Bipoláris koordináta-rendszer

Bipoláris koordináta-rendszer. A σ-körök pirossal, a τ-körök kékkel ábrázolva. Fókuszok a $(-1;0)$ és az $(1;0)$ pontokban

A bipoláris koordináta-rendszer egy kétdimenziós ortogonális koordináta-rendszer, ami az Apollóniusz-körökön alapul. Megtévesztő lehet, hogy különböző szerzők más koordináta-rendszereket is bipolárisnak neveznek, mint a kétközepű bipoláris koordinátákat (ahol a két középpontól mért távolságok adják a koordinátákat), és a hasonló elven alapuló kétszögű koordinátákat.

A bipoláris szót használják olyan görbék leírására, melyeknek két fókuszpontjuk van, mint ellipszisek, hiperbolák és Cassini-oválisok. Azonban nem nevezik bipolárisnak az ezeken az alakzatokon alapuló koordináta-rendszereket, mint például az elliptikus koordinátákat.

Definíció

A bipoláris koordináták geometriai jelentése. A σ szöget a két fókusz és a P pont alkotja, míg τ a fókuszoktól mért távolságok arányának logaritmusa. A σ és τ konstansoknak megfelelő körök rendre pirossal, illetve kékkel ábrázolva, és derékszögben metszik egymást, amit magenta doboz jelöl

A rendszert két fókuszpont, F₁ és F₂ határozza meg. Egy P pont σ koordinátája megegyezik az F₁ P F₂ szöggel, míg a τ koordináta a fókuszoktól mért távolságok, d₁ és d₂ arányának természetes logaritmusa:

$\tau =\ln \frac{d_1}{d_2}.$

Ha felveszünk egy Descartes-féle koordinátarendszert úgy, hogy a két fókusz koordinátái (−a, 0) és (a, 0) legyenek, akkor a P pont koordinátái:

$x=a\frac{\mathrm{sh}\tau }{\mathrm{ch}\tau -\cos \sigma },y=a\frac{\sin \sigma }{\mathrm{ch}\tau -\cos \sigma }.$

τ értéke bármely valós szám lehet, míg a σ koordináta csak 2π periódus erejéig meghatározott, és többnyire -π és π között definiálják. Negatív értéket akkor vesz fel, ha a P pont az alsó félsíkon, tehát az F₁F₂ egyenes alatt van.

Koordinátavonalak

A konstans σ-nak megfelelő görbék nem koncentrikus körök:

$x^2+{(y-a\mathrm{ctg}\sigma )}^2=\frac{a^2}{{\sin }^2\sigma }$

amelyek a fókuszokban metszik egymást. A konstans σ-jú körök középpontjai az y-tengelyre esnek. A pozitív σ-jú körök középpontja az x-tengely fölött található, míg a negatív σ-hoz tartozó körök középpontjai az x-tengely alá esnek. A |σ|- π/2 mennyiség csökkenésével a körök zsugorodnak, középpontjuk pedig a (0, 0) origóhoz közelít; melyet akkor ér el, ha |σ| = π/2. A Thalész-tétel szerint, ha egy háromszög két csúcsa átellenes egy körön, és a harmadik csúcsa is a körön helyezkedik el, akkor a háromszög derékszög.

A konstans τ-jú görbék különböző sugarú, egymást nem metsző körök:

$y^2+{(x-a\mathrm{cth}\tau )}^2=\frac{a^2}{{\mathrm{sh}}^2\tau }$

melyek körülveszik a fókuszokat, de szintén nem koncentrikusak. A konstans τ-jú körök középpontjai az x-tengelyen fekszenek. A pozitív τ-hoz tartozó körök a jobb félsíkban (x > 0), míg a negatív τ-jú körök a bal félsíkon (x < 0) találhatók. A τ = 0 egyenes az y-tengely (x = 0). Ahogy τ nő, úgy a körök egyre kisebbek, és középpontjaik megközelítik a fókuszokat.

Kapcsolat a Descartes-koordinátákkal

σ értékének változása 0,5-től (lila) π/2 (piros)-ig. Fókuszok a $(-1;0)$ és az $(1;0)$ pontokban

τ értékének változása 0,5-től (lila) 2 (piros)-ig. Fókuszok a $(-1;0)$ és az $(1;0)$ pontokban

Descartes-koordinátákról így lehet bipoláris koordinátákra áttérni:

$\tau =\frac{1}{2}\ln \frac{(x+a{)}^2+y^2}{(x-a{)}^2+y^2}$

és

$\pi -\sigma =2\mathrm{arctg}\frac{2ay}{a^2-x^2-y^2+\sqrt{(a^2-x^2-y^2{)}^2+4a^2{y}^2}}.$

A koordinátákra vonatkozó további azonosságok:

$\mathrm{th}\tau =\frac{2ax}{x^2+y^2+a^2}$

és

$\mathrm{tg}\sigma =\frac{2ay}{x^2+y^2-a^2}.$

ami megkapható az x = 0 határértékként a fenti definícióból.

Skálázási tényezők

A skálázási tényezők kiszámításához vesszük $x+iy$ egyenletének differenciálját:

$dx+idy=\frac{-ia}{{\sin }^2(\frac{1}{2}(\sigma +i\tau ))}(d\sigma +id\tau ).$

Ezt az egyenletet komplex konjugáltjával szorozva

$(dx{)}^2+(dy{)}^2=\frac{a^2}{[2\sin \frac{1}{2}(\sigma +i\tau )\sin \frac{1}{2}(\sigma -i\tau ){]}^2}((d\sigma {)}^2+(d\tau {)}^2).$

A szinuszokra és koszinuszok szorzatára vonatkozó azonosságok alkalmazásával

$2\sin \frac{1}{2}(\sigma +i\tau )\sin \frac{1}{2}(\sigma -i\tau )=\cos \sigma -\mathrm{ch}\tau ,$

ebből

$(dx{)}^2+(dy{)}^2=\frac{a^2}{(\mathrm{ch}\tau -\cos \sigma {)}^2}((d\sigma {)}^2+(d\tau {)}^2).$

Eszerint σ és τ skálázási tényezői megegyeznek, és:

$h_{\sigma }=h_{\tau }=\frac{a}{\mathrm{ch}\tau -\cos \sigma }.$

További eredmények kaphatók az ortogonális koordináta-rendszerek általános egyenletéből behelyettesítéssel. Az infinitezimális területelem:

$dA=\frac{a^2}{{(\mathrm{ch}\tau -\cos \sigma )}^2}d\sigma d\tau ,$

és a Laplace-operátor:

${\mathrm{\nabla }}^2\mathrm{\Phi }=\frac{1}{a^2}{(\mathrm{ch}\tau -\cos \sigma )}^2(\frac{{\partial }^2\mathrm{\Phi }}{\partial {\sigma }^2}+\frac{{\partial }^2\mathrm{\Phi }}{\partial {\tau }^2}).$

A további differenciáloperátorok, mint $\mathrm{\nabla }\cdot 𝐅$ és $\mathrm{\nabla }\times 𝐅$ kifejezhetők a $(\sigma ,\tau )$ koordinátákkal úgy, hogy behelyettesítjük a skálázási tényezőket az ortogonális koordináta-rendszerek általános képleteibe.

Az ortogonalitás bizonyítása

Az x és y koordináták egyenleteit kombinálva:

$x+iy=ai\mathrm{ctg}\left(\frac{\sigma +i\tau }{2}\right).$

Eszerint a σ és τ koordináták az x+iy analitikus függvény valós és képzetes része. A konform leképezések általános szerint és a Cauchy-Riemann-egyenletekből adódóan a σ és a τ koordinátagörbéi derékszögben metszik egymást.

Alkalmazások

A bipoláris koordináta-rendszer klasszikus alkalmazásai a parciális differenciálegyenletek megoldását segítik, például Laplace egyenletének vagy a Heimholtz-egyenlet, ahol is a bipoláris koordináták lehetővé teszik a változók szétválasztását. Egy példa a két, különböző átmérőjű hengeres elektromos vezető elektromos mezője.

A poláris nyomtatók bipoláris koordináta-rendszert használnak képek rajzolásához szükséges útvonalak kiszámításához.

Kiterjesztések három dimenzióra

A bipoláris koordináták többféleképpen is kiterjeszthetők három dimenzióra az ortogonális tulajdonság megőrzésével:

• bipoláris hengerkoordináta-rendszer, ahol a harmadik koordináta a z-tengely irányú eltolást jelöli
• biszférikus koordináta-rendszer, ami az x-tengely, tehát a fókuszokat összekötő tengely körüli forgatással keletkezik
• toroid koordináta-rendszer, ami az y-tengely, tehát a fókuszokat elválasztó tengely körüli forgatással keletkezik

Források

• "Bipolar coordinates", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• Korn GA and Korn TM. (1961) Mathematical Handbook for Scientists and Engineers, McGraw-Hill.