Szupertér

A szupertér a kvantumtérelméletben a Minkowski-tér további kiterjesztése egy vagy több további dimenzióval, koordinátával. Az új koordináták azonban nem a megszokott valós számok köréből kerülnek ki, mint a négyestér esetén, hanem antikommutáló, ún. Grassmann-szám komponensű spinorok. Ezen a kiterjesztett téren értelmezzük a szuperszimmetriát. A legegyszerűbb szupertér $(x,\theta ,\overline{\theta })$, ahol x a Minkowski-tér, $\theta$ és $\overline{\theta }$ Grassmann-spinorok.

Grassmann-spinorok

A Grassmann-spinor egy kétkomponensű Dirac-spinor, ahol azonban a komponensek komplex számok helyett antikommutáló Grassmann-számok. A Minkowski-tér vagy négyestér kiterjesztése spinorváltozókkal megőrzi a Lorentz-csoporttal ill. az eltolásokat is belevéve a Poincaré-csoporttal szembeni szimmetriát. A Lorentz-csoport – ami ekvivalens egy SU(2)×SU(2) csoporttal – spinorjainak megfelelően kétféle Grassmann-spinor van, amit a "normál" és "konjugált" (helyesen adjungált) spinorok helyett ezek lineáris kombinációinak, a ${\theta }_a$ "balkezes" és a ${\overline{\theta }}_{\dot{a}}$ "jobbkezes" spinoroknak szokás választani. A négyesskalárok két pontozatlan vagy két pontozott spinor indexösszeejtésével ("konvolúciójával") képezhetjük. A szokásos rövidített jelölést is megadva:

${\theta }^2\equiv {\theta }^a{\theta }_a,{\overline{\theta }}^2\equiv {\overline{\theta }}_{\dot{a}}{\overline{\theta }}^{\dot{a}}$

ahol számít, hogy az első vagy a második index van lent, mert egy csere a két komponens felcserélését jelenti, ami, mivel antikommutáló számokról van szó, előjelváltást jelent, azaz:

${\theta }^a{\theta }_a=-{\theta }_a{\theta }^a$

Az index lehúzás és felhúzás a Levi-Civita-szimbólummal végezhető:

${\theta }_a={ϵ}_{ab}{\theta }^b,{\overline{\theta }}_{\dot{a}}={ϵ}_{\dot{a}\dot{b}}{\overline{\theta }}^{\dot{b}}$

A négyesspinorok általános tulajdonságainak megfelelően a ${\theta }_a{\overline{\theta }}_{\dot{a}}$ szorzat úgy transzformálódik, mint egy Lorentz-vektor.

Szupereltolás

Az $(x,\theta ,\overline{\theta })$ szupertérben a szupertranszformációt a következőképpen vezethetjük be:

$\theta \to \theta +ϵ,\overline{\theta }\to \overline{\theta }+\overline{ϵ}$

$x_{\alpha \dot{\beta }}\to x_{\alpha \dot{\beta }}+2i{ϵ}_{\alpha }{\overline{\theta }}_{\dot{\beta }}-2i{\theta }_{\alpha }{\overline{ϵ}}_{\dot{\beta }}$

Ez a négyestérbeli eltolásokat általánosítja a szupertérre.

Királis és antikirális szupertér

A szuperteret lehetséges úgy parametrizálni, hogy explicit módon ne tartalmazza $\overline{\theta }$-t – $(x_L,\theta )$ királis szupertér – vagy $\theta$-t – $(x_R,\overline{\theta })$ antikirális szupertér, ahol:

$(x_L{)}_{a\dot{a}}=x_{a\dot{a}}-2i{\theta }_a\overline{{\theta }_{\dot{a}}}$

$(x_R{)}_{a\dot{a}}=x_{a\dot{a}}+2i{\theta }_a\overline{{\theta }_{\dot{a}}}$

Ezekkel a definíciókkal a szupertranszformáció a megfelelő szupertéren belül marad, azaz:

$\theta \to \theta +ϵ$

$\overline{\theta }\to \overline{\theta }+\overline{ϵ}$

esetén:

$(x_L{)}_{a\dot{b}}\to x_{a\dot{b}}-4i{\theta }_a\overline{{ϵ}_{\dot{b}}}$

$(x_R{)}_{a\dot{b}}\to x_{a\dot{b}}+4i{ϵ}_a\overline{{\theta }_{\dot{b}}}$