Bolzano-tétel

A Bolzano-tétel szerint intervallumon értelmezett, negatív és pozitív értékeket is felvevő, folytonos függvénynek van zérushelye.

Bizonyítás

Egymásba skatulyázott intervallumokkal

Legyen $f:I\to ℝ$ a fenti függvény és a, illetve b az értelmezési tartományának olyan pontjai, melyekben a függvény előjele ellenkező és a < b. Az általánosság megszorítása nélkül feltehetjük, hogy $f(a)<f(b)$. Intervallumfelezéses eljárással megmutatjuk, hogy a függvénynek van zérushelye. Legyen $(x_n)$ és $(y_n)$ a következő, közösen, rekurzív módon definiált sorozat:

$x_0:=a$

$y_0:=b$

Tetszőleges $n\in \mathbb{N}$-re legyen

$c_n:=\frac{x_n+y_n}{2}$

Ha $f(c_n)=0$, akkor megtaláltuk f egy keresett zérushelyét.
Ha $f(c_n)<0\Rightarrow x_{n+1}:=c_n;y_{n+1}:=y_n$
Ha $f(c_n)>0\Rightarrow x_{n+1}:=x_n;y_{n+1}:=c_n$

Ha c sosem nulla, akkor: $x_n:f(x_n)<0(n\in \mathbb{N})$ monoton nő, $y_n:f(y_n)>0(n\in \mathbb{N})$ monoton csökken, mivel az algoritmust így készítettük el.
A két sorozat tagjainak „távolsága”: $|x_n-y_n|=\frac{y_0-x_0}{2^n}\to 0(n\to \mathrm{\infty })(*)$. Mivel $x_n,y_n\in [a,b]$ zárt intervallum, és mert mindkét sorozat monoton, $\mathrm{\exists }\lim (x_n)$ és $\lim (y_n)$, és ezek (*) miatt egyenlőek. Legyen ez a határérték ξ!

De f folytonos ξ-ben, tehát a folytonosságra vonatkozó átviteli elv alapján: $f(\xi )=\lim (f(x_n))\le 0$ és $f(\xi )=\lim (f(y_n))\ge 0(n\in \mathbb{N})$. Ez csak úgy lehetséges, ha $f(\xi )=0$ ■

A nemsztenderd analízis eszközeivel

Legyen f a fenti tulajdonságú függvény és legyen a illetve b az értelmezési tartománya olyan pontja, hogy a<b és f(a)<0<f(b) (ez feltehető; ellenkező esetben -f-re kell alkalmazni a gondolatmenetet). Legyen ω végtelen nagy természetes szám. Osszuk fel az [a,b] intervallumot ω darab egyenlő részre, az osztópontokat jelöljük x_n-nel. Legyen

$H:=\{n\mid f(x_n)\le 0\}$

H nem üres, mert f(a) negatív (a az első „osztópont”) és véges halmaz a nemsztenderd valós számok között (ezt úgy jelöljük, hogy H *véges), így van maximális eleme. Legyen ez az elem M és a hozzá tartozó osztópont x_M. Belátjuk, hogy ha ξ az x_M sztenderd része (vagyis az a normális valós szám, ami végtelenül közel van x_M-hez), akkor f(ξ) = 0.

Ha f(ξ) > 0 lenne, akkor f(x_M)-et (tekintve, hogy f(x_M) nem pozitív) egy véges, nemnulla sztenderd szám választaná el f(ξ)-től, ami f folytonossága miatt lehetetlen (hiszen ξ végtelen közel van x_M-hez).

Ha f(ξ) < 0 lenne, akkor szintén a folytonosság miatt minden, a ξ ponthoz végtelenül közeli pontban a függvény negatív, például az

$x_{M+1}=x_M+\frac{1}{\omega }$

helyen is (világos, hogy x_M+1 létezik és kisebb mint b, mert ott f pozitív lenne), ami ellentmond M maximális voltának. ■

Ekvivalens állítás

A Bolzano-tételt a következőképpen is ki szokták mondani:

• Ha $f:[a,b]\to ℝ$ korlátos és zárt intervallumon értelmezett folytonos függvény, és $f(a)\cdot f(b)<0$, akkor van az $(a,b)$ nyílt intervallumon zérushelye.
• Ha $f:[a,b]\to ℝ$ korlátos és zárt intervallumon értelmezett folytonos függvény, akkor minden $y\in [f(a),f(b)]$-re létezik olyan $\xi \in [a,b]$, amire $y=f(\xi )$.

Ez a két megfogalmazás ekvivalens.

Következmény

Ez a kiterjesztés a következőt jelenti: minden a fenti feltételeknek eleget tevő (intervallumon értelmezett és folytonos) függvényre igaz, hogy minden $a,b\in {𝒟}_f,a<b$-re, ha $f(a)\ne f(b)$, igaz, hogy $\mathrm{\forall }c\in [f(a),f(b)]\mathrm{\exists }\xi \in [a,b]:f(\xi )=c$.

Vegyük észre, hogy ez a függvény Darboux-tulajdonságát jelenti, azaz minden intervallumon értelmezett folytonos függvény Darboux-tulajdonságú. (Lásd: Bolzano–Darboux-tétel)

További információk

• A PlanetMath Bolzano's theorem szócikke Sablon:Wayback