Lindemann–Weierstrass-tétel

Sablon:Hasonló A Lindemann–Weierstrass tétel kimondja, hogy az Euler-féle szám, más néven az e szám transzcendens. A tétel bizonyítható az e szám irracionális voltának bizonyításához hasonló módon.

Az α valós szám erősen approximálható, ha minden ε>0-hoz van u és v egész szám, és egy |δ| < ε szám, hogy $\alpha =\frac{v+\delta }{u}.$

Minden ilyen α valós szám irracionális. Fordítva ez az összefüggés nem teljesül, mivel az ilyen számok megszámlálhatóan sokan vannak.

A tétel bizonyítása szimultán approximálja az e számot és annak pozitív egész kitevős hatványait, az irracionalitás bizonyításához hasonló ellentmondásra jut az e szám minimálpolinomjával kapcsolatban.

A bizonyítás vázlata

• Feltesszük indirekt, hogy az e szám algebrai, és minimálpolinomját jelöljük t-vel:

$t=c_0+c_{1}x+c_2{x}^2+\dots +c_m{x}^m$,

ahol $c_0$ és $c_m$ egyike sem nulla, hiszen t irreducibilis.

• Szimultán erősen approximáljuk az e szám hatványait, vagyis adott ε-hoz keresünk $u,u_1,u_2,\dots ,u_m$ egészeket, hogy

$e^k=\frac{u_k+{\epsilon }_k}{u}$

minden 1 ≤ k ≤ m -re.

• Az approximáció eredményét behelyettesítve

$0=t(e)=c_0+c_1\frac{u_1+{\epsilon }^1}{u}+c_2\frac{u_2+{\epsilon }^2}{u}+\dots +c_m\frac{u_m+{\epsilon }^m}{u}$

Átrendezve

$(c_{0}u+c_1{u}_1+\dots +c_m{u}_m)+(c_1{\epsilon }^1+c_2{\epsilon }^2+\dots +c_m{\epsilon }^m)=0.$

• Az így kapott összeg első tagja egész. Elég azt belátnunk, hogy a második tag abszolút értékben $\frac{1}{2}$-nél kisebb. Ellentmondás.

Lemmák

1. Minden k ≥ 0 egészhez vannak g_k és h_k polinomok, hogy

$\underset{0}{\overset{r}{\int }}{x}^k{e}^{-x}\mathrm{d}x=k!-e^{-r}{g}_k(x)$

és

$\underset{0}{\overset{r}{\int }}(x-r{)}^k{e}^{-x}\mathrm{d}x=h_k(r)-k!e^{-r}$.

2. Minden f(x) polinomhoz egyértelműen van egy u valós szám és egy g(x) polinom, hogy

$\underset{0}{\overset{r}{\int }}f(x)e^{-x}\mathrm{d}x=u-e^{-r}g(r)$

minden valós r számra.

3. Legyen az f(x) polinom a következő:

$f=\frac{x^{p-1}}{(p-1)!}(x-1{)}^p(x-2{)}^p\dots (x-m{)}^p$.

Jelölje ezután u és g(x) a 2. lemma szerint az ehhez az f(x)-hez tartozó u-t és g(x)-et! Legyen továbbá u_r=g(r) és ${\epsilon }_r=<\underset{0}{\overset{r}{\int }}f(x)e^{-x}\mathrm{d}x$!

Ezekkel a jelölésekkel ha átírjuk az f(x) polinomot (x-r) hatványai szerint:

$f=\frac{1}{(p-1)!}(d_0(r)+d_1(r)(x-r)+\dots d_n(x-r{)}^n)$

akkor d₀(r)=d₁(r)=…=0.

4. (a) Az u szám egész, és nincs m-nél nagyobb prímosztója.

(b) Az u₁, …, u_m egészek mind oszthatók p-vel.

5. A fent definiált f polinomra

$\underset{p\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{0}{\overset{r}{\int }}f(x)e^{-x}\mathrm{d}x=0$.

A tétel bizonyítása

Feltesszük indirekt, hogy e algebrai, és minimálpolinomja

$t=c_0+c_{1}x+c_2{x}^2+\dots +c_m{x}^m$.

A $(c_{0}u+c_1{u}_1+\dots +c_m{u}_m)+(c_1{\epsilon }^1+c_2{\epsilon }^2+\dots +c_m{\epsilon }^m)=0.$

polinomhoz a 2. lemma szerint elkészítjük az u számot és a g polinomot. A 3. lemma miatt $g(r)=p{g}_1(r)$, ahol p az f-hez használt prím, továbbá

${\epsilon }_r=\underset{0}{\overset{r}{\int }}f(x)e^{-x}\mathrm{d}x=u-e^{-r}g(r)=u-e^{-r}{u}_r$,

ahonnan

$e^r=\frac{u_r+{\epsilon }_r}{u}$,

ezzel kész a szimultán erős approximáció.

A minimálpolinomba visszahelyettesítve

$0=t(e)=c_0+c_1\frac{u_1+{\epsilon }^1}{u}+c_2\frac{u_2+{\epsilon }^2}{u}+\dots +c_m\frac{u_m+{\epsilon }^m}{u}$

Ha most p > m, akkor a 4. lemma szerint p nem lehet osztója az u egész számnak. Ha p még c₀-nál is nagyobb, akkor c₀u sem lehet osztható p-vel, így a c₀u+c₁u₁+...+c_mu_m egész számnak sem osztója, tehát ez az összeg nem lehet nulla. Az 5. lemma alapján az c₁ε₁+...+c_mε_m összeg abszolút értéke viszont 1/2-nél kisebb, ezért az összeg nem lehet nulla. Ellentmondás.

Források

• SzegedSablon:Halott link
• Freud-Gyarmati: Számelmélet