Grassmann-szám

Sablon:Nincs forrás A matematikai fizikában a Grassmann-szám (hívják antikommutáló számnak is) egy ${\theta }_i$ mennyiség, amelyik antikommutál más Grassmann-számokkal, de kommutál rendes $x_j$ számokkal,

${\theta }_i{\theta }_j=-{\theta }_j{\theta }_i{\theta }_i{x}_j=x_j{\theta }_i.$

A fentiek miatt bármely Grassmann-szám négyzete 0:

${\theta }_i{\theta }_i=0.$

A Grassmann-számok egy halmaza által generált algebra neve Grassmann-algebra (vagy külső algebra). n, lineárisan független Grassmann-szám által generált Grassmann-algebra dimenziója 2ⁿ. Ezek a fogalmak mind Hermann Grassmannról kapták a nevüket. Az 1 dimenziós Grassmann-számok a duális számok.

A Grassmann-algebrák a szuperkommutatív algebrák prototípusai. Ezek páros és páratlan változókra széteső algebrák, ahol a páros elemek kommutálnak, a páratlanok pedig antikommutálnak.

Mátrix reprezentáció

A Grassmann-számok mindig felírhatók mátrixokkal. Tekintsük például a két Grassmann-szám (${\theta }_1$ és ${\theta }_2$) által generált Grassmann-algebrát

Ezek a Grassmann-számok 4×4-es mátrixokkal reprezentálhatók:

${\theta }_1=\left[\begin{array}{cccc}0& 0& 0& 0\\ 1& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\end{array}\right]{\theta }_2=\left[\begin{array}{cccc}0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 1& 0& 0& 0\\ 0& -1& 0& 0\end{array}\right]{\theta }_1{\theta }_2=-{\theta }_2{\theta }_1=\left[\begin{array}{cccc}0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 1& 0& 0& 0\end{array}\right]$

Általában egy n generátoron alapuló Grassmann-algebra 2ⁿ × 2ⁿ-es mátrixokkal reprezentálható. Fizikai értelemben, ezekre a mátrixokra gondolhatunk úgy, mint Hilbert-téren ható keltő operátorokra n azonos fermionnal a betöltési állapotban.

Minden fermion betöltési száma 0 vagy 1, 2ⁿ számú betöltési állapot lehetséges. Matematikailag ezek a mátrixok tekinthetők olyan lineáris operátoroknak, amelyek bal külső szorzásnak felelnek meg a Grassmann-algebrán magán.

Alkalmazások

A kvantumtérelméletben Grassmann-számokat használnak a fermionmezők útintegráljának definiálására. A Berezin-integrálokat szintén Grassmann-számokon definiálják.

A Grassmann-számok alapvetőek a szupertér (lásd szuperszimmetria) definiálásakor, ahol antikommutáló koordináták szerepét játsszák.

Források

• Sablon:Cite book