Tetráció

Az ${}^{z}e$ holomorf tetráció a komplex síkon

A végtelen $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{}^{n}x$hatványtorony konvergál minden $(e^{-1}{)}^e\le x\le e^{e^{-1}})$-re

A tetráció (más néven exponenciális leképezés, hatványtorony, szuperhatványozás vagy hyper4) valójában iteratív hatványozás, az első hiperművelet a hatványozás után. A tetráció szót Reuben Louis Goodstein alkotta meg a tetra és az iteráció szavakból. A tetrációt nagyon nagy számok jelölésére használják. Egyes források szuperhatványfüggvényeken olyan függvényeket értenek általában, amelyek a hatványoknál gyorsabban, de az exponenciálisan növő függvényeknél lassabban nőnek.

A tetráció a hatványozást követi az alábbi módon:

• 0. szukcesszió:

  $a+1$

• 1. összeadás:

  $a+b=a\underset{b}{\underbrace{+1\cdots +1}}$

• 2. szorzás:

  $a\times b=\underset{b}{\underbrace{a+\cdots +a}}$

• 3. hatványozás:

  $a^b=\underset{b}{\underbrace{a\times \cdots \times a}}$

• 4. tetráció:

  ${}^{b}a=\underset{b}{\underbrace{a^{a^{{\cdot }^{{\cdot }^{{\cdot }^a}}}}}}$

ahol minden műveletet az előző iterálásával határozunk meg.

A szorzás ($a\times b$) másképpen „b darab a összeadva” és következésképpen a hatványozás ($a^b$) pedig „b darab a összeszorozva”. Tehetünk egy további lépést, és a tetráció ($a\uparrow \uparrow b$) így „b darab a hatványozása”.

x↑↑n, ahol n = 2, 3, 4, 5, 6 és 7

Kinagyítva az ${}^{n}x$ értékekre, ahol n = 1, 2, 3..., szemlélteti a végtelen hatványtorony konvergenciáját

Fontos megjegyezni, hogy többszintű hatványok kiértékelésekor először a legbelső szintet értékeljük ki (ez jelölésben a legfelső). Másképpen:

$2^{2^{2^2}}=2^{\left(2^{\left(2^2\right)}\right)}=2^{\left(2^4\right)}=2^{16}=65536$

$2^{2^{2^2}}$ nem ugyanaz, mint ${\left({\left(2^2\right)}^2\right)}^2=256$

(Ez a műveletek sorrendjének általános szabálya ismételt hatványozásra alkalmazva.)

Jelölés

A fenti első eset (a tetráció) általánosításához új jelölésre van szükség (lásd lentebb), viszont a második esetet írhatjuk: ${\left({\left(2^2\right)}^2\right)}^2=2^{2\cdot 2\cdot 2}=2^{2^3}$ -nak is.

Így az általános forma még mindig hagyományos hatványjelölést használ.

A jelölések, amikkel a tetráció leírható (némelyik magasabb szintű iterációt is megenged), például a következők:

• Standard jelölés: ${}^{b}a$; először Maurer használta; Rudy Rucker A Végtelen és az elme (Infinity and the Mind) című könyve ezt a jelölést népszerűsítette.
• Knuth-nyilas jelölés: $a\uparrow \uparrow b$; itt több nyilat is alkalmazhatunk vagy indexelt nyilat
• Conway-nyílláncolat: $a\to b\to 2$; a kettes szám növelésével kiterjeszthető (ez azonos a fenti kiterjesztésekkel), vagy erőteljesebben a láncolat meghosszabbításával.
• hyper4 jelölés: $a^{(4)}b=\mathrm{hyper4}(a,b)=\mathrm{hyper}(a,4,b)$; a 4-es szám növelésével terjeszthető ki, az adja a hiperoperátorok családját.

Az Ackermann-függvényt így jelölhetjük: $2\uparrow \uparrow b=\mathrm{A}(4,b-3)+3$, azaz $\mathrm{A}(4,n)=2\uparrow \uparrow (n+3)-3$.

A hatványjel (^) is ugyanígy használható, így a tetráció ASCII jelölése ^^, például a^^b.

A tetrációra igazak a következők:

• $a\uparrow \uparrow (b+1)=a^{\left(a\uparrow \uparrow b\right)}$,
• monoton növekszik,
• folytonos.

Példák

(A tizedesvesszőt tartalmazó értékek közelítőek).

n = n↑↑1	n↑↑2	n↑↑3	n↑↑4
1	1	1	1
2	4	16	65536
3	27	7,63×1012	$10^{3,6410\times 10^{12}}$
4	256	1,34×10154	$10^{8,07\times 10^{153}}$
5	3125	1,91×102184	$10^{1,34\times 10^{2184}}$
6	46 656	2,70×1036 305	$10^{2,07\times 10^{36305}}$
7	823 543	3,76×10695 974	$10^{3,18\times 10^{695974}}$
8	16 777 216	6,01×1015 151 335	$10^{5,43\times 10^{15151335}}$
9	387 420 489	4,28×10369 693 099	$10^{4,09\times 10^{369693009}}$
10	10 000 000 000	1010 000 000 000	$10^{10^{10^{10}}}$

A függvény gyorsabban növekszik a szuperhatványfüggvényeknél is, ha például $a$ = 10:

• $\mathrm{f}(-1)=0$
• $\mathrm{f}(0)=1$
• $\mathrm{f}(1)=10$
• $\mathrm{f}(2)=10^{10}$
• $\mathrm{f}(2,3)=10^{100}$ (az egy googol)
• $\mathrm{f}(3)=10^{10^{10}}$
• $\mathrm{f}(3,3)=10^{10^{100}}$ (ez egy googolplex)
• A függvény $10^{10^x}$ -t $x=2,376$ -nál lépi át: $\mathrm{f}(x)\approx 4,83\times 10^{237}$

Kiterjesztés a második operandus kis értékeire

A $n\uparrow \uparrow k={\log }_n(n\uparrow \uparrow (k+1))$ kapcsolat felhasználásával (ami következik a tetráció definíciójából), kikövetkeztethetjük vagy definiálhatjuk $n\uparrow \uparrow k$ értékeit, ha $k\in \{-1,0,1\}$.

$\begin{array}{ccccccccc}n\uparrow \uparrow 1& =& {\log }_n(n\uparrow \uparrow 2)& =& {\log }_n\left(n^n\right)& =& n{\log }_{n}n& =& n\\ n\uparrow \uparrow 0& =& {\log }_n(n\uparrow \uparrow 1)& =& {\log }_{n}n& & & =& 1\\ n\uparrow \uparrow -1& =& {\log }_n(n\uparrow \uparrow 0)& =& {\log }_{n}1& & & =& 0\end{array}$

Ez megerősíti az intuitív definíciót, miszerint $n\uparrow \uparrow 1$ egyszerűen $n$. Ilyen minta alapján azonban további iterációval nem lehet további értékeket kikövetkeztetni, mivel ${\log }_{n}0$ nincs értelmezve.

Hasonlóan, mivel ${\log }_{1}1$ sem értelmezett (mert ${\log }_{1}1=\begin{array}{c}\frac{{\log }_{n}1}{{\log }_{n}1}=\frac{0}{0}\end{array}$),a fenti következtetés nem működik, ha $n$ = 1. Ezért $1\uparrow \uparrow -1$ nek is értelmetlennek kell maradnia. (A $1\uparrow \uparrow 0$ kifejezés nyugodtan maradhat 1.)

Néha a $0^0$ t is értelmetlennek veszik. Ebben az esetben $0\uparrow \uparrow k$ értékeit sem definiálhatjuk közvetlenül. Azonban $\underset{n\to 0}{\lim }n\uparrow \uparrow k$ meghatározott és létezik:

$\underset{n\to 0}{\lim }n\uparrow \uparrow k=\{\begin{array}{cc}1,& k=2m\\ 0,& k=2m+1\end{array}$

Ez a határérték marad negatív $n$ -eknél is. $0\uparrow \uparrow k$ eszerint határozható meg, és ez összefér azzal, ha $0^0=1$ (mivel a 0 páros).

A tetráció a -1-nél kisebb kitevőkre nem terjeszthető ki rekurzióval, mivel

${}^{-2}a={\log }_a{}^{-1}a={\log }_{a}0=-\mathrm{\infty }$

Kiterjesztés valós kitevőkre

Jelenleg nincs általánosan elfogadott módszer a nem egész valós vagy kitevőkre való kiterjesztésre. A továbbiakban néhány megközelítést mutatunk be.

Általában egy szuperexponenciális $f(x)={}^{x}a$ függvényt keresünk, ahol x valós, és $x>-2$, továbbá

• ${}^{(-1)}a=0$,
• ${}^{0}a=1$,
• ${}^{x}a=a^{\left({}^{(x-1)}a\right)}$ minden $x>-1$-re.

Ezekhez még egy követelményt hozzá szoktak tenni:

• ${}^{x}a$ mindkét változójában folytonos, ha $x>0$
• ${}^{x}a$ differenciálható x-ben egyszer, kétszer, vagy végtelenszer
• ${}^{x}a$ reguláris, és

$(\frac{d^2}{d{x}^2}f(x)>0)$ minden $x>0$-ra.

A negyedik követelmény megközelítésenként változik. A két fő megközelítés egyik a regularitást követeli meg, a másik a differenciálhatóságot. A két megközelítés annyira különböző módszereket használ, hogy azt sem tudjuk, hogy az eredmények megegyeznek-e.

Ha valahogy definiáljuk az ${}^{x}a$ függvényt egy 1 hosszúságú intervallumon, akkor a rekurzív összefüggés szerint minden $x>-2$ számra definiálva lesz.

Lineáris approximáció

${}^{x}e$ lineáris approximációval

Az alábbi approximáció megfelel a folytonossági követelménynek, és approximál egy differenciálható megoldást:

${}^{x}a\approx \{\begin{array}{cc}{\log }_a{(}^{x+1}a)& x\le -1\\ 1+x& -1<x\le 0\\ a^{\left({}^{x-1}a\right)}& 0<x\end{array}$

így:

Approximáció	Tartomány
${}^{x}a\approx x+1$	$-1<x<0$
${}^{x}a\approx a^x$	$0<x<1$
${}^{x}a\approx a^{a^{(x-1)}}$	$1<x<2$

és így tovább. Megjegyzendő, hogy csak szakasznonként differenciálható, mivel x egész értékeinél a derivált megszorzódik $\ln a$-val.

Példák

$\begin{array}{cc}{}^{\frac{1}{2}\pi }e& \approx 5.868...,\\ {}^{-4.3}0.5& \approx 4.03335...\end{array}$

Hooshmand cikkének fő tétele: legyen $0<a\ne 1$; ha $f:(-2,+\mathrm{\infty })\to ℝ$ folytonos, és megfelel ezeknek a feltételeknek:

• $f(x)=a^{f(x-1)}\text{for all}x>-1,f(0)=1$,
• $f$ differenciálható $(-1,0)$-ban,
• $f^{\prime }$ nemcsökkenő vagy nemnövekvő $(-1,0)$-ban,
• $f^{\prime }(0^{+})=(\ln a)f^{\prime }(0^{-})\text{ vagy }{f}^{\prime }(-1^{+})=f^{\prime }(0^{-})$.

akkor $f$-re teljesül, hogy:

$f(x)={\exp }_a^{[x]}(a^x)={\exp }_a^{[x+1]}(x)\text{ minden }x>-2\text{-re }$,

ahol $(x)=x-[x]$ x törtrésze, és ${\exp }_a^{[x]}$ az ${\exp }_a$ $[x]$-iteráltja.

A bizonyítás azon alapul, hogy a 2.-4. feltételekből következik, hogy a függvény lineáris a [−1, 0] zárt intervallumon.

Az ${}^{x}e$ természetes alapú tetráció lineáris approximációja folytonosan differenciálható, de második deriváltja nem létezik az egész helyeken. Hooshmand bizonyított egy másik egyértelműségi tételt is, ami kimondja, hogy:

Ha $f:(-2,+\mathrm{\infty })\to ℝ$ folytonos függvény, ami teljesíti, hogy:

• $f(x)=e^{f(x-1)}\text{ minden }x>-1\text{-re}f(0)=1,$
• $f$ konvex $(-1,0)\text{-ben},$
• $f^{\prime }(0^{-})\le f^{\prime }(0^{+}).$

akkor $f=\text{uxp}$, ahol $f=\text{uxp}$ Hooshmand jelölése a természetes alapú tetrációfüggvény lineáris közelítésére.

Ez a tétel az előbbihez hasonlóan bizonyítható; a rekurzió biztosítja, hogy $f^{\prime }(-1^{+})=f^{\prime }(0^{+}),$ és a konvexség miatt $f$ lineáris (−1, 0)-n.

Így a természetes alapú tetráció lineáris approximációja az $f(x)=e^{f(x-1)}(x>-1)$ egyértelmű megoldása, és $f(0)=1$, ami konvex $(-1,+\mathrm{\infty })$-ben. Az összes többi differenciálható megoldásnak inflexiós pontja van (−1, 0)-ban.

Magasabb rendű approximációk

Egy kvadratikus approximáció:

${}^{x}a\approx \{\begin{array}{cc}{\log }_a({}^{x+1}a)& x\le -1\\ 1+\frac{2\ln (a)}{1+\ln (a)}x-\frac{1-\ln (a)}{1+\ln (a)}{x}^2& -1<x\le 0\\ a^{\left({}^{x-1}a\right)}& 0<x\end{array}$

ami differenciálható x-ben minden $x>0$-ra, de csak egyszer. Ha $a=e$, akkor ez megegyezik a lineáris approximációval.

Mivel a toronyhatvány fentről lefelé számítandó ki, ezért nem teljesül a hatványozáshoz hasonló összefüggés:

${}^n({}^{1/n}a)=\underset{n}{\underbrace{({}^{1/n}a{)}^{({}^{1/n}a{)}^{{\cdot }^{{\cdot }^{{\cdot }^{({}^{1/n}a)}}}}}}}\ne a$.

Egy köbös approximációt és további approximációs eljárásokat találni ebben a hivatkozásban:

Komplex számok tetrációja

Tetráció megjelenítése periódus alapján

Tetráció megjelenítése szökés alapján

Mivel a komplex számokat is lehet hatványozni, a tetráció alkalmazható a $a+bi$ formájú számokra, ahol $i$   ‒1 négyzetgyöke. Például ha $n=i$, akkor $n\uparrow \uparrow k$ esetén a tetrációt úgy érjük el, ha alkalmazzuk a természetes logaritmussal való felírást és észrevesszük a kapcsolatot:

$i^{a+bi}=e^{\frac{i\pi }{2}(a+bi)}=e^{-\frac{b\pi }{2}}(\cos \frac{a\pi }{2}+i\sin \frac{a\pi }{2})$

Ebből rekurzívan definiálhatjuk $i\uparrow \uparrow (k+1)=a^{\prime }+b^{\prime }i$ -t, bármilyen $i\uparrow \uparrow k=a+bi$ esetén:

$a^{\prime }=e^{-\frac{b\pi }{2}}\cos \frac{a\pi }{2}$

$b^{\prime }=e^{-\frac{b\pi }{2}}\sin \frac{a\pi }{2}$

Innen kaphatjuk a következő közelítő értékeket, ahol $i\uparrow n$ a rendes hatványozás (tehát $i^n$).

• $i\uparrow \uparrow 1=i$
• $i\uparrow \uparrow 2=i\uparrow (i\uparrow \uparrow 1)\approx 0,2079$
• $i\uparrow \uparrow 3=i\uparrow (i\uparrow \uparrow 2)\approx 0,9472+0,3208i$
• $i\uparrow \uparrow 4=i\uparrow (i\uparrow \uparrow 3)\approx 0,0501+0,6021i$
• $i\uparrow \uparrow 5=i\uparrow (i\uparrow \uparrow 4)\approx 0,3872+0,0305i$
• $i\uparrow \uparrow 6=i\uparrow (i\uparrow \uparrow 5)\approx 0,7823+0,5446i$
• $i\uparrow \uparrow 7=i\uparrow (i\uparrow \uparrow 6)\approx 0,1426+0,4005i$
• $i\uparrow \uparrow 8=i\uparrow (i\uparrow \uparrow 7)\approx 0,5198+0,1184i$
• $i\uparrow \uparrow 9=i\uparrow (i\uparrow \uparrow 8)\approx 0,5686+0,6051i$

A kapcsolat megfejtésével a várt $i\uparrow \uparrow 0=1$ -t és $i\uparrow \uparrow -1=0$ -t kapjuk, végtelen eredménnyel a képzetes tengelyen. A komplex számsíkon ábrázolva a sorozat spirálisan tart a $0,4383+0,3606i$ határértékhez, amit úgy értelmezhetünk, mint azt a helyet, ahol $k$ végtelen.

Az ilyen tetrációs sorozatokat már Euler ideje óta tanulmányozzák, de kaotikus viselkedésük miatt nehezen érthetők. A legtöbb publikált kutatás a hatványtorony-függvény konvergensségével foglalkozik. A mai kutatás nagy segítségei a gyors számítógépek fraktál- és matematikai szoftverei. A tetrációról való tudásunk nagy része a komplex dinamika általános eredményeiből és az exponenciális leképezés kutatásából származik.

Komplex kitevők

Az $f=F(x+\mathrm{i}y)$ analitikus tetráció to a komplex számsíkon. Vastagított vonalakkal kiemelve az $|f|=1,e^{\pm 1},e^{\pm 2},\dots$ és az $\arg (f)=0,\pm 1,\pm 2,\dots$ szintek

Egy sejtés szerint az Sablon:Nowrap egyenletnek van egy egyértelmű F függvény megoldása, amire még az is teljesül, hogy F(0)=1, és F(z) megközelíti a logaritmus fixpontjait, ha helye tart ±i∞-hez, és F holomorf a teljes komplex síkon, kivéve a z≤−2 félegyenest. Ennek a függvénynek dupla pontosságú komplex (double precision) közelítése elérhető online. A valós tengelyen szingularitásai vannak a $z=-2,-3,-4,\dots$ pontokban.

A holomorfia kikötése biztosítja az egyértelműséget, mivel sok $S$ függvény konstruálható, amire:

$S(z)=F(z+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\sin (2\pi nz){\alpha }_n+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(1-\cos (2\pi nz)\left){\beta }_n\right)$

ahol az $\alpha$ és $\beta$ valós sorozatok elég gyorsan csökkennek ahhoz, hogy biztosítsák a konvergenciát legalább $\mathrm{\Im }(z)$ kis értékeire.

Ez az $S$ függvény a tetrációhoz hasonlóan viselkedik: Sablon:Nowrap, S(0)=1, és jól választott $\alpha$ és $\beta$ valós sorozatok esetén analitikus lesz a valós tengely pozitív félegyenesének környezetében. Azonban, ha {α} vagy {β} nem az azonosan nulla sorozat, az $S$ függvénynek még több szingularitása és szakadási egyenese keletkezik, mivel a szinusz- és a koszinuszfüggvény abszolút értéke exponenciálisan nő a valós tengelytől távolodva. Minél kisebbek az {α} és a {β} együtthatók, annál távolabb lesznek ezek a szingularitások a valós tengelytől. A valós analitikus tetráció nem egyértelmű, ezért kell a komplex síkra kiterjeszteni.

Nyitott kérdések

• $0^{}\pi$ és $0^{}e$ is 1, tehát $n=0$ a megoldás.
• Jelenleg (2016) még az sem ismert, hogy ⁿq lehet-e egész bizonyos pozitív egész n-re és alkalmasan választott q pozitív nem egész racionális számra. Még azt sem tudjuk, hogy ⁴x = 2 -ben az x pozitív szuperlogaritmus racionális szám-e.

Inverz

Mivel a tetráció művelete nem kommutatív, ezért két inverz művelete van. Az alap keresésére a szupergyök- vagy hipergyökfüggvény szolgál, a kitevőt szuper- vagy hiperlogaritmus adja meg.

Szupergyök

A szupergyök ismert kitevő esetén az alapot keresi, azaz ha $n^{}y=x$, akkor y az x egy n-edik szupergyöke.

Példák:

$4^{}2=2^{2^{2^2}}=65536$

vagyis 65 536 negyedik szupergyöke 2, és

$3^{}3=3^{3^3}=7625597484987$

így 3 a 7 625 597 484 987 harmadik szupergyöke, vagy szuperköbgyöke.

Szupernégyzetgyök

Az y = ${\sqrt{x}}_s$ szupernégyzetgyök grafikonja

A második szupergyök, négyzetszupergyök, vagy szupernégyzetgyök jelölései $\mathrm{ssrt}(x)$ és ${\sqrt{x}}_s$. Az ${}^{2}x=x^x$ inverze, és reprezentálható a Lambert-féle W-függvénnyel:

$\mathrm{ssrt}(x)=e^{W(\ln (x))}=\frac{\ln (x)}{W(\ln (x))}$

A szupernégyzetgyökben a gyökvonás és a logaritmus szerepe szimmetrikus; a következő egyenlet csak akkor igaz, ha $y=\mathrm{ssrt}(x)$:

$\sqrt[y]{x}={\log }_{y}x$

A négyzetgyökhöz hasonlóan a szupernégyzetgyök sem egyértelmű. Meghatározása nem olyan egyszerű, mint a négyzetgyöké. Általában, ha $e^{-1/e}<x<1$, akkor x-nek két szupernégyzetgyöke van 0 és 1 között; ha $x>1$, akkor szupernégyzetgyöke egyértelmű, és szintén nagyobb egynél. Hogyha pedig $e^{-1/e}$, akkor nincs valós hipernégyzetgyöke, de a fenti képlet megszámlálható végtelen szupernégyzetgyököt ad, ha x különbözik 1-től. A függvényt használták adatklaszterek méretének kiszámítására.

Más szupergyökök

Az Sablon:Nowrap egészekre ⁿx értelmes és növekvő függvény minden Sablon:Nowrap-re, Sablon:Nowrap, így x-nek létezik ${\sqrt[n]{x}}_s$ n-edik szupergyöke.

Azonban a fenti lineáris approximáció szerint ${}^{y}x=y+1$, ha Sablon:Nowrap, így ebben a tartományban az ${}^y{\sqrt{y+1}}_s$ megoldhatatlan.

A szuperköbgyök az $x=y^{y^y}$ kifejezésben keresi az y-t. Jelölése: ${\sqrt[3]{x}}_s$. A negyedik szupergyök ${\sqrt[4]{x}}_s$, és általában, az n-edik szupergyök ${\sqrt[n]{x}}_s$. Ahogy a szupernégyzetgyöknél láttuk, ez nem biztos, hogy egyértelmű. Például, ha n páratlan, akkor egy, ha n páros, akkor két valós szupergyök lehet.

Mivel bizonyos számok esetén a végtelen hatványtornyoknak is véges értéket lehet tulajdonítani, ezért a megfelelő 1/e ≤ x ≤ e értékek esetén végtelenedik szupergyök is kereshető. Jegyezzük meg, hogy $x={}^{\mathrm{\infty }}y$-ból következik, hogy $x=y^x$, így $y=x^{1/x}$. Emiatt, ha létezik, akkor ${\sqrt[\mathrm{\infty }]{x}}_s=x^{1/x}$, így ez elemi függvény. Például ${\sqrt[\mathrm{\infty }]{2}}_s=2^{1/2}=\sqrt{2}$.

A Gelfond–Schneider-tételből adódik, hogy egy pozitív egész szupernégyzetgyöke vagy egész, vagy transzcendens, és szuperköbgyöke vagy egész, vagy irracionális. Nyitott kérdés azonban, hogy az irracionális transzcendensek-e utóbbi esetben.

Szuperlogaritmus

A ${\mathrm{slog}}_a$ minden valós számra, így a negatívakra is értelmezett, ahol a > 1.

A ${\mathrm{slog}}_a$ függvény eleget tesz a következőknek:

${\mathrm{slog}}_a{a}^b=1+{\mathrm{slog}}_{a}b$

${\mathrm{slog}}_{a}b=1+{\mathrm{slog}}_a{\log }_{a}b$

${\mathrm{slog}}_{a}b>-2$

Példák:

• ${\mathrm{slog}}_{10}-3=-1+{\mathrm{slog}}_{10}0.001=-1+-0.999=-1.999$
• ${\mathrm{slog}}_{10}3={\log }_{10}3=.477$
• ${\mathrm{slog}}_{10}10^{6\times 10^{23}}=1+{\mathrm{slog}}_{10}6\times 10^{23}=2+{\mathrm{slog}}_{10}23.778=3+{\mathrm{slog}}_{10}1.376=3+{\log }_{10}1.376=3.139$

Végtelen hatványtornyok

A $\left|\frac{\mathrm{W}(-\ln z)}{-\ln z}\right|$ függvény a komplex síkon, a végtelen valós hatványtornyok értéke feketével kiemelve

A ${\sqrt{2}}^{{\sqrt{2}}^{{\sqrt{2}}^{{\sqrt{2}}^{{\sqrt{2}}^{{\sqrt{2}}^{...}}}}}}$ sor a 2-höz tart, így egyenlőnek tekinthetjük azzal. A 2-höz tartás úgy látható be, ha kiértékelünk egy véges tornyot:

${\sqrt{2}}^{{\sqrt{2}}^{{\sqrt{2}}^{{\sqrt{2}}^{{\sqrt{2}}^{1.41}}}}}={\sqrt{2}}^{{\sqrt{2}}^{{\sqrt{2}}^{{\sqrt{2}}^{1.63}}}}={\sqrt{2}}^{{\sqrt{2}}^{{\sqrt{2}}^{1.76}}}={\sqrt{2}}^{{\sqrt{2}}^{1.84}}={\sqrt{2}}^{1.89}=1.93$

Általában az $x^{x^{x^{...}}}$ végtelen hatványtorony $e^{-e}<x<e^{1/e}$ esetén konvergens. Tetszőleges valós $r$ -re, ha $0<r<e$, legyen $x=r^{1/r}$; ekkor a határérték $r$. Ha $x>e^{1/e}$, akkor nincs konvergencia ($r^{1/r}$ maximuma $e^{1/e}$).

Ezt komplex számokra is kiterjeszthetjük a következő definícióval:

$z^{z^{z^{...}}}=-\frac{\mathrm{W}(-\ln z)}{\ln z}$

ahol $\mathrm{W}(z)$ Lambert W-függvényét jelöli.

Kapcsolódó szócikkek

• Ackermann-függvény

Hivatkozások

• Daniel Geisler, Tetration.net
• Daniel Geisler, Tetration.org
• Ioannis Galidakis, On extending hyper4 to nonintegers (dátum nélkül, 2006-os vagy régebbi) (A következő írás egyszerűbb, érthetőbb összefoglalása)
• Ioannis Galidakis, On Extending hyper4 and Knuth's Up-arrow Notation to the Reals (dátum nélkül, 2006-os vagy régebbi)
• Robert Munafo, Extension of the hyper4 function to reals (Kötetlen hangvételű cikk a tetráció kiterjesztéséről a valós számokra)
• Lode Vandevenne, Tetration of the Square Root of Two, (2004). (Kísérlet a valós számokra való kiterjesztésre)
• Ioannis Galidakis, Mathematics, (Hivatkozások a tetráció kutatására, sok információval a W függvényről, Riemann-felszínről és analitikai eredményekről.)
• Galidakis, Ioannis and Weisstein, Eric W. Power Tower
• Joseph MacDonell, Some Critical Points of the Hyperpower Function Sablon:Wayback.
• Dave L. Renfro, Web pages for infinitely iterated exponentials (A sci.math-on feltett kérdések tárgyalása)
• Andrew Robbins, Home of Tetration (Egy végtelen pontosságú kiterjesztés a valós számokra)
• R. Knobel "Exponentials Reiterated." Amer. Math. Monthly 88, (1981), p. 235-252.
• Hans Maurer "Über die Funktion $y=x^{[x^{[x(\cdots )]}]}$ für ganzzahliges Argument (Abundanzen)." Mittheilungen der Mathematische Gesellschaft in Hamburg 4, (1901), p. 33-50.
• Reuben Louis Goodstein "Transfinite ordinals in recursive number theory." Journal of Symbolic Logic 12, (1947).

Fordítás

• Sablon:Fordítás