Véges csoport

A csoportelméletben véges csoportnak nevezünk egy olyan csoportot, melynek alaphalmaza véges. Véges csoportok gyakran állnak elő matematikai vagy fizikai objektumok szimmetriájának vizsgálatakor, amikor ezek az objektumok csak véges számú struktúra-megőrző transzformációt engednek meg. Fontos példái a ciklikus csoportok és a szimmetrikus csoportok.

A véges csoportok tanulmányozása a csoportelmélet fontos része a 19. századi megjelenése óta. Az egyik legfontosabb részterülete a véges egyszerű csoportok osztályozása, mely 2004-ben fejeződött be arra az esetre, amikor a véges csoportnak nincs nemtriviális normálosztója.Sablon:Efn

Példák

Szimmetrikus és permutációcsoportok

Az $S_4$ szimmetrikus csoport Cayley-gráfja.

Az $S_n$-nel jelölt szimmetrikus csoport $n$ darab szimbólum összes permutációját tartalmazza, a csoportművelet pedig a permutációk kompozíciója, mely tekinthető a szimbólumok között egy bijektív függvényként. Mivel $n$ elemnek $n!$ ($n$ faktoriális) lehetséges permutációja van, az $S_n$ csoport rendje (tehát elemeinek száma) $n!$.

Ciklikus csoportok

Sablon:Bővebben A ${\mathbb{Z}}_n$ ciklikus csoport minden eleme egy adott $a$ elem egész kitevős hatványa, ahol $a^n=a^0=e$ ($e$ itt a csoport egységeleme). Az $n$ (véges) elemszámú ciklikus csoportok izomorfak a komplex egység $n$-edik egységgyökeinek csoportjához.

Véges Abel-csoportok

Abel-csoportnak vagy kommutatív csoportnak hívunk egy olyan csoportot, melyben bármely csoportbeli elempáron végzett csoportművelet eredményén nem változtat a két elem felcserélése. Ezt a tulajdonságot a kommutativitás axiómájának is hívjuk.

Egy tetszőleges véges Abel-csoport izomorf olyan véges ciklikus csoportok direkt összegével, melyek elemszámai prímszámok egész kitevős hatványai és egyértelműen meghatározottak. A rendek invariánsok rendszerét alkotják, melyek leírják a véges Abel-csoport automorfizmuscsoportját. A véges Abel-csoportok elméletének fontos kezdőpontja Ferdinand Georg Frobenius és Ludwig Stickelberger 1879-es eredménye, amelyet később leegyszerűsítettek és általánosítottak, ezáltal fontos részét képezve a lineáris algebrának.

Lie-típusú csoportok

A Lie-típusú csoportok nem összetévesztendőek a Lie-csoportokkal, azonban szoros összefüggés van a két fogalom között. A Lie-csoportok olyan csoportok, melyek egyszerre sima sokaságok és a csoportművelet tetszőlegesen sokszor differenciálható. Egy kompakt Lie-csoport megfeleltethető a valós számtesten definiált reduktív lineáris algebrai csoport racionális pontjainak. Ha a valós számtestet felcseréljük egy véges testre, az általa definiált reduktív lineáris algebrai csoport racionális pontjainak csoportja szorosan kapcsolódik a Lie-típusú csoportokhoz. Önmagában a Lie-típusú csoportoknak nincs precíz széles körben elfogadott definíciója, azonban azoknak a véges egyszerű Lie-típusú csoportoknak van, melyek elősegítik a véges egyszerű csoportok osztályozását.

Véges Lie-típusú csoportok adják a nem-Abel véges egyszerű csoportok túlnyomó többségét. Speciális esetei a klasszikus csoportok, a Chevalley-csoportok, a Steinberg-csoportok és a Suzuki−Ree-csoportok.

Fontosabb tételek

Lagrange-tétel

A Joseph Louis Lagrange után elnevezett tétel kimondja, hogy egy adott $G$ véges csoport bármely $H$ részcsoportjának rendje (tehát az alaphalmaz elemeinek száma) osztója $G$ rendjének. Jelöljük $G$ rendjét $|G|$-vel, akkor a $|G|/|H|$ természetes számot a $H$ részcsoport indexének hívjuk, jelölése $[G:H]$. A részcsoport indexe a baloldali mellékosztályai számának felel meg.

A tétel következménye, hogy $G$ bármely $g$ elemének rendje (tehát egy olyan $n$ természetes szám, melyre $g^n=e$, ahol $e$ a csoport egységeleme) mindig osztja a csoport rendjét.

Sylow-tételek

Sablon:Bővebben Legyen $p$ egy prímszám. Egy adott $G$ csoport Sylow $p$-részcsoportjának hívjuk bármely olyan részcsoportját, mely egy $p$-csoport, tehát minden elemének rendje $p$ egy hatványa, és nem valódi részcsoportja $G$ bármelyik másik $p$-részcsoportjának.

A Peter Ludwig Sylowról elnevezett tételek rendkívül fontosak a véges csoportok vizsgálatában, ugyanis részletes információt adnak egy fixált rendű véges csoport részcsoportjainak számáról. Tekinthető a Lagrange-tétel részleges megfordításának, mivel kimondja, hogy egy $G$ véges csoport rendjének minden prímtényezőjére létezik egy Sylow $p$-részcsoportja $G$-nek. Továbbá, $G$ minden $p^n$ rendű részcsoportja Sylow $p$-részcsoport, és fixált $p$ prím esetén a csoport Sylow $p$-részcsoportjai egymás konjugáltjai. Egy csoport Sylow $p$-részcsoportjainak számát $p$-vel osztva mindig egy lesz a maradék.

Cayley-tétel

Az Arthur Cayleyről elnevezett tétel kimondja, hogy bármely $n$ elemű $G$ csoport izomorf az $S_n$ szimmetrikus csoport valamilyen részcsoportjával. Pontosabban megfogalmazva, a szimmetrikus csoport elemei a $G$ alaphalmazának permutációi. Vannak esetek, amikor $G$ izomorf egy kisebb szimmetrikus csoport részcsoportjával, mint például a hatelemű $S_3$ nem csak $S_6$ egy részcsoportjával izomorf, hanem triviálisan önmagának részcsoportja is. Egy adott csoportra megtalálni a legkisebb szimmetrikus csoportot, melynek egy részcsoportjával izomorf egy önmagában nehéz feladat.

A tétel értelmezhető a $G$ csoporthatásának önmagának elemeire, továbbá kiterjeszthető végtelen csoportokra is.

Burnside-tétel

A Burnside-tétel kimondja, hogy amennyiben $G$ egy $p^a{q}^b$ elemszámú csoport, ahol $p$ és $q$ prímszámok, $a$ és $b$ pedig nemnegatív egész számok, akkor $G$ feloldható. A tételből következik, hogy bármely nem-Abel véges egyszerű csoport rendje osztható legalább három egymástól különböző prímszámmal.

Feit–Thompson-tétel

Sablon:Bővebben A Feit–Thompson-tétel szerint bármely páratlan rendű csoport feloldható. A tételt Walter Feit és John G. Thompson bizonyította.

Osztályozása

A véges egyszerű csoportok osztályozásának tétele szerint minden véges egyszerű csoport a következők egyikébe tartozik:

• Olyan ciklikus csoport, melynek rendje prímszám,
• Legalább ötödfokú alternáló csoport,
• Egyszerű Lie-típusú csoport,
• A 26 sporadikus egyszerű csoport egyike,
• A Tits-csoport (esetenként a 27. sporadikus csoportnak tekinthető)

A véges egyszerű csoportok olyan értelemben alkotják bármely véges csoport alapköveit, ahogy a prímszámok "építik fel" a természetes számok bármelyikét. A Jordan–Hölder-tétel precízen megfogalmazza ezt az elképzelést, azonban fontos megjegyezni, hogy véges egyszerű csoportok "összerakása" nem határoz meg egyértelműen egy véges csoportot, ugyanis létezhetnek nem-izomorf csoportok, melyeknek egyezik a kompozíciólánca.

Adott rendű csoportok száma

Adott $n$ pozitív egész számra nem mindig magától értetődő, hogy hány $n$ elemszámú csoport létezik izomorfiáig bezárólag. A következő esetek azonban megkönnyítik a klasszifikációt:

• A Lagrange-tételből következik, hogy minden olyan csoport ciklikus, melynek rendje egy prímszám, ugyanis a csoport bármely nemneutrális eleme olyan részcsoportot generál, mely egyenlő az egész csoporttal.
• Ha $n$ egy prímszám négyzete, akkor pontosan kettő nem-izomorf $n$-edrendű csoport van, és mindkettő Abel.

Rend n	Csoportok száma	Ezek közül Abel	Ezek közül nem-Abel
0	0	0	0
1	1	1	0
2	1	1	0
3	1	1	0
4	2	2	0
5	1	1	0
6	2	1	1
7	1	1	0
8	5	3	2
9	2	2	0
10	2	1	1
11	1	1	0
12	5	2	3
13	1	1	0
14	2	1	1
15	1	1	0
16	14	5	9
17	1	1	0
18	5	2	3
19	1	1	0
20	5	2	3
21	2	1	1
22	2	1	1
23	1	1	0
24	15	3	12
25	2	2	0
26	2	1	1
27	5	3	2
28	4	2	2
29	1	1	0
30	4	1	3