Redukált tömeg

A fizikában a redukált tömeg egy úgynevezett „hatékonyabb” tömeg a newtoni mechanika kéttest-problémáinak megoldására. Ez egy olyan mennyiség, ami által a kéttest-problémát úgy tárgyalhatjuk, mintha egytest-probléma lenne.

Zárt rendszerben lejátszódó mechanikai jelenségek tárgyalásánál az általunk kiválasztott anyagi pont viszonylagos mozgását leírhatjuk egy $\mu$ tömegű anyagi pontnak a kölcsönhatási erő hatására létrejövő mozgásával.

A redukált tömeget általában $\mu$-vel jelöljük, tömeg dimenziója van, mértékegysége SI-ben kg.

Egyenlet

Ha a két tömeg $m_1$, illetve $m_2$, akkor az általunk kiválasztott tömeget helyettesítjük :$\mu =\frac{m_1{m}_2}{m_1+m_2}$-vel, a rá ható erő pedig a két test között fellépő kölcsönhatási erő lesz.

Levezetés

A két tömeg és a rájuk ható kölcsönhatási erők

Vizsgáljuk az $m_1$, illetve az $m_2$ anyagi pontok mozgását az ${𝐅}_{12}$ ($m_1$ részéről $m_2$-re ható kölcsönhatási erő) és ${𝐅}_{21}$ ($m_2$ részéről $m_1$-re ható kölcsönhatási erő) hatására.

Az anyagi pontok mozgásegyenletei:

$\frac{d{𝐯}_1}{dt}=\frac{{𝐅}_{12}}{m_1}$ illetve $\frac{d{𝐯}_2}{dt}=\frac{{𝐅}_{21}}{m_2}$

ezeket egymásból kivonjuk:

$\frac{d{𝐯}_1}{dt}-\frac{d{𝐯}_2}{dt}=\frac{d({𝐯}_1-{𝐯}_2)}{dt}=\frac{{𝐅}_{12}}{m_1}-\frac{{𝐅}_{21}}{m_2}$

A $({𝐯}_1-{𝐯}_2)={𝐯}_{12}$ az $m_1$ relatív sebessége az $m_2$-höz képest. Továbbá mivel ${𝐅}_{21}=-{𝐅}_{12}$ (a kölcsönhatási erők ellentétes irányításúak), tovább rendezhetjük az egyenletet:

$\frac{d}{dt}{𝐯}_{12}=(\frac{1}{m_1}+\frac{1}{m_2}){𝐅}_{12}$

A $d{𝐯}_{12}/dt$ az $m_1$ tömegű anyagi pont ${𝐚}_{12}$ relatív gyorsulása. Bevezetve a

$\mu =\frac{m_1{m}_2}{m_1+m_2}$

jelölést, ahol $\mu$ tömeg dimenziójú mennyiség, és az egyenletbe helyettesítve következik:

${𝐚}_{12}=\frac{{𝐅}_{12}}{\mu }$.

Ez az összefüggés kimutatja, hogy két kölcsönhatásban lévő anyagi pont viszonylagos mozgása megfelel egy $\mu$ tömegű anyagi pontnak a kölcsönhatási erő hatására létrejövő mozgásával. Ezért nevezzük a $\mu$ mennyiséget redukált tömegnek.

Források

Filep Emőd és Néda Árpád: Mechanika. Egyetemi jegyzet. 110. oldal.