Apollóniusz-kör

Apollóniusz-körök. A piros körök látókörök, minden egy félsíkbeli pontjukból az AB azonos szögben látszik (a félsíkot AB egyenes határozza meg). A kék körök olyan pontokból állnak, amelyeknek A-tól és B-től mért távolságainak aránya megegyezik. Minden kék kör derékszögben metsz minden piros kört.

Az Apollóniusz-kör azoknak a pontoknak a mértani helye a síkban, amelyeknek két adott ponttól mért távolságainak aránya adott (1-től különböző) pozitív szám. Fontos szerepe van a bipoláris koordináta-rendszerekben. Felfedezője, Pergai Apollóniosz görög matematikus után nevezték el. Nem összekeverendő a szintén róla elnevezett Apollóniusz köreivel.

Definíció

Az A és B ponthoz és a $\lambda$ számhoz tartozó Apollóniusz-kör azon P pontok halmaza, amelyekre $\frac{PA}{PB}=\lambda$ (ha $\lambda =1$, akkor ez $AB$ felezőmerőlegese, ami tekinthető egy olyan körnek, aminek végtelen távol van a középpontja).

Annak bizonyítása, hogy a pontok kört alkotnak

• 1. lépés:

Legyen $P$ egy olyan pont, amely nincs rajta $AB$ egyenesén, és amelyre $\frac{PA}{PB}=\lambda$. Feltehetjük, hogy $PA>PB$ (ekkor $\lambda >1$). $PAB$ háromszögnek $P$-ből induló belső szögfelezője az $AB$ oldalt egy $C$ pontban metszi, külső szögfelezője pedig $\lambda >1$ miatt $AB$-nek $B$-ből induló meghosszabbítását metszi $D$-ben.

Segédtétel:

Ha egy háromszög egyik oldalának az egyenesét a szemközti csúcsból induló (belső vagy külső) szögfelezővel metsszük, akkor a metszéspontnak az oldal végpontjaitól mért távolságai úgy aránylanak egymáshoz, mint a szemközti csúcsból ehhez a végpontokhoz vezető oldalak.

Emiatt $C$ és $D$ a keresett mértani helyhez tartozik.

• 2. lépés:

Be kell látni, hogy a mértani helyek minden $P$ pontja ugyanezen a körön van, ehhez elég megmutatni, hogy az $AB$ egyenes pontjai közül csak $C$ és $D$ tartozik a mértani helyhez. A szögfelezők merőlegesek egymásra, ezért $P$ a $CD$ távolság Thalész-körén van. $\lambda >1$ miatt elég, hogy sem az $AB$ szakaszon, sem a $BD$ félegyenesen nincs más, a mértani helyhez tartozó pont. Ha $C$ az $AB$ távolságon $B$ felé mozog, akkor az $\frac{AC}{CB}$ arány nő. Ha $D$ a $BD$ félegyenesen $B$-ből kiindulva mozog, akkor a $\frac{AD}{DB}$ arány csökken, ugyanez a helyzet, ha $D$ távolodik $B$-től. Más szóval $C$ és $D$ helyzete egyértelműen meghatározott, vagyis a keresett mértani hely minden pontja a $CD$ szakasz Thalész-körén van.

• 3. lépés:

Be kell bizonyítani, hogy ennek a körnek minden pontja a mértani helyhez tartozik ($C,D$ pontokról tudjuk ezt). Legyen $P$ a körnek egy további pontja. Elég belátni, hogy $PC$ és $PD$ a $PAB$ háromszög szögfelezői, ekkor $\frac{PA}{PB}=\frac{CA}{CB}=\lambda$. Ehhez indirekt tegyük fel, hogy $PAB$ háromszög szögfelezői $P{C}^{*}$ és $P{D}^{*}$, ami nem azonos a $PC$ és $PD$ egyenesekkel. $C$ és $D$ választása miatt $\frac{AC}{CB}=\frac{AD}{DB}$ és $\frac{A{C}^{*}}{C^{*}B}=\frac{A{D}^{*}}{D^{*}B}$. 1) miatt ez csak úgy lehet, ha vagy $CD$ tartalmazza $C^{*}{D}^{*}$ távolságot, vagy fordítva. Ekkor viszont $CPD$ szög és $C^{*}P{D}^{*}$ szög közül az egyik tartalmazza a másikat. Ezzel ellentmondáshoz jutottunk, mivel mindkét szög derékszög (Thalész-tétel vagy a szögfelezők merőlegessége miatt). Tehát $PC,PD$ szögfelezők, ekkor $CD$ Thalész-körének minden pontja a mértani helyhez tartozik.

Tulajdonságai

• A λ arányhoz tartozó Apollóniusz-kör sugara $r_A=\frac{\lambda }{|{\lambda }^2-1|}\overline{AB}$.
• Ha egy Apollóniusz-körre vonatkozó inverzióban A és B egymásba megy át, akkor ebben az inverzióban az összes A-n és B-n átmenő kör önmagába megy át. Ezért minden ilyen kör merőlegesen metszi az összes Apollóniusz-kört.
• Tekintsük most a K Apollóniusz-kört annak egy tetszőleges X pontjával, és az AXB szög szögfelezői által a K körből kimetszett T₁ és T₂ pontokkal. Jelölje továbbá λ a K-hoz tartozó arányt. Ekkor a harmonikus elválasztás kölcsönössége miatt az AB szakaszon átmenő kör a T₁T₂ szakasz Apollóniusz-köre lesz.
• Az előző állítás jelöléseivel: a K kör éppen az a T₁-en és T₂-n átmenő kör, amire A és B inverz pontpárok.

Kapcsolat a projektív geometriával

A sík körei természetes módon megfeleltethetők a háromdimenziós projektív tér pontjainak. Ebben a megfeleltetésben a projektív egyenesek képei a körsorok. Speciálisan, az Apollóniusz-körök és a két ponton átmenő körök is egy-egy körsort alkotnak.

Például a (p,q) középpontú, r sugarú kör egyenlete:

$(x-p{)}^2+(y-q{)}^2=r^2,$

átírható az

$\alpha (x^2+y^2)-2\beta x-2\gamma y+\delta =0,$

alakba, ahol α = 1, β = p, γ = q, and δ = p² + q² − r². Ez a négy paraméter azonban csak egy skalár erejéig meghatározott, ugyanis ha végigszorozzuk őket egy nem nulla számmal, akkor ugyanazt a kört kapjuk. Így ezek az együtthatók a kör homogén koordinátáinak tekinthetők a körök háromdimenziós projektív terében. Ha α = 0, akkor a kör egyenessé fajul el. Ha α ≠ 0, akkor visszajutunk a kör egyenletéhez a p = β/α, q = γ/α, és az r =√((−δ − β ² − γ²)/α²) együtthatókkal. Itt előfordulhat, hogy a gyökjel alá egy nem pozitív szám kerül; ebben az esetben nullkört, vagy képzetes kört ír le az egyenlet.

Két kör, (α₁,β₁,γ₁,δ₁) és (α₂,β₂,γ₂,δ₂) affin kombinációja a :$z({\alpha }_1,{\beta }_1,{\gamma }_1,{\delta }_1)+(1-z)({\alpha }_2,{\beta }_2,{\gamma }_2,{\delta }_2)$ négyest adja, ahol z szabadon változhat. Ez a két kör által generált körsor. Háromféle körsort különböztetünk meg a körsor generátorainak közös pontjainak száma szerint: az elliptikust, a parabolikust és a hiperbolikust. Valójában a hiperbolikus körsor két pontkört és képzetes köröket is tartalmaz. A két pontkör a körsor Poncelet-pontjai. Az Apollóniusz-körök is ilyen körsort adnak. A koncentrikus körök hiperbolikus körsorának is két tartópontja van: a másik tartópont a végtelenben van. Az erre merőleges körök körsora a két tartópontot összekötő körök, valójában egyenesek körsora.

Inverzió és koordináta-rendszerek

Az inverziók a körsorokat körsorokba viszik, sőt a típusukat is megtartják, így elliptikus körsor képe elliptikus, parabolikus körsor képe parabolikus, hiperbolikus körsor képe hiperbolikus lesz.

Egy A közepű körre vonatkozó inverzió az Apollóniusz-köröket B középpontú koncentrikus körökbe viszi. Ugyanez az inverzió az A-n és a B-n átmenő köröket a B-n átmenő egyenesekbe transzformálja. Így az Apollóniusz-körök által meghatározott két pólusú koordináta-rendszer polár-koordinátarendszerbe megy át.

Általánosabban, minden körsorhoz van egy egyértelmű hozzá ortogonális körsor. Hiperbolikus körsor ortogonális körsora elliptikus, elliptikus körsor ortogonális körsora hiperbolikus, és parabolikus körsor ortogonális körsora parabolikus. A hiperbolikus körsor ortogonális körsora a Poncelet-pontjain átmenő körök alkotta körsor; elliptikus körsor ortogonális körsora a közös metszéspontok Apollóniusz-köreiből áll; parabolikus körsor ortogonális körsora a vele azonos érintési pontú, de merőleges tengelyű körsor.

Források

• http://www.herder-oberschule.de/madincea/aufg0009/harmonie.pdf