Lagrange-féle középértéktétel

Ábra a tételhez: a piros szelő párhuzamos a zöld érintővel

A Lagrange-féle középértéktétel a matematika, ezen belül az analízis egyik fontos tétele.

A tétel állítása

Ha f folytonos függvény a zárt $[a,b]$ intervallumban és differenciálható a nyílt $(a,b)$ intervallumban, akkor van olyan $a<c<b$ szám, amire

$f^{\prime }(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$

teljesül.

Ez körülbelül azt jelenti: ha húzunk egy vonalat a két végpont között, akkor lesz legalább egy pont a függvényen, aminek a deriváltja párhuzamos ezzel a vonallal.

Egy példán keresztül egyszerűbb megérteni. Autóval utaztunk egyik városból egy másikba és az átlagsebességünk 100 km/óra volt. Ahhoz, hogy pontosan ennyi legyen az átlagsebesség, vagy konstans 100 km/órával kellett mennünk, vagy pedig néha gyorsabban, néha lassabban. Ha lassabban, akkor később gyorsabban is kell mennünk, hogy az átlagsebesség valóban 100 km/óra legyen.

Ez a tétel azt mondja ki, hogy valamikor az út során kell lennie legalább egy pontnak, amikor a kocsi pontosan 100 km/órával ment - az átlagsebességével.

Bizonyítás

A tételt visszavezetjük speciális esetére, a Rolle-tételre. Legyen $a\le x\le b$-re

$g(x)=f(x)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}x.$

A g függvény nyilván folytonos az $[a,b]$ intervallumban és a belső pontokban

$g^{\prime }(x)=f^{\prime }(x)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}.$

Továbbá

$g(b)-g(a)=f(b)-f(a)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(b-a)=0.$

Alkalmazhatjuk tehát Rolle tételét és kapjuk, hogy van olyan c pont amire $g^{\prime }(c)=0$, azaz

$f^{\prime }(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}.$

Általánosítás

A Lagrange-féle középértéktétel általánosítása a Cauchy-féle középértéktétel.

A tétel magasabb dimenziókban

Legyen $f:{ℝ}^n\to ℝ$ az $(a,b)$ szakaszon differenciálható függvény ($a,b\in {ℝ}^n$esetén az $(a,b)$ szakaszon az $S=\{a+t(b-a)|t\in (0,1)\}$ pontokat értjük). Ekkor van olyan $c\in S$, amelyre

$f(b)-f(a)=⟨\mathrm{grad}f(c),b-a⟩$

teljesül.

Bizonyítás

Legyen $g\left(t\right)=f(a+t(b-a)),$ egy $ℝ\to ℝ$ függvény. Mivel $g$ differenciálható a $(0,1)$ intervallumon, ezért alkalmazhatjuk a tétel 1 dimenziós változatát, azaz $\mathrm{\exists }\theta \in (0,1)$, hogy

$g\left(1\right)-g(0)=g^{\prime }(\theta ).$

g definícióját beírva:

$g(1)-g(0)=f(b)-f(a)=g^{\prime }(\theta )=⟨\mathrm{grad}f(a+\theta (b-a)),b-a⟩$

$c:=a+\theta (b-a)$ jelöléssel kapjuk a bizonyítandó állítást.