Tehetetlenségi erő

A fizikában a tehetetlenségi erők (pszeudo-erők) olyan fiktív erők, amelyeket egy gyorsuló vonatkoztatási rendszer megfigyelője észlel egy test mozgásának leírásakor. Például ezért érezzük nehezebbnek a kezünkben tartott szatyort fölfele gyorsuló liftben, vagy kanyarodó jármű esetén is ilyen tehetetlenségi erő "vonzza" a kanyar külső íve fele a tárgyakat.

A pszeudo-erő maga a koordináta-rendszer gyorsulásának eredménye, ebből adódóan nem értelmezhetjük valódi fizikai interakcióként, azaz nem tudunk rámutatni arra a testre, amely részéről ez az erő a tanulmányozott testre hatott volna, ezért azt mondjuk, hogy a tehetetlenségi erők nem valódiak, fiktívek.

Az egyenes vonalú gyorsuló mozgást végző rendszerben fellépő fiktív erő mellett beszélhetünk még a forgó koordináta-rendszerekben fellépő 3 tehetetlenségi erőről, ezek: a centrifugális erő, a Coriolis-erő, és tangenciális gyorsulás esetén az Euler-erő.

A tehetetlenségi erő észlelése

A Galilei-féle relativitási elv kimondja, hogy egy lezárt dobozban állandó sebességgel utazó megfigyelő semmilyen fizikai kísérlettel nem képes eldönteni saját mozgásállapotát, azaz, hogy mozog-e vagy sem. Másképp: az inerciarendszerek egyenértékűek egymással.

A gyorsuló dobozban utazó megfigyelő azonban a fellépő tehetetlenségi erőkből képes észlelni saját gyorsulási állapotát, tehát az egymáshoz képest gyorsuló vonatkoztatási rendszerek már nem egyenértékűek egymással.

Például a Foucault-inga egy olyan szerkezet, amely szemlélteti a Coriolis-erő hatását, mutatva a Föld forgását, azaz, hogy nem inerciarendszer.

Példák

Csak transzlációt végző gyorsuló koordináta-rendszerek

Legyen $K$ egy tehetetlenségi vonatkoztatási rendszer, $K^{\prime }$ rendszer rendelkezzen ehhez képest egy $a_0$ transzlációs gyorsulással.

Az egyszerűség kedvéért a két vonatkoztatási rendszerből tanulmányozott test mozgását korlátozzuk csak az X-tengelyre. Ekkor a test K-beli és K'-beli helyzete között felírható az$$x=x^{\prime }+\frac{1}{2}{a}_0{t}^2$$összefüggés, amelyet, ha kétszer deriválunk, megkapjuk a $\frac{{\mathrm{d}}^{2}x}{\mathrm{d}{t}^2}=\frac{{\mathrm{d}}^2{x}^{\prime }}{\mathrm{d}{t}^2}+a_0$ egyenletet, azaz$$a=a^{\prime }+a_0,$$innen a test tömegével beszorozva,$$m{a}^{\prime }=ma-m{a}_0$$Ha $K$ rendszerben a testre ható erők eredője $F=ma$ alakban írható fel, a $K^{\prime }$ rendszerben $m{a}^{\prime }=F-m{a}_0$ adódik eredőnek, ami azt jelenti, hogy a dinamika alaptörvénye a gyorsuló $K^{\prime }$ rendszerben csak akkor érvényes, ha a tehetetlenségi vonatkoztatási rendszer eredőjéhez még hozzáadjuk a $-m{a}_0$ tagot.

Innen érezhető, hogy a "tehetetlenségi" elnevezés honnan származik, ugyanis ha a $K$ rendszerben a testre ható erők eredője nulla, a $K^{\prime }$-ben nyugvó megfigyelő azt, hogy a test éppen tehetetlenségénél fogva nem vesz részt a rendszer gyorsulásában, a testre ható $F_t=-m{a}_0$ erőként foghatja fel.

Konkrétabb példaként, egy $a_0$gyorsulással felfele induló lift megfigyelője azért érzi súlyosabbnak a kezében tartott tárgyat, mert az eddigi $mg$ helyett most $m(g+a_0)$ nagyságú erővel kell egyensúlyt tartania. Belső megfigyelőként a dinamika alaptörvényét $N-G-F_t=0$ alakban írja fel, ahol N a tartóerő, G a test súlya és $F_t$ az általa mért tehetetlenségi erő. A külső megfigyelő viszont máshogy írná fel: ő azt látja, hogy a testre csak két erő hat, és a tárgy a lifttel együtt gyorsul, vagyis $N-G=m{a}_0$.

A két egyenlet matematikailag ugyanaz, formálisan csak annyi történt, hogy az egyenletet átrendeztük. A tehetetlenségi erő valójában azonos a D'Alembert-féle erővel.

Forgó koordináta-rendszerben fellépő tehetetlenségi erők

Általános kinematikai megfontolás:

A K inerciarendszerhez képest ${\overrightarrow{r}}_{O^{\prime }}(t)$ forgómozgást leíró (O' origójú) K' koordináta-rendszerben megfigyelt ${\overrightarrow{r}}^{\prime }(t)$ mozgás pozíciója K-ban leírva (feltéve, hogy az idő üteme a két rendszerben megegyezik):

$\overrightarrow{r}={\overrightarrow{r}}_{O^{\prime }}+{\overrightarrow{r}}^{\prime }$

A sebesség definíció szerint a pozíció deriváltja:

$\dot{\overrightarrow{r}}={\dot{\overrightarrow{r}}}_{O^{\prime }}+\dot{{\overrightarrow{r}}^{\prime }}$

kibontva (ez egy hosszadalmas matematikai lépéssorozat, lényegében a K' egységvektorait a forgatási mátrixszal fölírva és ezt deriválva, majd kihasználva, hogy a transzponált megegyezik az inverzzel és hogy antiszimmetrikus mátrixszal való szorzás helyettesíthető alkalmas keresztszorzással):

$\overrightarrow{v}={\overrightarrow{v}}_{O^{\prime }}+{\overrightarrow{v}}^{\prime }+\overrightarrow{\omega }\times {\overrightarrow{r}}^{\prime }$

A gyorsulás ennek megfelelően a sebesség deriváltja:

$\dot{\overrightarrow{v}}={\dot{\overrightarrow{v}}}_{O^{\prime }}+\dot{{\overrightarrow{v}}^{\prime }}+\dot{\overrightarrow{\omega }}\times {\overrightarrow{r}}^{\prime }+\overrightarrow{\omega }\times \dot{{\overrightarrow{r}}^{\prime }}$

kibontva (az előző kibontásnál használt összefüggés ($\dot{{\overrightarrow{r}}^{\prime }}={\overrightarrow{v}}^{\prime }+\overrightarrow{\omega }\times {\overrightarrow{r}}^{\prime }$) ismét fölhasználandó) és a tagokat csoportosítva:

$\overrightarrow{a}={\overrightarrow{a}}_{O^{\prime }}+{\overrightarrow{a}}^{\prime }+2\cdot \overrightarrow{\omega }\times {\overrightarrow{v}}^{\prime }+\overrightarrow{\omega }\times (\overrightarrow{\omega }\times {\overrightarrow{r}}^{\prime })+\dot{\overrightarrow{\omega }}\times {\overrightarrow{r}}^{\prime }$

Az utolsó egyenletet az m tömeggel megszorozva a dinamikai mozgásegyenlet K-ban:

$(m\cdot \overrightarrow{a}=)\overrightarrow{F}=m\cdot {\overrightarrow{a}}_{O^{\prime }}+m\cdot {\overrightarrow{a}}^{\prime }+2m\cdot \overrightarrow{\omega }\times {\overrightarrow{v}}^{\prime }+m\cdot \overrightarrow{\omega }\times (\overrightarrow{\omega }\times {\overrightarrow{r}}^{\prime })+m\cdot \dot{\overrightarrow{\omega }}\times {\overrightarrow{r}}^{\prime }$

ezt átrendezve ($m\cdot {\overrightarrow{a}}^{\prime }$)-re, a mozgásegyenlet a K' rendszerben levő megfigyelő számára:

$(F+F_{tehetetlensegi}=)m\cdot {\overrightarrow{a}}^{\prime }=\overrightarrow{F}-m\cdot {\overrightarrow{a}}_{O^{\prime }}-2m\cdot \overrightarrow{\omega }\times {\overrightarrow{v}}^{\prime }-m\cdot \overrightarrow{\omega }\times (\overrightarrow{\omega }\times {\overrightarrow{r}}^{\prime })-m\cdot \dot{\overrightarrow{\omega }}\times {\overrightarrow{r}}^{\prime }$

Az ideális K inerciarendszerben mért adatokra általában nem tudunk hivatkozni, ezért - mivel csak a K' (együtt forgó) rendszerben levő adatokat írhatjuk be az egyenletbe - a vesszőzést a továbbiakban elhagyhatjuk.

A mozgásegyenlet a forgó vonatkoztatási rendszerben:

$m\cdot \ddot{\overrightarrow{r}}=\overrightarrow{F}-m\cdot {\overrightarrow{a}}_{O^{\prime }}-2m\cdot \overrightarrow{\omega }\times \dot{\overrightarrow{r}}-m\cdot \overrightarrow{\omega }\times (\overrightarrow{\omega }\times \overrightarrow{r})-m\cdot \dot{\overrightarrow{\omega }}\times \overrightarrow{r}$

A mozgásegyenletben fellépő fiktív tehetetlenségi erők elnevezései

D'Alembert-féle erő

${\overrightarrow{F}}_{D^{\prime }A}=-m\cdot \overrightarrow{a_{O^{\prime }}}$

A D'Alembert-féle erő az inerciarendszerhez képest gyorsuló transzlációt végző vonatkoztatási rendszerben fellépő fiktív erő. Iránya mindig a gyorsuló rendszer gyorsulásával ellentétes.

Balra kanyarodó autó anyósülésére helyezett golyó jobbra gurul a kanyarodás közben (az autóban ülő megfigyelő számára). Az úttesthez rögzített megfigyelő számára nem jelentkezik ez az erő, szerinte az autó kanyarodik ki balra a golyó alól.

Centrifugális erő

${\overrightarrow{F}}_{centrifugalis}=-m\cdot \overrightarrow{\omega }\times (\overrightarrow{\omega }\times \overrightarrow{r})$

A centrifugális erő az inerciarendszerhez képest $\omega$ szögsebességgel forgó vonatkoztatási rendszerben fellépő fiktív erő, a belső megfigyelő a centripetális erővel ellentétes irányításúnak érzékeli, vagyis radiálisan kifele mutat.

A Földön - mivel ez is forgó rendszer - a fellépő centrifugális erő csökkenti a középpont felé mutató gravitációs erőt attól függően, hogy épp melyik szélességi körön tartózkodunk. Ez a hatás a pólusoknál nulla, az Egyenlítőnél maximális.

A centrifugális gyorsulás a $\psi$ földrajzi szélességű helyen: $a_{cf}={\omega }^{2}R\cos \psi \approx 0,034\cos \psi$. Magyarországon ez az érték körülbelül 0,023 m/s².

Ennek megfelelően a centrifugális erő: $F_{cf}=m{a}_{cf}$

Coriolis-erő

${\overrightarrow{F}}_{Coriolis}=-2m\cdot \overrightarrow{\omega }\times \overrightarrow{v}$

A Coriolis-erő az inerciarendszerhez képest $\omega$ szögsebességgel forgó vonatkoztatási rendszerben fellépő fiktív erő, a centrifugális erővel együtt jelentkezik, iránya merőleges a kerületi sebességre.

A forgó Föld északi (déli) féltekéjén ez az eredeti pályájuktól jobbra (balra) téríti el a vízszintes síkban mozgó testeket. Az északi féltekén a folyók a jobb partjukat jobban mossák, a délin a balt. A Foucault-féle inga lengési síkja az északi féltekén negatív irányba (az óra járásával megegyezően) fordul el $\omega ={\omega }_F\cdot sin(\phi )$ szögsebességgel, a délin fordítva.

A függőlegesen lefele mozgó testeket mindkét féltekén kelet felé téríti el. Magyarország szélességi körén ez 100 m szabadesés alatt 1,5 cm. Ez magyarázza a passzátszeleket is.

Nyugat (kelet) felé haladó testek esetén látszólagos súlynövekedésben (súlycsökkenésben) nyilvánul meg, ez az Eötvös-effektus. Magyarországi szélességen egy 70 kg tömegű, 1 m/s sebességű testnek ez 0,001 N súlyváltozás (1 grammnyi tömeg súlya). Az egyenlítőn kelet felé 8 km/s sebességgel kilőtt lövedék súlycsökkenése éppen a saját súlya, tehát ez esetben súlytalan lenne.

A Föld lassú $($állócsillagokhoz viszonyított ${\omega }_F=\frac{2\pi }{86164s}\approx 7,29\cdot 10^{-5}\frac{1}{s})$ forgásából adódó Coriolis-erőt általában elhanyagoljuk, csak nagy hatótávolságú lövedékeknél érezteti jobban hatását, ugyanakkor egy forgó színpadon meghajoló színész is érezheti a hatását (az óramutató irányával ellentétesen forgó színpadon kifelé mozgó testre jobb oldalra mutató erő hat).

Euler-erő

$F_{Euler}=-m\cdot \dot{\overrightarrow{\omega }}\times \overrightarrow{r}$

Az Euler-erő az inerciarendszerhez képest $\beta =\dot{\omega }(t)\ne 0$ szöggyorsulással és $\omega (t)$ szögsebességgel forgó vonatkoztatási rendszerben fellépő fiktív erő, ez a forgó rendszer tangenciális (érintő menti) gyorsulásának járuléka.

A gravitáció, mint fiktív erő

Lásd még: Általános relativitás-elmélet

Albert Einstein általános relativitás-elméletében a gravitáció fiktív erőként jelenik meg. A tehetetlenségi erők mindig annak a testnek a tömegével arányosak, amelyre hatnak, és mivel ugyanez igaz a gravitációs vonzóerőre is, Einstein felvetette, ez is egy fajta tehetetlenségi erő lehet. Azt a tényt figyelembe véve, hogy szabadon eső megfigyelő nem érzi a saját súlyát, a gravitációra mint fiktív erőre tudott tekinteni, és a látszólagos gyorsulást a téridő görbületének tulajdonította.

Fordítás

• Sablon:Fordítás

Kapcsolódó szócikkek

• Newton törvényei
• Klasszikus mechanika
• Inerciarendszer
• Gravitáció
• Centripetális gyorsulás
• Általános relativitás-elmélet
• D'Alembert-elv
• Körmozgás

További információk

• Mozgás és megjelenítése - Fizipedia
• https://web.archive.org/web/20190130110136/https://www.netfizika.hu/miert-vannak-tehetetlensegi-erok