Valós analízis

Az első 4 részletösszege a négyszögjel Fourier sorának. A Fourier analízis a valós analízis fontos eszköze.

A valós analízis a matematika azon ága, amely a valós függvények analízisével foglalkozik. Ezen függvények analitikus tulajdonságait vizsgálja, mint például a konvergencia, határérték, folytonosság és egyéb tulajdonságok.

Területei

A valós számok konstrukciója

Sablon:Bővebben A valós számokat többféleképpen is definiálhatjuk mint rendezett testet. A "mesterséges" módszer az axiómák megadása. Ugyanakkor bizonyos konstrukciók a racionális számok tulajdonságain alapulnak.

Sorozatok

Az $1/x$ függvény az $x=0$ pontnál balról a negatív végtelenbe, jobbról pedig a pozitív végtelenbe tart.

Sablon:Bővebben A sorozatokat úgy definiálhatjuk, mint függvényeket, amelyek alaphalmaza egy megszámlálható és teljesen rendezett halmaz, például a természetes számok halmaza. A valós analízisben a sorozat olyan függvény, amely alaphalmaza a természetes számok egy részhalmaza, a képhalmaza pedig a valós számok.

Határérték

Az $1/2^k$ sorozatból képzett végtelen sor összege 1, amennyiben 1-től kezdjük az indexelést.

Egy függvény vagy sorozat határértéke egy olyan érték, amelyet a függvény vagy sorozat "tetszőlegesen megközelít", ahogy a függvény argumentuma megfelelő mértékben megközelít egy megadott értéket. Ha az $a_n$ végtelen sorozat konvergens és $A$-hoz tart, a következő jelölést alkalmazzuk: $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}_n=A$.
A függvények határértéke egy adott pontban is értelmezhető, melynek jelölése az $f(x)$ függvény $x_0$ pontjában $\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=A$, ahol $A$ a függvény $x_0$-ban vett határértéke. Beszélhetünk egyoldali határértékről is: egy függvény egy adott pontjában jobb oldali határértékkel rendelkezik, ha az adott $x_0$ ponthoz jobbról ($x_0<x_n$) közelítve $f(x)\to A$. Hasonló módon értelmezhető a bal oldali határérték is.

Végtelen sorok és hatványsorok

A $\sin (1/x)$ függvény nem rendelkezik egyoldali határértékekkel.

Az $a_k$ végtelen valós sorozat részletösszegeiből képzett sorozat a $\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_k=a_1+a_2+a_3+...$ végtelen sor. Egy végtelen sor konvergens, és az összege az $S$ valós szám, ha az $S_n=\sum _{k=1}^n{a}_k$ $n$-edik részletösszegből képzett valós sorozat konvergens és határértéke $S$. A végtelen sorok konvergenciájának vizsgálatához használt eszközök például a d'Alembert-féle hányadoskritérium és a gyökkritérium . Geometriai sorok esetén pedig $\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{r}^k=\frac{1}{1-r}$, ha $r<1$. Felmerül tehát a kérdés, hogy egy adott $f$ függvény felírható-e végtelen sorként.
Amennyiben egy $f$ függvény megadható az $f(x)=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_k{x}^k=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_k(x-x_0{)}^k$ alakban, ahol $x_0$ a hatványsor középpontja, az $f$ hatványsorba fejthető. A hatványsorok középpontja körüli konvergenciasugár meghatározásához a Cauchy–Hadamard-tétel használható. Egy arra alkalmas $f$ függvény hatványsorba fejtésének egy módja annak Taylor-sorrá alakítása.

Folytonosság

Sablon:Bővebben Intuitív módon fogalmazva egy valós függvény folytonos, ha a függvény egy Descartes-féle koordináta-rendszerben ábrázolva egyetlen összefüggő vonallal ábrázolható. Pontosabban: egy $f$ függvény folytonos az értelmezési tartományának elemét képező $x_0$ pontban, ha $\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=f(x_0)$. Ha az $f$ értelmezési tartományának egy pontjában ez a feltétel nem valósul meg, azt mondjuk, hogy ott a függvénynek szakadása van. Egy függvény csak akkor folytonos, ha az értelmezési tartományának minden pontjában folytonos.
A valós analízis egyik legfontosabb tétele a Bolzano-tétel, amely kimondja, hogy egy intervallumon értelmezett, negatív és pozitív értékeket is felvevő, folytonos függvénynek van zérushelye. Egy másik igen fontos tétel a Weierstrass-szélsőértéktétel, amely szerint ha az $f$ függvény folytonos az $[a,b]$ intervallumon, akkor az $f$ ezen az intervallumon felveszi a minimumát és maximumát.

Differenciálás

A derivált a függvénygörbe érintőjének meredeksége, azaz az érintő a vízszintes tengellyel bezárt szögének tangense.

Egy $f$ függvény deriváltja az $x_0$ pontban a következő határérték:

$f^{\prime }(x_0)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}.$

Ha a derivált mindenhol létezik, akkor a függvény differenciálható. A magasabb deriváltak a deriváltak deriváltjaiként értelmezhetőek. Mivel az $f^{\prime }(x_0)$ derivált az $f$ függvényhez az $x_0$ pontban húzott érintő meredeksége, segítségével meghatározható a függvény egy adott pontjában vett érintőjének egyenlete. Az első derivált továbbá például a függvény lokális szélsőértékeinek és értékkészletének meghatározásához is használható. A második derivált segítségével pedig a függvény konvex és konkáv részei és inflexiós pontjai is meghatározhatóak. A derivált a L’Hôpital-szabály felhasználásával bizonyos esetekben a határértékszámításkor is alkalmazható.
A függvényeket csoportosíthatjuk a differenciálhatóságuk alapján. Legyen $C^0$ az összes folytonos függvény osztálya, $C^1$ pedig az összes olyan differenciálható függvény osztálya, amelyek deriváltjai folytonosak. Vagyis a $C^1$-beli függvények pontosan azok a függvények, amelyek differenciálhatóak, és a deriváltjuk eleme $C^0$-nak. Általánosítva, legyen $C^k$ rekurzió segítségével definiálva a következőképpen: $C^k$ valamely pozitív egész $k$-ra azon differenciálható függvények osztálya, amelyeknek deriváltja eleme $C^1$-nek. Minden $C^k$ részhalmaza $C^{k-1}$-nek. $C^{\mathrm{\infty }}$ jelöli az összes $C^k$ osztály metszetét. $C^{\omega }$ részhalmaza $C^{\mathrm{\infty }}$-nek.

A deriválás és a teljes függvényvizsgálat

Sablon:Bővebben Egy függvény első deriváltjának segítségével meghatározhatjuk a függvény monotonitását és szélsőértékeit. Ha az $f$ folytonos és differenciálható az $[a,b]$ zárt intervallumon, és minden belső pontjában $f^{\prime }(x)>0$, akkor az $f$ az $[a,b]$ intervallumon szigorúan monoton nő. Ugyanígy, ha $f$ folytonos és differenciálható az $[a,b]$ zárt intervallumon, és minden belső pontjában $f^{\prime }(x)<0$, akkor az $f$ az $[a,b]$ intervallumon szigorúan monoton csökken. Azokban a pontokban, ahol az imént meghatározott függvényeknél $f^{\prime }(x)=0$, előfordulhat, hogy lokális szélsőértéket találunk. Azokban a pontokban, ahol az $f$ szigorúan monoton növőből szigorúan monoton csökkenővé válik, lokális maximumról, azokban pedig, ahol szigorúan monoton csökkenőből szigorúan monoton növővé válik, lokális minimumról beszélhetünk. A másodrendű feltétel alapján ha az $f$ legalább kétszer differenciálható függvényre teljesül, hogy egy $x_0$ pontjában $f^{\prime }(x_0)=0$ és $f^{″}(x_0)>0$, akkor a függvénynek az adott $x_0$ pontban lokális minimuma van. A lokális maximum hasonlóan értelmezhező, de akkor $f^{″}(x)<0$.
A második derivált segítségével meghatározható, hogy a függvény mely intervallumokban konvex és konkáv, továbbá hogy hol találhatóak az inflexiós pontjai. Ha az $f$ folytonos és kétszer differenciálható egy intervallumon belül, továbbá az intervallum minden belső pontjában $f^{″}(x)\ge 0$, akkor az $f$ konvex az adott az intervallumon. Amennyiben ugyanezen alapfeltételek mellett az $f^{″}(x)\le 0$ teljesül, az $f$ konkáv az adott intervallumon. Azokban a pontokban, ahol $f^{″}(x)=0$ és a függvény konvexből konkávba vagy konkávból konvexbe fordul, a függvénynek inflexiós pontja van.

Integrálás

Egy függvény határozott integrálja úgy értelmezhető, mint a függvény grafikonja és a vízszintes tengely által bezárt előjeles területösszeg.

Riemann-integrálás

Sablon:Bővebben A Riemann-integrált a Riemann-összegek segítségével definiáljuk. Legyen $[a,b]$ a valós számok egy zárt intervalluma. Ekkor ezen intervallum megcímkézett particionálása egy véges sorozat,

$a=x_0\le t_1\le x_1\le t_2\le x_2\le \cdots \le x_{n-1}\le t_n\le x_n=b.$

Ez a partíció osztja $n$ részintervallumra, $[x_{i-1},x_i]$-ra az eredeti $[a,b]$ intervallumot. Egy $f$ függvény Riemann-összege egy adott címkézett partíción: $\sum _{i=1}^{n}f(t_i){\mathrm{\Delta }}_i.$

Vagyis azon téglalapok területeinek összege, amelyek alapjai a particionálás által létrehozott részintervallumok és magasságuk a függvény részintervallumokhoz tartozó kijelölt $t_i$ pontokban vett értékei: $f(t_i)$. ${\mathrm{\Delta }}_i$ pedig az $i$-edik részintervallum hossza: ${\mathrm{\Delta }}_i=x_i-x_{i-1}$. Egy $f$ függvény Riemann-integrájla az $[a,b]$ intervallumon $S$, ha bármely $ϵ>0$-hoz létezik egy $\delta >0$, úgy, hogy $[a,b]$ bármely címkézett partíciója, amelynek finomsága (vagyis a legnagyobb részintervallum mérete) $\delta$ vagy annál kisebb, akkor:

$|S-\sum _{i=1}^{n}f(t_i){\mathrm{\Delta }}_i|<\epsilon .$

Ha a partíció címkéi a függvény adott intervallumon való maximum (vagy minimum) értékének helyei, akkor az ehhez a partícióhoz tartozó Riemann-összeg a felső (és alsó) Darboux-összeg, amely rámutat a Riemann-integrál és a Darboux-integrál szoros kapcsolatára.

Lebesgue-integrálás

Sablon:Bővebben A Lebesgue-integrálás a Riemann-integrálás kiterjesztése a nem Riemann-integrálható függvényekre, illetve kiterjeszti azt a halmazt is, amelyeken az integrálható függvények definiálhatóak.

Határozatlan integrálás

Az analízis alaptétele (animáció).

A határozatlan integrálás a deriválás fordított művele. Általános jelöléseket használva az $F$ függvény az egy adott intervallumon értelmezett $f$ függvény határozatlan integrálja (más néven primitív függvénye), ha $F^{\prime }(x)=f(x)$ az $f$ teljes értelmezési tartományában. Mivel egy hozzáadott konstans deriváltja mindig nulla, a határozatlan integrálokhoz mindig hozzá kell adnunk egy $C$ valós számot. A határozatlan integrál jelölése:

$\int f(x)=F(x)+C.$

A Newton-Leibniz-formula

Sablon:Bővebben Az analízis alaptétele alapján a folytonos $f$ függvény határozott integrálja kiszámíható a függvény $F$ primitív függvényének ismeretében

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx=F(b)-F(a).$

Fontos tételek

Az analízis fontos tételei például a Bolzano-Weierstrass és a Heine-Borel tétel; a Bolzano-tétel a középértéktételek, és az analízis alaptétele (Newton-Leibniz-tétel).

A valós analízis számos fogalma általánosítható a valós térről általánosabb metrikus terekre vagy éppen mérték-terekre, Banach terekre, és Hilbert terekre.