Jordan–Hölder-tétel

A csoportelmélet egy jelentős eredménye a Jordan–Hölder-tétel, amely azt állítja, hogy ha egy csoportnak van kompozíciólánca (olyan normállánca, ami tovább nem finomítható), akkor a csoport bármely két kompozíciólánca izomorf.

Története

A tétel egy kezdetleges változatát Marie Ennemond Camille Jordan bizonyította be 1869-ben. A bizonyítást Otto Ludwig Hölder 1889-ben egészítette ki. A Jordan–Hölder-tételnek gyakran alkalmazott általánosítása a Schreier-féle finomítási tétel, amit Otto Schreier 1928-ban publikált. Hat évvel később 1934-ben Hans Zassenhaus továbbfejlesztette Schreier bizonyítását a Zassenhaus-lemma felhasználásával.

Bizonyítás

Legyen $G$ egy kompozíciólánccal rendelkező csoport. A tételt a kompozíciólánc $r$ hosszára vonatkozó indukcióval igazoljuk.

Ha $r=1$, azaz $G▹e$ (ahol $e$ a csoport egységeleme) kompozíciólánc, akkor $G$ egyszerű, így ez az egyetlen kompozíciólánca.

Tegyük fel, hogy a tételben foglalt állítás r-nél kisebb hosszúságú láncokra igaz, és legyen
$G=G_0▹G_1▹...▹G_{r-1}▹G_r=e$ és $G=H_0▹H_1▹...▹H_{s-1}▹H_s=e$
$G$-nek két kompozíciólánca.

Ha $G_1=H_1$, akkor elhagyva $G$-t mindkét helyen, a $G_1=H_1$ csoportnak két kompozícióláncát kapjuk. Ezek egyikének hossza $r-1$, tehát a $G_1$-ből illetva $H_1$-ből kiinduló részláncok izomorfak. $G_0/G_1=H_0/H_1$ miatt a két kompozíciólánc ebben az esetben szükségképpen izomorfak.

Ha $G_1\ne H_1$, akkor mivel sem $G$ és $G_1$ sem $G$ és $H_1$ közé nem iktatható tőlük különböző normális részcsoport, $G_1$ és $H_1$ a $G$-nek maximális normális részcsoportjai. $\{G_1,H_1\}$ újból normális részcsoport $G$-ben, így $\{G_1,H_1\}=G$.

Tekintsük a $G=\{G_1,H_1\}▹G_1▹G_1\cap H_1▹\cdots ▹e$ és $G=\{G_1,H_1\}▹H_1▹G_1\cap H_1▹\cdots ▹e$ normálláncokat. Itt $G_1\cap H_1$ a $G$-nek normális részcsoportja, tehát $G_1$-ben és a $H_1$-ben is normális és ezek mindegyikétől különbözik $G_1\ne H_1$ miatt. Az I. izomorfizmus-tétel figyelembevételével
$G/G_1\cong H_1/(G_1\cap H_1)$ és $G/(G_1\cap H_1)\cong G/H_1$,
vagyis $G=\{G_1,H_1\}▹G_1▹G_1\cap H_1▹\cdots ▹e$-nek első, illetve második faktora izomorf $G=\{G_1,H_1\}▹H_1▹G_1\cap H_1▹\cdots ▹e$-nek második illetve első faktorával. $G_1$ egy kompozícióláncának hossza $r-1$, tehát $G_1\cap H_1$-é $r-2$.

$G=\{G_1,H_1\}▹G_1▹G_1\cap H_1▹\cdots ▹e$-ben és $G=\{G_1,H_1\}▹H_1▹G_1\cap H_1▹\cdots ▹e$-ben a pontok helyére $G_1\cap H_1$-nek egy kompozícióláncát téve $G$-nek két izomorf kompozícióláncát kapjuk.

Mivel $G=G_0▹G_1▹...▹G_{r-1}▹G_r=e$ és $G=\{G_1,H_1\}▹G_1▹G_1\cap H_1▹\cdots ▹e$ $G_1$-ben,$G=H_0▹H_1▹...▹H_{s-1}▹H_s=e$ és $G=\{G_1,H_1\}▹H_1▹G_1\cap H_1▹\cdots ▹e$ $H_1$-ben közös a már bizonyíitottak szerint $G=G_0▹G_1▹...▹G_{r-1}▹G_r=e$ és $G=\{G_1,H_1\}▹G_1▹G_1\cap H_1▹\cdots ▹e$ illetve
$G=H_0▹H_1▹...▹H_{s-1}▹H_s=e$ és $G=\{G_1,H_1\}▹H_1▹G_1\cap H_1▹\cdots ▹e$ izomorf kompozícióláncok. A tranzitivitás következtében $G=G_0▹G_1▹...▹G_{r-1}▹G_r=e$ és $G=H_0▹H_1▹...▹H_{s-1}▹H_s=e$ is izomorf.

Alkalmazás

A magasbbfokú algebrai egyenletek elméletében fontos fogalom a feloldható csoport fogalma. $G$-t feloldható, ha van olyan normállánca, melyben minden faktorcsoport Abel-féle.

Kompozíciólánccal rendelkező csoport esetében ez azt jelenti, hogy van olyan kompozíciólánca (és a Jordan–Hölder-tétel szerint mindegyik olyan), amelynek faktorai kommutatívak.

Források

• Fuchs László, Algebra, Tankkönyvkiadó, 1963., 45. o.

További információk

• a tétel rövid története és alternatív bizonyítása
• MathWorld
• PlanetMath Sablon:Wayback