Bohr-sugár

Az atomfizikában a Bohr-sugár (jelölése gyakran $a_0$, vagy $r_{Bohr}$) egy fizikai állandó, mely közelítőleg egy alapállapotú hidrogénatom atommagjának és elektronjának legvalószínűbb távolságával egyenlő. Értéke: 5,2917721067(12) × 10⁻¹¹ m.

Az állandót Niels Bohr dán fizikusról, a Bohr-atommodell megalkotójáról nevezték el.

Definíciója

A Bohr-sugár SI egységekkel kifejezve:

$a_0=\frac{4\pi {\epsilon }_0{\hslash }^2}{m_{\mathrm{e}}{e}^2}=\frac{\hslash }{m_{\mathrm{e}}c\alpha }$,

ahol

$a_0$ a Bohr-sugár,

${\epsilon }_0$ a vákuum dielektromos állandója,

$\hslash$ a redukált Planck-állandó,

$m_{\mathrm{e}}$ az elektron nyugalmi tömege,

$e$ az elemi töltés,

$c$ a vákuumbeli fénysebesség,

$\alpha$ pedig a finomszerkezeti állandó.

Alkalmazása

Sablon:Bővebben A Bohr-modell feltételezése szerint az elektron az atommag körül adott energiaszintű pályákon tartózkodhat. Egy energiaszinthez megadható, hogy ebben tartózkodva milyen az elektron és az atommag közötti legvalószínűbb távolság. A legegyszerűbb atomban, a hidrogénben, mely egyetlen elektron és egyetlen proton kötött rendszere, a legalacsonyabb betölthető energiaszinthez tartozó ilyen legvalószínűbb elektron-proton távolság maga a Bohr-sugár. A modell értelmében a pályák különböző lehetséges sugarai:

$r_n=a_0\cdot n^2=\frac{\hslash n^2}{m_{\mathrm{e}}c\alpha }$,

azaz a magasabb energiaszintek elektron-proton távolsága a Bohr-sugár és az $n$ főkvantumszám négyzetének szorzata.

Fontos megjegyezni, hogy a Bohr-sugár az elektron proton körüli radiális valószínűségi sűrűségfüggvényének legnagyobb valószínűségű távolságát adja meg, mely azonban nem esik egybe az eloszlás várható értékével. A sűrűségfüggvény hosszú térbeli lecsengése miatt a várható proton-elektron távolság egy alapállapotú hidrogénatomban mintegy másfélszerese a Bohr-sugárnak.

Redukált Bohr-sugár

Mivel a Bohr-sugár megadásakor az elektron $m_e$ nyugalmi tömegével számoltak, nem pedig a kéttestproblémában megadható redukált tömeggel, (azaz a magot álló helyzetűnek feltételezték) a klasszikus Bohr-sugár nem egészen pontosan adja meg a hidrogénatom alapállapoti elektron-proton távolságát: a mérésekhez képest ~0,1%-ot téved. A redukált Bohr-sugár definíciójában a redukált tömeget veszik figyelembe, mely pontosabban illeszkedik a tapasztalatokhoz.

A redukált Bohr-sugár a következőképpen adható meg:

$a_0^{*}=\frac{{\lambda }_{\mathrm{p}}+{\lambda }_{\mathrm{e}}}{2\pi \alpha },$

ahol ${\lambda }_p$ a proton, ${\lambda }_e$ pedig az elektron Compton-hullámhossza, $\alpha \approx \frac{1}{137}$ pedig a finomszerkezeti állandó.

Források

Szakkönyvek

• Sablon:Cite book
• Sablon:CitLib

Ismeretterjesztő weblapok

• Sablon:Cite web

Kapcsolódó szócikkek

• Atomfizika
• Szilárdtestfizika
• Bohr-féle atommodell
• Wigner–Seitz-sugár