Mellékosztály

Sablon:Lektor A mellékosztály a matematika egyik ágának, a csoportelméletnek a fogalma. Ha adott egy csoport, ennek egy eleme valamint egy részcsoportja, akkor a részcsoport adott elem szerinti mellékosztálya azoknak az elemeknek a halmaza, amelyek a részcsoport elemeinek az adott elemmel való szorzatából adódnak.

A közös részcsoporthoz de más-más elemhez tartozó mellékosztályok vagy egyenlők (azaz minden elemük közös) vagy diszjunktak (azaz nincs közös elemük). Számosságuk egyenlő a részcsoport rendjével (azaz a részcsoportba tartozó elemek halmazának számosságával). Ezekből következik, hogy a csoport elemei egy adott részcsoportra nézve mind pontosan egy-egy mellékosztályba tartoznak. Innen ered az osztály elnevezés.

Definíció

Legyen $G=(G,\ast )$, $H$ pedig $G$ részcsoportja, valamint $g$ egy $G$-beli elem:

$H\le Gg\in G$

Ekkor a $H$ részcsoportnak a $g$ szerinti jobb oldali mellékosztálya a következő halmaz:

$H\ast g=\{h\ast g|h\in H\}\subseteq G$

bal oldali mellékosztálya pedig:

$g\ast H=\{g\ast h|h\in H\}\subseteq G$

Ha a $\ast$ művelet kommutatív, akkor a két fogalom megegyezik, és elég egyszerűen mellékosztályról beszélni.

Tulajdonságok

Diszjunktság

Egy adott részcsoport ugyanolyan oldali, de különböző elem szerinti mellékosztályai vagy diszjunktak, vagy egyenlők:

$H\le Gf,g\in G$

$H\ast f\ne H\ast g\Rightarrow H\ast f\cap H\ast g=\mathrm{\varnothing }$

Másképp megfogalmazva: ha van közös elemük, akkor minden elemük közös:

$(\mathrm{\exists }x\in H\ast f:x\in H\ast g)\Rightarrow (\mathrm{\forall }y\in H\ast f:y\in H\ast g)$

Bizonyítása az utóbbi megfogalmazást követve (a bizonyítás szimmetrikusan az ellenkező oldali mellékosztályokra is működik):

• Ha a két mellékosztálynak nincs közös eleme, akkor a két halmaz diszjunkt, tehát az állítás igaz.
• Ha van közös elemük, akkor az egyik ilyen közös elemet jelölje x. A mellékosztály definíciója szerint x tehát a következőképp írható:

$x=a\ast f,a\in H$, mert x benne van az f szerinti mellékosztályban

$x=b\ast g,b\in H$, mert x benne van a g szerinti mellékosztályban

• Ebből következik, hogy

$a\ast f=b\ast g/a^{-1}\ast ()$, mindkét oldalt balról összeműveletezzük a inverzével.

$f=a^{-1}\ast b\ast g(1)$

• Legyen y egy tetszőleges $H\ast f$-beli elem. Ekkor a definíció szerint y a következőképp írható:

$y=c\ast f,c\in H$

ami az (1) egyenlet alapján:

$y=c\ast (a^{-1}\ast b\ast g)$

mivel a $H$ struktúra csoport, a $\ast$ művelet asszociatív:

$y=(c\ast a^{-1}\ast b)\ast g(2)$

• Legyen

$d=c\ast a^{-1}\ast b$

d biztosan eleme $H$-nak, hiszen $a,b,c$ elemei $H$-nak, a $H$ struktúra pedig csoport, tehát létezik inverz a halmazon belül, valamint a művelet zárt a halmazra. Így a (2) egyenlet:

$y=d\ast g,d\in H$

Ez a mellékosztály definíciója szerint azt jelenti, hogy

$y\in H\ast g$

• Ezzel be lett bizonyítva, hogy ha van közös elem, akkor bármely elem, ami benne van az f szerinti mellékosztályban, az a g szerintiben is benne van. A szimmetria miatt fordítva is igaz: bármely elem, ami benne van a g szerinti mellékosztályban, az az f szerintiben is benne van. Ez azt jelenti, hogy ha a két halmaz nem diszjunkt, akkor egymásnak kölcsönösen részhalmazai, tehát egyenlők. Ezt kellett bizonyítani.

Azonos számosság

Közös részcsoporthoz tartozó mellékosztályok számossága megegyezik a részcsoport rendjével:

$H\le G,\mathrm{\forall }g\in G:|H\ast g|=|g\ast H|=|H|$

Bizonyítása:

• Legyen $g\in G$ tetszőleges és

$\phi :H\to H\ast g,x\mapsto x\ast g$ egyértelmű hozzárendelés (függvény).

• Legyen $x,y\in H$.

Tegyük fel, hogy

$\phi (x)=\phi (y)$

Vagyis

$x\ast g=y\ast g/()\ast g^{-1}$, mivel csoportról van szó, létezik inverz.

$x=y$

• Tehát a függvényértékek csak akkor egyenlők, ha a változók is, valamint a képhalmaz egyben értékkészlet is a mellékosztály definíciója alapján. Ebből következik, hogy φ kölcsönösen egyértelmű hozzárendelés, azaz bijekció.
• Mivel $H$ és $H\ast g$ között létesíthető kölcsönösen egyértelmű hozzárendelés (a φ), a két halmaz számossága a számosság definíciója szerint egyenlő:

$|H\ast g|=|H|$

• A bizonyítás ugyanígy működik az ellenkező oldali mellékosztályokra is, tehát az állítás bizonyítása kész.

Lagrange tétele

A mellékosztályok fenti tulajdonságainak felhasználásával Lagrange tétele egyszerűen bizonyítható:

Tétel: Véges csoport minden részcsoportjának rendje osztja a csoport rendjét, azaz:

$\mathrm{\forall }H\le G:|H|||G|$

Bizonyítás:

• $H$ különböző mellékosztályai diszjunktak és azonos számú, $|H|$ darab elemet tartalmaznak.
• Minden $G$-beli $g$ elem benne van az egyik mellékosztályban:

például a $H\ast g$-ben, hiszen $e\ast g=g$, ahol $e$ a $H$ csoport egységeleme (ami megegyezik $G$ egységelemével).

• A teljes $G$ halmaz elemszáma egyenlő a különböző (tehát diszjunkt) mellékosztályok elemszámának összegével, hiszen átfedés nincs köztük de kitöltik a teljes halmazt. Ezeknek a mellékosztályoknak a számát $|G:H|$ jelöli (ennek neve a $H$ részcsoport indexe a $G$ csoportra), így:

$|G:H|\cdot |H|=|G|$

Vagyis

$|H|||G|$

További információk

• Alice és Bob - 24. rész: Alice és Bob komolyabb fegyverekhez nyúl