Bohr-féle atommodell

A Bohr-féle atommodell Niels Bohr Nobel-díjas dán fizikus által 1913-ban közzétett modell az atom felépítéséről.

A vonalas színképek értelmezésére és az atomok stabilitásának magyarázatára a korábban Ernest Rutherford által kifejlesztett atommodell nem volt alkalmas. Bohr ezt az elképzelést a Planck-féle kvantumfeltétellel és az Einstein-féle fotonhipotézissel egészítette ki.

A klasszikus fizikát alapfeltevésekkel, posztulátumokkal kiegészített modell elméletileg nem volt levezethető a klasszikus fizika alapján, de sikeresen magyarázta a Rydberg-formulát és a hidrogén színképét. Nem lehet vele értelmezni bonyolultabb atomok vonalas színképét, vagy akár kísérletileg megfigyelhető finomabb részleteket sem, erre csak az atom kvantumfizikai leírása alkalmas. A Bohr-modell azonban az atom felépítésének egy nagyon szemléletes leírása és az ott bevezetésre kerülő fogalmak (pl. pálya, stacionárius állapot) a kvantumfizikai modellben is használatosak.

A modell alapfeltevései

Az elektronok stacionárius körpályái az atommag körül a Bohr-féle atommodell szerint

A Rutherford-féle atommodellben a negatív töltésű elektronok a pozitívan töltött atommag körüli körpályán keringenek. A klasszikus fizika törvényei szerint a centripetális erőt a pozitív és negatív töltés közötti vonzó erő, a Coulomb-erő szolgáltatja. A Bohr-féle atommodell posztulátumai ezen túlmenően:

I. Az elektronok csak bizonyos megengedett sugarú körpályákon keringhetnek. Ezeken a pályákon az elektronok nem sugároznak, energiájuk állandó, ezért a pályák állandósult, ún. stacionárius pályák.

II. A stacionárius állapotok között átmenetek jöhetnek létre. Ekkor az elektron egyik stacionárius pályáról egy másikra kerül, miközben a két pálya közötti energiakülönbségnek megfelelő energiájú fotont az atom kibocsátja, vagy elnyeli. Az atom által emittált, vagy abszorbeált foton $f$ frekvenciáját az energiafeltétel határozza meg:

$\mathrm{\Delta }E=E_2-E_1=h\cdot f$.

III. A stacionárius pályák sugarát az elektron pályaperdületének (impulzusmomentumának) a kvantálási szabálya határozza meg. Eszerint az atommag körül $r$ sugarú pályán $v$ sebességgel keringő $m_e$ tömegű elektron $L$ impulzusmomentuma a legkisebb $\hslash$ perdület egész számú többszöröse kell legyen:

$L=m_e\cdot r\cdot v=n\cdot \frac{h}{2\pi }=n\cdot \hslash$,

ahol $n=1,2,3...$ kvantumszám, $h$ a Planck-állandó (hatáskvantum), $\hslash =\frac{h}{2\pi }$ pedig a redukált Planck-állandó.

A III. posztulátumban szereplő n értéket főkvantumszámnak nevezzük.

A hidrogén energiaszintjei

A Bohr-modell az atom energiaszintjeire jó eredményeket csak az egy elektronnal rendelkező rendszerek esetében ad, ilyenek a hidrogén vagy az ionizált hélium.

A modell abból indul ki, hogy az $m_e$ tömegű, $e$ elemi töltésű elektront $r$ sugarú körpályán $v$ sebességgel mozgató centripetális erő egyenlő a $Z$ számú proton és az egy elektron közötti Coulomb-erővel:

$\frac{m_e{v}^2}{r}=k\cdot \frac{Z\cdot e^2}{r^2}$

ahol $k$ a Coulomb-állandó, és $k=\frac{1}{4\pi {ϵ}_0}$, ahol ${ϵ}_0$ a vákuum permittivitása.

A harmadik posztulátum szerint pedig az elektron mozgásához tartozó impulzusmomentum:

$m_e\cdot r\cdot v=n\cdot \hslash$

A két egyenletből kifejezhető az $n$ kvantumszámhoz tartozó sugár és sebesség:

$r_n=\frac{4\pi {ϵ}_0\cdot {\hslash }^2}{m_e\cdot Z\cdot e^2}\cdot n^2=\frac{a_0}{Z}\cdot n^2$

$v_n=\frac{Z\cdot e^2}{4\pi {ϵ}_0\cdot {\hslash }^2}\cdot \frac{1}{n}$.

Az $a_0=\frac{4\pi {ϵ}_0\cdot {\hslash }^2}{m_e\cdot e^2}$ az $n=1$ kvantumszámhoz tartozó legkisebb energiájú körpálya sugara, az ún. Bohr-sugár. Értéke: $a_0=52,9177\text{pm}$.

A nyugvónak tekinthető atommag körül keringő elektron teljes energiája az elektrosztatikus vonzáshoz tartozó potenciális energia és a mozgási (kinetikai) energia összege:

$E=E_{pot}+E_{kin}=-\frac{1}{4\pi {ϵ}_0}\cdot \frac{Z{e}^2}{r_n}+\frac{1}{2}{m}_e{v_n}^2$

A sebesség fenti kifejezését behelyettesítve belátható, hogy a potenciális energia abszolút értéke kétszer annyi, mint a mozgási energia:

$E_{kin}=\frac{1}{2}{m}_e{v_n}^2=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{4\pi {ϵ}_0}\cdot \frac{Z{e}^2}{r_n}=\frac{1}{2}\cdot \left|E_{pot}\right|$

A teljes energia tehát negatív és fordítottan arányos a pálya sugarával:

$E=-\frac{1}{4\pi {ϵ}_0}\cdot \frac{Z{e}^2}{2r_n}$

A maghoz közelebbi pályákhoz tartozó energia negatívabb. Ha az elektron energiája nő, akkor távolodik a magtól. A pálya sugarát behelyettesítve, az $n$ kvantumszámhoz tartozó állapotban a teljes energia:

$E_n=-\frac{m_e\cdot Z^2{e}^4}{2{\hslash }^2(4\pi {ϵ}_0{)}^2}\cdot \frac{1}{n^2}$, ahol $n=1,2,3,...$

Az elektronpályákhoz tartozó diszkrét energiaértékek tehát egy sorozatot alkotnak, és az elemek $-\frac{1}{n^2}$-tel arányosak.

A fizikai állandók értékeit behelyettesítve:

$E_n=(-13,6\mathrm{e}\mathrm{V})\frac{1}{n^2}$

Ezek szerint a hidrogén legalacsonyabb energiaszintje −13,6 eV, a második −3,4 eV, a harmadik −1,5 eV és így tovább. Tehát, az alapállapotban lévő hidrogénatom ionizációs energiája 13,6 eV.

A Rydberg-formula származtatása a Bohr-modell alapján

Bohr-féle atommodell és a foton elnyelése és kibocsátása

A Johannes Rydberg svéd fizikus által 1888-ban megadott Rydberg-formula kísérleti megfigyelésekből származott. A formula a Bohr-modellből levezethető, és a Rydberg-állandóra is jó értéket ad.

A Bohr-modell szerint, ha az elektron egy magasabb energiaszintről egy alacsonyabbra kerül, az atom a két energiaszint közötti energiakülönbségnek megfelelő energiájú fotont bocsát ki. Az energiaszinteket leíró fenti összefüggés alapján a különbség:

$E=E_i-E_k=\frac{m_e{Z}^2{e}^4}{2{\hslash }^2(4\pi {ϵ}_0{)}^2}(\frac{1}{n_k^2}-\frac{1}{n_i^2})$

ahol $i$ jelöli a magasabb energiaszintet, $k$ pedig az alacsonyabbat.

A fotonhipotézis alapján a foton energiája:

$E=h\cdot f=h\cdot \frac{c}{\lambda }$,

ahol $f$ a foton frekvenciája, $c$ és $\lambda$ a fény sebessége és hullámhossza.

Tehát:

$\frac{m_e{Z}^2{e}^4}{2{\hslash }^2(4\pi {ϵ}_0{)}^2}(\frac{1}{n_k^2}-\frac{1}{n_i^2})=h\cdot \frac{c}{\lambda }$.

Miközben az elektron az $n_i$ kvantumszámú energiaszintről az $n_k$ szintre kerül az atom egy $\frac{1}{\lambda }$ hullámszámú fotont bocsát ki:

$\frac{1}{\lambda }=\frac{m_e{Z}^2{e}^4}{2{\hslash }^2(4\pi {ϵ}_0{)}^{2}ch}(\frac{1}{n_k^2}-\frac{1}{n_i^2})$.

Ez az ún. Rydberg-formula, amelyben az arányossági tényező a Rydberg-állandó: $R=\frac{m_e{Z}^2{e}^4}{2{\hslash }^2(4\pi {ϵ}_0{)}^{2}ch}$.

Kísérleti bizonyítása

A modell helytállóságának döntő bizonyítékává a Franck–Hertz-kísérlet vált. Kidolgozóit, James Franckot és Gustav Ludwig Hertzet 1925-ben fizikai Nobel-díjjal jutalmazták.

A Bohr-Sommerfeld modell

Bohr modelljét két év múlva, a színképvonalak finomszerkezetét figyelembe véve pontosította Arnold Sommerfeld. A pontosított modellben az elektronok immár ellipszis alakú pályákon is mozoghatnak.

További információk

• Edwin F. Taylor - John A. Wheeler: Téridőfizika. Typotex Kiadó, 2006. Sablon:ISBN
• Magyarított Flash szimuláció a hidrogén Bohr-modelljéről. Szerző: David M. Harrison