Véges halmaz

A matematikában, azon belül is elsősorban a halmazelméletben véges halmaznak nevezünk egy halmazt, ha elemszáma egy természetes szám. Véges halmaz például a

$\{2,3,5,7,11\}$

halmaz (amelynek elemszáma 5) vagy a tetraéder éleinek halmaza (amelynek elemszáma 6). Speciálisan véges halmaz az üres halmaz is (ennek elemszáma 0).

Nem minden halmaz véges; a nem véges halmazokat végtelen halmaznak nevezzük. Végtelen halmaz például az egész számok halmaza, vagy egy tetszőleges szakasz pontjainak halmaza.

A véges halmaz elemeinek számát a halmaz számosságának (idegen szóval kardinalitásának) nevezzük.

Bár a véges halmaz halmazelméleti fogalom, a legnagyobb szerepet mégis a kombinatorikában játssza.

Formális definíció

Formális definícióval az $S$ halmazt akkor nevezzük végesnek, ha létezik

$f:S\to n$

bijekció valamilyen $n$ természetes számra. Az $n$ természetes számot az $S$ halmaz számosságának nevezzük és hagyományosan így jelöljük: $|S|$.

Speciálisan véges halmaz az üres halmaz is, amelynek számossága 0.

A véges halmazok tulajdonságai

Egy véges halmaz valamennyi részhalmaza is véges, és a véges $S$ halmaz valódi részhalmazainak számossága kisebb, mint $|S|$. Azokat a halmazokat, amelyek ez utóbbi tulajdonságot bírják, Dedekind-véges halmazoknak nevezzük. A Zermelo–Fraenkel-féle axiómarendszernek létezik olyan modellje, amelyben vannak végtelen Dedekind-véges halmazok, de ha igaznak tételezzük fel a kiválasztási axiómát, akkor a Dedekind-véges halmazok és a véges halmazok megegyeznek.

Véges halmazok tetszőleges metszete, véges uniója és hatványhalmaza ismét csak véges.

Egy végtelen $S$ halmaz $R$ részhalmazát kofinit halmaznak nevezzük, ha $S\setminus R$ ($R$ komplementere) véges. A De Morgan-azonosságokból és a fentiekből következően kofinit halmazok tetszőleges uniója véges metszete ismét csak kofinit.

Források

• Sablon:Cite web