Lagrange-függvény

Egy dinamikai rendszer Lagrange-függvénye (L) olyan függvény, amely összegzi a rendszer dinamikáját. Joseph Louis Lagrange után kapta a nevét. A függvénynek a bevezetése William Rowan Hamilton ír matematikus nevéhez fűződik. Klasszikus mechanikában a Lagrange-függvény úgy van meghatározva, mint a rendszer teljes mozgási energiájának $T$ és a rendszer teljes potenciális energiájának $V$ a különbsége.

Matematikailag:

$L=T-V.$

Ha ismerjük egy rendszer Lagrange-függvényét, akkor a mozgásegyenletek megkaphatók, ha behelyettesítjük a Lagrange-függvényt az Euler–Lagrange-egyenletbe.

A Lagrange-formalizmus

Fontosság

A Lagrange-formalizmus nemcsak a széles alkalmazhatósága miatt fontos, hanem azért is, mert általa jobban megismerhetjük a fizikát. Annak ellenére, hogy a Lagrange-függvény csak a klasszikus mechanikát hivatott leírni, a legkisebb hatás elvével, amit arra használunk, hogy felírjuk a Lagrange-egyenletet, alkalmazhatóvá vált a kvantummechanikában is.

Más módszerekkel szembeni előnyök

• Ebben a formalizmusban nem vagyunk egyik koordináta-rendszerhez sem láncolva, hanem bármelyik nekünk előnyös ${\phi }_i(s)$ változót használhatjuk a rendszer leírására, amelyeket általános koordinátáknak nevezzük, s ezek a rendszernek bármilyen független változói lehetnek. Például a mágneses tér erőssége egy pontban, egy pont helyzete a térben, stb.

• Ha a Lagrange-függvény invariáns bizonyos szimmetriára, akkor a keletkező mozgásegyenletek is invariánsak lesznek az illető szimmetriára.

• A Lagrange-függvényből származtatott egyenletek egyértelműek és nem önellentmondóak.

"Ciklikus koordináták" és megmaradási tételek

Az egyik fontos tulajdonsága a Lagrange-függvénynek az, hogy a megmaradási tételek könnyen kiolvashatók belőle. Például ha a Lagrange-függvény $ℒ$ csak az egyik általános koordináta idő szerinti deriválttól függ ${\dot{q}}_i$ de nem függ magától az általános koordinátától, akkor az általánosított impulzus,

$p_i=\frac{\partial ℒ}{\partial {\dot{q}}_i}$,

egy megmaradó mennyiség. Ez egy speciális esete a Noether-tételnek, s az ilyen koordinátákat ciklikusaknak nevezzük.

Például az alábbi általánosított impulzus,

$p_2=\frac{\partial ℒ}{\partial {\dot{q}}_2}$,

megmaradása azonnal belátható, ha a rendszer Lagrange-függvénye a következő alakú:

$ℒ(q_1,q_3,q_4,\dots ;{\dot{q}}_1,{\dot{q}}_2,{\dot{q}}_3,{\dot{q}}_4,\dots ;t)$.

Amennyiben a Lagrange-függvény nem függ expliciten az időtől, akkor a rendszer energiája lesz egy megmaradó mennyiség.

Euler–Lagrange-egyenlet

A mechanikai rendszerek mozgásegyenleteit legáltalánosabban a legkisebb hatás elvével adhatjuk meg. Vagyis, ha egy adott mechanikai rendszert egy adott

$ℒ(q_1,q_2,q_3,q_4,\dots ;{\dot{q}}_1,{\dot{q}}_2,{\dot{q}}_3,{\dot{q}}_4,\dots ;t).$

függvény jellemez, a rövidség kedvéért jelöljük csak $ℒ(q,\dot{q},t)$-nek, s a rendszer helyzetét a $t=t_1$ és $t=t_2$ időpillanatokban a $q^{(1)}$ és $q^{(2)}$ koordináták jellemzik, akkor a két helyzet között úgy fog mozogni a rendszer, hogy az

$𝒮=\underset{t_1}{\overset{t_2}{\int }}ℒ(q,\dot{q},t)dt$

minimális legyen, ahol az $𝒮$ integrált hatásfüggvénynek nevezzük.

Legyen $q=q(t)$ az a függvény, amelyre a hatásfüggvény (a fenti integrál) minimális. Ekkor ha $q(t)$ függvényt helyettesítjük bármely $q(t)+\delta q(t)$ függvénnyel, ahol a $\delta q(t)$ egy tetszőleges függvény, amely $t_1$ és $t_2$ között kis értékeket vesz fel (matematikailag a $q(t)$ variációjának nevezzük), az az $𝒮$ növekedéséhez vezet. Minden $q(t)+\delta q(t)$ függvénynek a $t=t_1$ és $t=t_2$ időpillanatokban ugyanazt a $q^{(1)}$ és $q^{(2)}$ értéket kell felvennie, s ez csak akkor lehetséges, ha

$\mathcal{\delta }q(t_1)=\delta q(t_2)=0$

Ha a hatásfüggvényben a $q$-t helyettesítjük $q+\delta q$-val, akkor az $𝒮$ változását a

$\underset{t_1}{\overset{t_2}{\int }}ℒ(q+\delta q,\dot{q}+\delta \dot{q},t)dt-\underset{t_1}{\overset{t_2}{\int }}ℒ(q,\dot{q},t)dt$

különbség fogja megadni. Ha ezt sorbafejtjük és csak az elsőrendű tagokat vesszük figyelembe (ezt az integrál első variációjának nevezzük), akkor az $𝒮$ extrémumának szükséges feltétele az, hogy ezeknek a tagoknak az összege 0 legyen, s akkor a legkisebb hatás elvét a következő alakban írhatjuk fel:

$\delta 𝒮=\delta \underset{t_1}{\overset{t_2}{\int }}ℒ(q,\dot{q},t)dt=0$

Ha végrehajtjuk a variációt, akkor a következő alakhoz jutunk:

$\underset{t_1}{\overset{t_2}{\int }}(\frac{\partial ℒ}{\partial q}\delta q+\frac{\partial ℒ}{\partial \dot{q}}\delta \dot{q})dt=0$

Behelyettesítve, hogy $\mathcal{\delta }\dot{q}=\frac{d}{dt}\delta q$, valamint a második tagot parciálisan integrálva, és figyelembe véve, hogy $\mathcal{\delta }q(t_1)=\delta q(t_2)=0$, a következő kifejezést kapjuk:

$\underset{t_1}{\overset{t_2}{\int }}(\frac{\partial ℒ}{\partial q}-\frac{d}{dt}\frac{\partial ℒ}{\partial \dot{q}})\delta qdt=0$,

ami csak akkor lehetséges, ha az integrandus nulla, tetszőleges $\delta q$ értékek mellett, s ez csak akkor lehetséges, ha

$\frac{\partial ℒ}{\partial q}-\frac{d}{dt}\frac{\partial ℒ}{\partial \dot{q}}=0$.

A fenti egyenletet nevezzük az Euler–Lagrange-egyenletnek, s ha ismerjük egy adott rendszer Lagrange-függvényét, akkor behelyettesítve a fenti egyenletbe, s elvégezve a deriválásokat megkapjuk az adott rendszer mozgásegyenleteit.

Példa klasszikus mechanikából

Derékszögű koordináta-rendszerben

Ha háromdimenziós térben vagyunk, akkor egy anyagi pont Lagrange-függvénye a következő:

$L(\overrightarrow{x},\dot{\overrightarrow{x}})=\frac{1}{2}m{\dot{\overrightarrow{x}}}^2-V(\overrightarrow{x})$.

Az Euler–Lagrange-egyenlet a következő alakú lesz:

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\frac{\partial L}{\partial {\dot{x}}_i}\right)-\frac{\partial L}{\partial x_i}=0$

ahol $i=1,2,3$.

A deriválások elvégzése után a következőket kapjuk:

$\frac{\partial L}{\partial x_i}=-\frac{\partial V}{\partial x_i}$

$\frac{\partial L}{\partial {\dot{x}}_i}=\frac{\partial }{\partial {\dot{x}}_i}\left(\frac{1}{2}m{\dot{\overrightarrow{x}}}^2\right)=\frac{1}{2}m\frac{\partial }{\partial {\dot{x}}_i}\left({\dot{x}}_i{\dot{x}}_i\right)=m{\dot{x}}_i$

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\frac{\partial L}{\partial {\dot{x}}_i}\right)=m{\ddot{x}}_i$

Polárkoordináta-rendszerben

Ha polárkoordináta-rendszeben dolgozunk, akkor az anyagi pont Lagrange-függvénye a következő lesz:

$L=\frac{m}{2}({\dot{r}}^2+r^2{\dot{\theta }}^2+r^2{\sin }^2\theta {\dot{\phi }}^2)-V(r).$

S az Euler–Lagrange-egyenletek az alábbiak lesznek:

$m\ddot{r}-mr({\dot{\theta }}^2+{\sin }^2\theta {\dot{\phi }}^2)+V^{\prime }=0,$

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(m{r}^2\dot{\theta })-m{r}^2\sin \theta \cos \theta {\dot{\phi }}^2=0,$

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(m{r}^2{\sin }^2\theta \dot{\phi })=0.$

További információk

• L. D. Landau - E. M. Lifsic: Mechanika, Tankönyvkiadó, Budapest, 1984
• Christoph Schiller (2005), Global descriptions of motion: the simplicity of complexity, Motion Mountain
• David Tong Classical Dynamics (Cambridge lecture notes)