Szuperszimmetria

A szuperszimmetria egy a kiterjesztett dimenziókkal rendelkező terekkel kapcsolatos fogalom, mely a részecskefizika egyik fontos eleme.

A szuperszimmetria elmélete a négyes téridőt szupertérré bővíti, ami ötödik és további dimenziókként nem a négyesteret leíró valós számot, hanem Grassmann-számokat ad hozzá a leíráshoz. A szuperszimmetria az így kiterjesztett téren lehetséges transzformációkkal szembeni szimmetriát jelenti. Jóslata szerint minden általunk ismert részecskének létezik egy – nyilván nagy tömegű, mivel eddig még nem fedeztük fel őket – ún. szuperpartnere. A fermionok szuperpartnere bozon és megfordítva. A szuperszimmetrikus modellek a standard modell sok problémáját képesek megoldani, a részecskefizika egyik mai legfontosabb feladata a szuperszimmetria igazolása avagy kizárása.

A szimmetriák felosztása és jelentősége

Az elemi részecskék esetében két általános érvényű csoportszimmetriát különböztetünk meg:

.  Tér-idő szimmetriák (kifejezetten tér-idő koordináták)

.  Belső szimmetriák (a térelméletben létrehozott különböző tér-idő transzformációkkal van szoros összefüggésben)

$${\mathrm{\Phi }}^a(x)⟼M_b^a{\mathrm{\Phi }}^b(x)$$ahol a, b a különböző térindexek. Amennyiben $M_b^a$állandó, akkor globális szimmetriának nevezzük, viszont ha $M_b^a(x)$ téridő függő, akkor ezt lokális szimmetriának nevezik. A különböző részecskék szimmetriák által meghatározott konzervatív jellegét az eltérő – a téridő és a belső szimmetriák (tömeg, spin, töltés, szín stb.) révén definiált – kvantumszámok határozzák meg. A szimmetriák ugyanakkor a részecskék közti kölcsönhatásokat is előirányozzák, így például a mértékelméletben. A legtöbb kvantumtérelméletben a vektor-bozon (melyek a gyenge kölcsönhatásban is részt vesznek) nem renormalizálhatók. Szemléltetésképp tekintsünk egy ide vonatkozó Lagrange-függvényt:  $$ℒ={\partial }_{\mu }\mathrm{\Phi }{\partial }^{\mu }{\varphi }^{*}-V(\varphi ,{\varphi }^{*})$$amely invariáns a komplex síkban a $$\varphi =exp(i\alpha )\varphi$$

kifejezéssel, mindaddig, amíg $\alpha$állandó (vagyis globális szimmetriáról van szó). Amennyiben ugyanis $\alpha =\alpha (x)$ nem invariáns, ez esetben

$${\partial }_{\mu }\varphi ⟼exp(i\alpha )({\partial }_{\mu }\varphi +i({\partial }_{\mu }\alpha )\varphi )$$

Az ún. rejtett szimmetriák jelenléte több alapvető szempontból is fontos. Ez ugyanis egy természetes módszer arra, hogy egy adott rendszert energetikai szempontból  determináljunk. Mint az gyakran megfigyelhető, a standard modell hozzávetőleg 10³ GeV nagyságrendű szféráiban ez egy kulcsfontosságú kritérium a részecskék tömegük alapján történő szeparálásában, vagy például az elektrogyenge mértékbozonok Yukawa-potenciál révén megvalósuló azonosításában. A rejtett szimmetriák mindazonáltal arról is felvilágosítást nyújthatnak, miként kerülnek olykor ellentétbe a már ismert alapvető, természetben előforduló szimmetriák összessége azon szimmetriák néhány típusával, melyek a kísérletek során megfigyelhetőek. Ez jórészt annak köszönhető, hogy a kísérletek során analizált jelenségek főként az állapothatározók normál értékeinél mérhetők.

A Poincaré-szimmetria és a spinorok

A Poincaré-csoport nagyban összefügg a speciális relativitás alapvető szimmetriáival, hatással van a téridő koordinátákra, mint az az alábbiakban látható:

$$x^{\mu }\mapsto x^{\text{'}\mu }={{\mathrm{\Lambda }}^{\mu }}_{\nu }{x}^{\nu }+a^{\mu }$$

A Lorentz-transzformáció a metrikus tenzort - ${\eta }_{\mu \nu }=diag(1;-1;-1;-1)$- változatlanul hagyja (tehát invariáns):

$${\mathrm{\Lambda }}^T\eta \mathrm{\Lambda }=\eta$$

A Poincaré-csoportot másképpen inhomogén Lorentz-csoportnak is nevezik, illetve gyakran az utóbbit a Poincaré-csoport alcsoportjaként reprezentálják. A csoport generátorai a $M^{\mu \nu }$(rotáció) és a $P^{\sigma }$ (transzláció), melynek algebrai kifejtése a következőképp adható meg:

$$[P^{\mu },P^{\nu }]=0$$

$$[M^{\mu \nu },P^{\sigma }]=i(P^{\mu }{\eta }^{\nu \sigma }-P^{\nu }{\eta }^{\mu \sigma })$$

$$(M^{\mu \nu },M^{\rho \sigma })=i(M^{\mu \sigma }{\eta }^{\nu \rho }+M^{\nu \rho }{\eta }^{\mu \sigma }-M^{\mu \rho }{\eta }^{\nu \sigma }-M^{\nu \sigma }{\eta }^{\mu \rho })$$

Ilyen módon az $M^{\mu \nu }$négydimenziós mátrix reprezentációja:

$${(M^{\rho \sigma }{)}^{\mu }}_{\nu }=-i({\eta }^{\mu \sigma }{{\delta }^{\rho }}_{\mu }-{\eta }^{\rho \mu }{{\rho }^{\delta }}_{\nu })$$

További információ

• N. Seiberg, Naturalness Versus Supersymmetric Non-renormalization Theorems, Phys. Lett. B 318 (1993) 469
• Sablon:Cite journal
• Sablon:Cite book

Források

• B. C. Allanacha, F. Quevedo: Supersymmetry. Department of Applied Mathematics and Theoretical Physics, Centre for Mathematical Sciences, University of Cambridge, Wilberforce Road, Cambridge CB3 0WA, United Kingdom.
• Sablon:Cite book