Tranzitív reláció
Ugrás a navigációhoz
Ugrás a kereséshez
 |
Egy homogén kétváltozós relációt akkor nevezünk tranzitívnak, ha az elempárok azon tulajdonsága, hogy egymással relációban állnak, „láncszerűen” tovább adódik, mint például a testmagasság esetében a „magasabbnak lenni” relációnál: ha én magasabb vagyok az apámnál, az apám pedig magasabb az anyámnál, akkor én magasabb vagyok az anyámnál.
Definíció
Az halmazon értelmezett reláció tranzitív, ha bármely esetén valahányszor és egyszerre teljesül, mindannyiszor is teljesül.
Halmazelméletileg ez azt jelenti, hogy a reláció négyzete (önmagával való szorzata, kompozíciója) része önmagának .
Példák
- az egyenesek párhuzamossága (mert ha az egyenes párhuzamos az egyenessel, az egyenes pedig párhuzamos a egyenessel, akkor az egyenes szükségszerűen párhuzamos a egyenessel is),
- a pozitív egész számok között az oszthatóság (mert ha az osztható -vel és osztható -vel, akkor szükségszerűen osztható -vel is),
- a halmazok között a tartalmazási reláció (mert ha az halmaz tartalmazza a halmazt, a halmaz pedig tartalmazza a halmazt, akkor az halmaz mindenképpen tartalmazza a halmazt is),
- valós számokon a kisebb-egyenlő, a nagyobb-egyenlő, a kisebb, a nagyobb, az egyenlőség
- minden ekvivalenciareláció, úgymint:
- halmazokon az ekvivalencia, azaz számosságazonosság;
- egész számokon az azonos paritás, vagy általánosabban az azonos maradékosztályba tartozás,
- egy sík vagy a tér egyenesein a párhuzamosság
- a tér síkjain a párhuzamosság
- logikai formulák halmazán az logikai ekvivalencia
- Minden (elő)rendezési és rendezési reláció, pl.:
- pozitív egész számokon az oszthatóság
- halmazokon a tartalmazási reláció.
- az emberek között a „fölmenő rokona” reláció (mert ha egy személy fölmenő rokona egy másiknak, ez a másik pedig fölmenő rokona egy harmadiknak, akkor az első szükségszerűen fölmenő rokona a harmadiknak is).
Ellenpéldák
- az egyenesek merőlegessége egy síkon (mert attól, hogy az egyenes merőleges az egyenesre, az egyenes pedig merőleges a egyenesre, az egyenes nem lesz merőleges a egyenesre),
- a pozitív egész számok között a relatív prímek reláció (mert ha és relatív prímek és és is relatív prímek, attól és még nem feltétlenül relatív prímek egymással, például esetén sem)
- a halmazok között a diszjunktság reláció (mert attól, hogy az és a halmaznak nincs közös eleme, valamint a és a halmaznak sincs közös eleme még nem biztos, hogy és halmaznak sincs közös eleme),
- az emberek között az „ismerik egymást” reláció (mert ha egy ember ismer egy másikat, s ez a másik ismer egy harmadikat, attól az első még nem fogja szükségképpen ismerni a harmadikat).