalaiból.

Irodalom

• Sablon:CitLib
• Sablon:CitLib

Kapcsolódó szócikkek

• Eloszlásfüggvény
• Poisson-eloszlás
• Partíció függvény
• Valószínűségszámítás
• Sűrűségfüggvény
• Statisztika
• Matematika
• hiperbolikus háromszög
• Legendre-polinomok