Momentumgeneráló függvény

A momentumgeneráló függvény a valószínűségi változókhoz rendelt függvények egyike. Sok esetben definiálható a függvény a nulla egy környezetében a komplex síkon vagy a valós számok egy szakaszán, és deriváltjai segítenek kiszámítani a valószínűségi változó momentumait, innen a neve.

Definíció

Egy $X$ valószínűségi változó momentumgeneráló függvénye:

$M_X(t):=E\left(e^{tX}\right)$,

ahol $t$ a függvény változója. A momentumgeneráló függvény ott van értelmezve, ahol a jobb oldali várható érték létezik. Mindenesetre a konvergencia igaz a $t=0$ pontban. Sok esetben ennek egy környezetében is teljesül a konvergencia, így a függvény hatványsorba fejthető:

$M_X(t)=E\left(\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(tX{)}^n}{n!}\right)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{t^n}{n!}E(X^n)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{t^n}{n!}{m}_X^n$.

Ahol $0^0:=1$ és $m_X^n=E(X^n)$ az $X$ momentumai.

A momentumgeneráló függvény csak $X$ eloszlásától függ. Ha a valószínűségi változó momentumgeneráló függvénye a nulla egy környezetében is konvergál, akkor az eloszlásnak van momentumgeneráló függvénye. Ha $M_X(t)$ csak a nullában értelmezhető, akkor az eloszlásnak nincs momentumgeneráló függvénye.

Folytonos valószínűségeloszlások

Ha $X$ eloszlása folytonos az $f$ folytonos sűrűségfüggvénnyel, akkor a várható érték helyettesítésével teljesül, hogy

$M_X(t)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{tx}f(x)\mathrm{d}x$

$=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}(1+tx+\frac{t^2}{2!}{x}^2+\cdots )f(x)\mathrm{d}x$

$=1+t{m}_X^1+\frac{t^2}{2!}{m}_X^2+\cdots$

ahol $m_X^k$ az $X$ $k$-adik momentuma. Az $M_X(-t)$ éppen az $X$ által meghatározott mérték kétoldali Laplace-transzformációja.

Megjegyzések

Elnevezés

A momentumgenerátor név abból ered, hogy a függvény deriváltjai a nulla helyen éppen a valószínűségeloszlás momentumait veszik fel, mégpedig a $k$-adik derivált a $k$-adik momentumot:

$\frac{{\mathrm{d}}^k}{\mathrm{d}{t}^k}{M}_X(t){|}_{t=0}=E(X^k)=m_X^k$,

ahogy az a fenti hatványsorból is kiolvasható. Az összes létező és nem eltűnő momentummal az eloszlás egyértelmű, feltéve, ha a momentumgeneráló függvény értelmezhető egy nyílt $(-\epsilon ,\epsilon )$ szakaszon, ahol $\epsilon >0$.

Kapcsolat a karakterisztikus függvénnyel

A momentumgeneráló függvény kapcsolódik az eloszlás ${\phi }_X(t)=E\left(e^{\mathrm{i}tX}\right)$ karakterisztikus függvényéhez. Momentumgeneráló függvény létezése esetén ${\phi }_X(t)=M_{iX}(t)=M_X(\mathrm{i}t)$. Szemben a momentumgeneráló függvénnyel, karakterisztikus függvénye minden valószínűségi változónak van.

Kapcsolat a valószínűséggeneráló függvénnyel

Valószínűséggeneráló függvénye csak olyan eloszlásoknak van, amelyek értékei ${\mathbb{N}}_0$-beliek. Ekkor ez a függvény $m_X(t)=\mathrm{E}(t^X)$. Ekkor diszkrét változókra $m_X(e^t)=M_X(t)$ .

Kapcsolat a kumulánsgeneráló függvénnyel

A kumulánsgeneráló függvény a momentumgeneráló függvény logaritmusa. Belőle vezetik le a kumulánsokat.

Független valószínűségi változók összege

Független valószínűségi változók összegének momentumgeneráló függvénye a valószínűségi változók momentumgeneráló függvényeinek szorzata. Azaz, ha $X_1,\dots ,X_n$ független valószínűségi változók, akkor $Y=X_1+\cdots +X_n$ momentumgeneráló függvénye:

$M_Y(t)=E(e^{tY})=E(e^{t{X}_1+\dots +t{X}_n})=E(e^{t{X}_1}\cdots e^{t{X}_n})=E(e^{t{X}_1})\cdots E(e^{t{X}_n})=M_{X_1}(t)\cdots M_{X_n}(t)$,

ahol az utolsó előtti egyenlőség azt használja fel, hogy független valószínűségi változók összegének várható értéke a valószínűségi változók várható értékeinek szorzata.

Egyértelműség

Ha egy valószínűségi változó momentumgeneráló függvénye véges a nulla egy környezetében, akkor egyértelműen meghatározza a valószínűségi változó eloszlását.

Legyenek $X$ és $Y$ valószínűségi változók, az $M_X$ és $M_Y$ momentumgeneráló függvényekkel. Ha van egy $\epsilon >0$, hogy $M_X(s),M_Y(s)<\mathrm{\infty }$ minden $s\in (-\epsilon ,\epsilon )$ esetén, akkor $P_X=P_Y$ akkor és csak akkor, ha $M_X(s)=M_Y(s)$ minden $s\in (-\epsilon ,\epsilon )$ helyen.

Példák

Több eloszlásnak ismert a momentumgeneráló függvénye:

Eloszlás	Momentumgeneráló függvény, MX(t)
Bernoulli-eloszlás $\mathrm{B}(p)$	$M_X(t)=1-p+p{e}^t$
Béta-eloszlás $\mathrm{B}(a,b,p,q)$	$M_X(t)=1+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\left(\prod _{k=0}^{n-1}\frac{a+k}{a+b+k}\right)\frac{t^n}{n!}$
Binomiális eloszlás $\mathrm{B}(p,n)$	$M_X(t)=(1-p+p{e}^t{)}^n$
Cauchy-eloszlás	Nincs momentumgeráló függvény.
Khi-négyzet-eloszlás ${\chi }_n^2$	$M_X(t)=\frac{1}{(1-2t{)}^{n/2}}$
Erlang-eloszlás $\mathrm{E}\mathrm{r}\mathrm{l}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{g}(\lambda ,n)$	$M_X(t)={\left(\frac{\lambda }{\lambda -t}\right)}^n$ ha $t<\lambda$
Exponenciális eloszlás $\mathrm{E}\mathrm{x}\mathrm{p}(\lambda )$	$M_X(t)=\frac{\lambda }{\lambda -t}$ ha $t<\lambda$
Gamma-eloszlás $\gamma (p,b)$	$M_X(t)={\left(\frac{b}{b-t}\right)}^p$
Geometriai eloszlás a $p$ paraméterrel	$M_X(t)=\frac{p{e}^t}{1-(1-p)e^t}$
Egyenletes eloszlás a $[0,a]$ intervallumon	$M_X(t)=\frac{e^{ta}-1}{ta}$
Laplace-eloszlás a $\mu ,\sigma$ paraméterekkel	$M_X(t)=\frac{e^{\mu t}}{1-{\sigma }^2{t}^2}$
Negatív binomiális eloszlás $\mathrm{N}\mathrm{B}(r,p)$	$M_X(t)={\left(\frac{p{e}^t}{1-(1-p)e^t}\right)}^r$ ha $t<|\ln (1-p)|$
Normális eloszlás $\mathrm{N}(\mu ,{\sigma }^2)$	$M_X(t)=\exp (\mu t+\frac{{\sigma }^2{t}^2}{2})$
Poisson-eloszlás a $\lambda$ paraméterrel	$M_X(t)=\exp (\lambda (e^t-1))$

Többdimenziós valószínűségi változó

A momentumgeneráló függvény általánosítható $\ell$ dimenziós valós valószínűségi vektorváltozóra. Legyen $𝐗=(X_1,\dots ,X_{\ell })$, ekkor

$M_{𝐗}(t)=M_{𝐗}(t_1,\dots ,t_l)=\mathrm{E}(e^{⟨t,𝐗⟩})=\mathrm{E}\left(\prod _{j=1}^{\ell }{e}^{t_j{X}_j}\right)$,

ahol $⟨t,𝐗⟩=\sum _{j=1}^{\ell }{t}_j{X}_j$ a skaláris szorzás.

Források

• Klaus D. Schmidt: Maß und Wahrscheinlichkeit. Springer, Berlin / Heidelberg 2009, Sablon:ISBN, S. 378 ff.