Lambert-féle W-függvény

A W(x) grafikonja Sablon:Nowrap és Sablon:Nowrap. A felső rész: Sablon:Nowrap a Sablon:Nowrap függvény, az alsó rész: Sablon:Nowrap a Sablon:Nowrap függvény.

A matematikában a Lambert-féle W-függvény, más néven az omega-függvény vagy a logaritmusszorzat-függvény, egy függvény, amely az inverze a Sablon:Nowrap függvénynek, ahol Sablon:Nowrap az exponenciális függvény és W egy komplex szám. Tehát a definíció:

$z=W(z)e^{W(z)}$

ahol z egy komplex szám.

Mivel az Sablon:Nowrap függvény nem injektív így W többértékű (kivéve Sablon:Nowrap). Ha leszűkítjük a függvényt a valós számok halmazára, akkor mind a függvényérték mind az argumentum valós szám lesz, és a függvény csak a Sablon:Nowrap nagyobb argumentumra értelmezhető és kétértékű a Sablon:Nowrap intervallumon. A Sablon:Nowrap kikötéssel egy egyértékű függvényt kapunk, amit Sablon:Nowrap jelölnek. Adott hogy Sablon:Nowrap és Sablon:Nowrap A függvény "alsó részét", ami kielégíti a Sablon:Nowrap egyenlőtlenséget Sablon:Nowrap jelölik. Ez a függvény csökken, Sablon:Nowrap, Sablon:Nowrap

A Lambert-féle W nem fejezhető ki elemi függvényekkel. A függvény használatos a kombinatorikában, illetve bizonyos egyenletek megoldásakor amelyek tartalmaznak exponenciális függvényt. Szintén megjelenik bizonyos differenciál egyenletek megoldásakor mint például: Sablon:Nowrap

Jelölések

A függvény két fő része a $W_0$ és a $W_{-1}$

A Lambert-féle W függvényt Johann Heinrich Lambert után nevezték el. A "fő" Sablon:Nowrap Sablon:Nowrap jelöli a Digital Library of Mathematical Functions a Sablon:Nowrap pedig Sablon:Nowrap jelölik ugyanitt.

Az itt alkalmazott jelölések (a Sablon:Nowrap és a Sablon:Nowrap) Corlesstől, Gonnettől, Hare-től, Jeffrey-től és Knuthtól származnak.

Története

Lambert Lambert's Transcendental Equation 1758-as műve vezetett Leonhard Euler 1783-as munkájához, amiben a Sablon:Nowrap vizsgálta. Az első említése a Sablon:Nowrap inverzének 1925-ből Pólyától és Szegőtől származik. A Lambert-féle W-függvényt kb. minden évtizedben "újrafelfedezték" különböző helyzetekben de a fontosságát csak az 1990-es években ismerték el. Az utolsó újrafelfedezés során felismerték hogy a függvény pontos megoldást szolgáltat a kvantummechanikai duplapotenciál-gödör Dirac delta modelljére. Corless és a Maple fejlesztői átnézve a tudományos irodalmat azt találták hogy a függvény sokszor felbukkan a természetben.

Analízis

Derivált

Implicit deriválással bizonyítható, hogy W különböző részei (alsó, felső) kielégítik a következő differenciálegyenletet:

$z(1+W)\frac{\mathrm{d}W}{\mathrm{d}z}=W\text{ha }z\ne -1/e.$

(W nem differenciálható a Sablon:Nowrap pontban.) Így W deriváltjára a következőt kapjuk:

$\frac{\mathrm{d}W}{\mathrm{d}z}=\frac{W(z)}{z(1+W(z))}\text{ha }z\in ̸\{0,-1/e\}.$

Továbbá:

${\frac{\mathrm{d}W}{\mathrm{d}z}|}_{z=0}=1.$

Primitív függvény

A Sablon:Nowrap függvény, és egyéb kifejezések, amelyek tartalmazzák Sablon:Nowrap integrálhatóak, a Sablon:Nowrap helyettesítéssel, Sablon:Nowrap:

$\int W(x)\mathrm{d}x=x(W(x)-1+\frac{1}{W(x)})+C.$

Aminek a következménye (felhasználva, hogy $W(e)=1$):

$\underset{0}{\overset{e}{\int }}W(x)\mathrm{d}x=e-1$

Sorfejtés

A $W_0$ Taylor sora 0 körül megadható a Lagrange inverziós tételének segítségével:

$W_0(x)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-n{)}^{n-1}}{n!}{x}^n=x-x^2+\frac{3}{2}{x}^3-\frac{8}{3}{x}^4+\frac{125}{24}{x}^5-\cdots$

A konvergenciasugár 1/e, ahogy a hányadoskritériumból látható. A fenti sor által definiált függvény kiterjeszthető holomorf függvénnyé a komplex számok halmzán, kivéve a ]−∞, −1/e] intervallumot.

Nagy x értékekre, W₀ aszimptotikusan egyenlő:

$W_0(x)=L_1-L_2+\frac{L_2}{L_1}+\frac{L_2(-2+L_2)}{2L_1^2}+\frac{L_2(6-9L_2+2L_2^2)}{6L_1^3}+\frac{L_2(-12+36L_2-22L_2^2+3L_2^3)}{12L_1^4}+\cdots$

$W_0(x)=L_1-L_2+\sum _{\ell =0}^{\mathrm{\infty }}\sum _{m=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{\ell }\left[\begin{array}{c}\ell +m\\ \ell +1\end{array}\right]}{m!}{L}_1^{-\ell -m}{L}_2^m$

ahol, $L_2=\ln \ln x$ és $\left[\begin{array}{c}\ell +m\\ \ell +1\end{array}\right]$ a nemnegatív Stirling szám. Csak az első két tagot megtartva a kifejtésből:

$W_0(x)=\ln x-\ln \ln x+o(1).$

A másik valós rész a, $W_{-1}$, a ]−∞, −1/e] intervallumon, hasonló közelítéssel rendelkezik ahogy x tart 0-ba tehát: $L_1=\ln (-x)$ and $L_2=\ln (-\ln (-x))$.

Egész és komplex hatványa a függvénynek

Egész hatványai a $W_0$ függvénynek szintén felírhatóak egyszerű Taylor (vagy Laurent) sorként a $0$ pont körül:

$W_0(x{)}^2=\sum _{n=2}^{\mathrm{\infty }}\frac{-2(-n{)}^{n-3}}{(n-2)!}{x}^n=x^2-2x^3+4x^4-\frac{25}{3}{x}^5+18x^6-\cdots$

Általánosabban, $r\in \mathbb{Z},$-re, a Lagrange inverziós formula megadja hogy:

$W_0(x{)}^r=\sum _{n=r}^{\mathrm{\infty }}\frac{-r(-n{)}^{n-r-1}}{(n-r)!}{x}^n,$

vagyis, a Laurent sor mértéke r.

Illetve:

${\left(\frac{W_0(x)}{x}\right)}^r=\exp (-r{W}_0(x))=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{r(n+r{)}^{n-1}}{n!}(-x{)}^n,$

ami igaz bármely $r\in ℂ$-re és $|x|<e^{-1}$-re.

Nevezetes értékek

Bármely nemnulla x algebrai számra, W(x) transzcendens szám. Ezt indirekt módon bizonyíthatjuk: Ha W(x) nemnulla algebrai szám lenne (megjegyzés: vagyis x és W(x) sem nulla), akkor a Lindemann–Weierstrass-tétel, alapján e^W(x) transzcendens, ami implikálja hogy x=W(x)e^W(x) szintén transzcendens, ami ellentmond annak, hogy x algebrai.

$W(-\frac{\pi }{2})=\frac{\pi }{2}\mathrm{i}$

$W(-\frac{\ln a}{a})=-\ln a(\frac{1}{e}\le a\le e)$

$W(-\frac{1}{e})=-1$

$W\left(0\right)=0$

$W\left(1\right)=\mathrm{\Omega }=\frac{1}{\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{dt}{(e^t-t{)}^2+{\pi }^2}}-1\approx 0.56714329\dots$ (az Omega konstans)

$W\left(e\right)=1$

$W(-1)\approx -0.31813-1.33723\mathrm{i}$

$W^{\prime }\left(0\right)=1$

Egyéb formulák

Számos hasznos integrálformula létezik ami W-t tartalmazza. Néhány ezek közül:

$\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}W(2{\cot }^2(x)){\sec }^2(x)\mathrm{d}x=4\sqrt{\pi }$

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{W(x)}{x\sqrt{x}}\mathrm{d}x=2\sqrt{2\pi }$

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}W\left(\frac{1}{x^2}\right)\mathrm{d}x=\sqrt{2\pi }$

A második azonosság levezethető a

$u=W(x)$

helyettesítéssel ami így a következőket adja:

$x=u{e}^u$

$\frac{dx}{du}=(u+1)e^u$

Vagyis:

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{W(x)}{x\sqrt{x}}\mathrm{d}x=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{u}{u{e}^u\sqrt{u{e}^u}}(u+1)e^u\mathrm{d}u$

$=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{u+1}{\sqrt{u{e}^u}}\mathrm{d}u$

$=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{u+1}{\sqrt{u}}\frac{1}{\sqrt{e^u}}\mathrm{d}u$

$=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{u}^{\frac{1}{2}}{e}^{-\frac{u}{2}}\mathrm{d}u+\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{u}^{-\frac{1}{2}}{e}^{-\frac{u}{2}}\mathrm{d}u$

$=2\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}(2w{)}^{\frac{1}{2}}{e}^{-w}\mathrm{d}w+2\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}(2w{)}^{-\frac{1}{2}}{e}^{-w}\mathrm{d}w$ (helyettesítve $u=2w$-t)

$=2\sqrt{2}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{w}^{\frac{1}{2}}{e}^{-w}\mathrm{d}w+\sqrt{2}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{w}^{-\frac{1}{2}}{e}^{-w}\mathrm{d}w$

$=2\sqrt{2}\mathrm{\Gamma }(\frac{3}{2})+\sqrt{2}\mathrm{\Gamma }(\frac{1}{2})$

$=2\sqrt{2}(\frac{1}{2}\sqrt{\pi })+\sqrt{2}(\sqrt{\pi })$

$=2\sqrt{2\pi }$

A harmadik azonosság levezethető a másodikból a $u=\frac{1}{x^2}$ helyettesítéssel.

Alkalmazások

Sok egyenlet ami exponenciális függvényt tartalmaz megoldható a W-függvénnyel. Az általános stratégia az, hogy minden ismeretlent egy oldalra viszünk, hogy az egyenletnek Y = Xe^X alakja legyen, ahonnan a W-függvény megadja X értékeit.

Vagyis:

$Y=X{e}^X⟺X=W(Y)$

Példák

1. példa

$\begin{array}{cc}{2}^t& =5t\\ 1& =\frac{5t}{2^t}\\ 1& =5t{e}^{-t\ln 2}\\ \frac{1}{5}& =t{e}^{-t\ln 2}\\ \frac{-\ln 2}{5}& =(-t\ln 2)e^{(-t\ln 2)}\\ W\left(\frac{-\ln 2}{5}\right)& =-t\ln 2\\ t& =-\frac{W\left(\frac{-\ln 2}{5}\right)}{\ln 2}\end{array}$

Általánosságban a

$p^{ax+b}=cx+d$

egyenlet, ahol

$p>0\text{ and }c,a\ne 0$

átalakítható a következő helyettesítéssel:

$-t=ax+\frac{ad}{c}$

A helyettesítés után:

$t{p}^t=R=-\frac{a}{c}{p}^{b-\frac{ad}{c}}$

ami, a következő megoldásokat adja:

$t=\frac{W(R\ln p)}{\ln p}$

vagyis a végső megoldás:

$x=-\frac{W(-\frac{a\ln p}{c}{p}^{b-\frac{ad}{c}})}{a\ln p}-\frac{d}{c}$

2. példa

$x^x=z$

$\Rightarrow x\ln x=\ln z$

$\Rightarrow e^{\ln x}\cdot \ln x=\ln z$

$\Rightarrow \ln x=W(\ln z)$

$\Rightarrow x=e^{W(\ln z)},$

vagyis,

$x=\frac{\ln z}{W(\ln z)},$

mert

$\ln z=W(\ln z)e^{W(\ln z)}$

a definíció szerint.

3. példa

Amikor egy komplex végtelen tetráció

$z^{z^{z^{{\cdot }^{{\cdot }^{\cdot }}}}}$

konvergál, a W-függvény megadja a határértéket:

$c=\frac{W(-\ln (z))}{-\ln (z)}$

ahol ln(z) jelöli a komplex logaritmust. Ez bizonyítható azzal a megfigyeléssel hogy:

$z^c=c$

ha c létezik, vagyis

$z=c^{\frac{1}{c}}$

$\Rightarrow z^{-1}=c^{-\frac{1}{c}}$

$\Rightarrow \frac{1}{z}={\left(\frac{1}{c}\right)}^{\left(\frac{1}{c}\right)}$

$\Rightarrow -\ln (z)=\left(\frac{1}{c}\right)\ln \left(\frac{1}{c}\right)$

$\Rightarrow -\ln (z)=e^{\ln \left(\frac{1}{c}\right)}\ln \left(\frac{1}{c}\right)$

$\Rightarrow \ln \left(\frac{1}{c}\right)=W(-\ln (z))$

$\Rightarrow \frac{1}{c}=e^{W(-\ln (z))}$

$\Rightarrow \frac{1}{c}=\frac{-\ln (z)}{W(-\ln (z))}$

$\Rightarrow c=\frac{W(-\ln (z))}{-\ln (z)}$

ami az elvárt eredmény.

4. példa

A

$x{\log }_b\left(x\right)=a$

megoldásai

$x=e^{W(a\ln b)}.$

alakúak.

5. példa

Az áramerősség egy összetett ellenállás/dióda kapcsolásban leírható a W függvény segítségével. Lásd dióda modellezés.

6. példa

A

$\dot{y}(t)=ay(t-1)$

differenciálegyenlet, karakterisztikus egyenlete $\lambda =a{e}^{-\lambda }$, ami $\lambda =W_k(a)$ -hoz vezet és $y(t)=e^{W_k(a)t}$-hoz. Ha$a\ge e^{-1}$, csak $W_0(a)$ -t kell figyelembe venni.

Általánosítás

A hagyományos W-függvény megadja a pontos megoldásait a transzcendens algebrai egyenleteknek, amik a következő formájúak vagy ilyen formára hozhatóak:

$e^{-cx}=a_o(x-r)(1)$

ahol a₀, c ér r valós konstansok. A megoldás $x=r+\frac{1}{c}W\left(\frac{c{e}^{-cr}}{a_o}\right)$.

Grafikon

• A Lambert-féle W-függgvény ábrázolása a komplex síkon
• 
  z = Re(W₀(x + i y))
• 
  z = Im(W₀(x + i y))
• 
  z = W₀(x + i y)
• 

Közelítő eljárások a kiszámítására

A W-függvény közelíthető Newton-módszerrel, egymást követő közelítésekkel $w=W(z)$ Sablon:Nowrap Sablon:Nowrap:

$w_{j+1}=w_j-\frac{w_j{e}^{w_j}-z}{e^{w_j}+w_j{e}^{w_j}}.$

A W-függvény szintén közelíthető Halley-módszerrel,

$w_{j+1}=w_j-\frac{w_j{e}^{w_j}-z}{e^{w_j}(w_j+1)-\frac{(w_j+2)(w_j{e}^{w_j}-z)}{2w_j+2}}$

Források

• Sablon:Cite journal
• István, Mező. (2022) The Lambert W Function, Chapman and Hall/CRC Sablon:ISBN DOI:10.1201/9781003168102
• Sablon:Cite journal
• Sablon:Cite journal (Lambert function is used to solve delay-differential dynamics in human disease.)
• Sablon:Cite journal
• Sablon:Dlmf
• Sablon:Cite journal
• Sablon:Cite journal
• Veberic, D., "Having Fun with Lambert W(x) Function" arXiv:1003.1628 (2010); Sablon:Cite journal
• Sablon:Cite journal
• Sablon:Cite journal
• Sablon:Cite journal

Külső linkek

• National Institute of Science and Technology Digital Library - Lambert W
• MathWorld - Lambert W-Function
• Computing the Lambert W function
• Corless et al. Notes about Lambert W research
• Extreme Mathematics. Monographs on the Lambert W function, its numerical approximation and generalizations for W-like inverses of transcendental forms with repeated exponential towers.
• GPL C++ implementation with Halley's and Fritsch's iteration.
• Special Functions of the GNU Scientific Library - GSL