Toroid koordináta-rendszer

A toroid koordináta-rendszer illusztrációja, ami a bipoláris koordináta-rendszerből a fókuszokat elválasztó tengely körüli forgatásával származtatható. A fókuszok távolsága 1 a függőleges z-tengelytől. A piros gömb a σ = 30° koordinátának megfelelő koordinátafelület, a kék tórusz a τ = 0,5 koordinátafelület, a sárga félsík a φ = 60° koordinátafelület. A zöld félegyenes az a félegyenes, amitől a φ szög számítva van. A fekete pont a három felület közös metszéspontja, melynek descartes-koordinátái megközelítően (0,96; −1,725; 1,911)

A toroid koordináta-rendszer egy háromdimenziós koordináta-rendszer, ami a bipoláris koordináta-rendszerből a fókuszokat elválasztó tengely körüli forgatásával származtatható. Ezzel a két fókusz, $F_1$ és $F_2$ egy $a$ sugarú gyűrűvé alakul az $xy$ síkban, melyre merőleges a forgatás z tengelye.

Definíció

A $(\tau ,\sigma ,\varphi )$ toroid koordináták leggyakoribb definíciója:

$x=a\frac{\mathrm{sh}\tau }{\mathrm{ch}\tau -\cos \sigma }\cos \varphi$

$y=a\frac{\mathrm{sh}\tau }{\mathrm{ch}\tau -\cos \sigma }\sin \varphi$

$z=a\frac{\sin \sigma }{\mathrm{ch}\tau -\cos \sigma }$

és $\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{g}\mathrm{n}(\sigma )=\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{g}\mathrm{n}(z$). Egy $P$ pont $\sigma$ koordinátája megegyezik az $F_{1}P{F}_2$ szöggel, és a $\tau$ koordináta a fókuszgyűrű két oldalától mért $d_1$ és $d_2$ távolságok hányadosának természetes logaritmusával:

$\tau =\ln \frac{d_1}{d_2}.$

A koordináták nagysága: $-\pi <\sigma \le \pi$ és $\tau \ge 0$ és $0\le \varphi <2\pi .$

Inverz transzformáció

A fenti toroid koordináta-rendszer ebből a bipoláris koordináta-renfdszerből származtatható a függőleges tengely körüli forgatással. A függőleges tengelyen elhelyezkedő körökből lesz a fenti piros gömbök, míg a vízszintes tengely mentén elhelyezkedő kék körökből tóruszok lesznek

A $(\sigma ,\tau ,\varphi )$ koordináták a következőképpen számíthatók az (x, y, z) Descartes-koordintákból:

a $\varphi$ azimut:

$\mathrm{tg}\varphi =\frac{y}{x}$

a $\rho$ hengersugár:

${\rho }^2=x^2+y^2={\left(a\frac{\mathrm{sh}\tau }{\mathrm{ch}\tau -\cos \sigma }\right)}^2$

és a $\varphi$ által definiált síkban a távolságok:

$d_1^2=(\rho +a{)}^2+z^2$

$d_2^2=(\rho -a{)}^2+z^2$

A $\tau$ koordináta megegyezik a fókuszoktól mért távolságok hányadosának természetes logaritmusával:

$\tau =\ln \frac{d_1}{d_2}$

ahol $|\sigma |$ a fókuszoktól mért sugarak szögével, és a koszinusztétellel számítható:

$\cos \sigma =\frac{d_1^2+d_2^2-4a^2}{2d_1{d}_2}.$

Vagy explicit, előjellel együtt:

$\sigma =\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{g}\mathrm{n}(z)\arccos \frac{r^2-a^2}{\sqrt{(r^2-a^2{)}^2+4a^2{z}^2}}$

ahol $r=\sqrt{{\rho }^2+z^2}$.

Skálázási tényezők

Egy P pont σ és τ koordinátáinak geometriai értelmezése. Egy konstans $\varphi$ azimuthoz tartozó síkban a toroid koordináta-rendszer ekvivalens a bipoláris koordináta-rendszerrel. A σ szöget a két fókusz és a P pont alkotja, míg τ a fókuszoktól mért távolságok arányának logaritmusa. A σ és τ konstansoknak megfelelő körök rendre pirossal, illetve kékkel ábrázolva, és derékszögben metszik egymást, amit magenta doboz jelöl

A $\sigma$ és a $\tau$ slkálázási tényezői egyenlőek:

$h_{\sigma }=h_{\tau }=\frac{a}{\mathrm{ch}\tau -\cos \sigma }$

és az azimut skálázási tényezője:

$h_{\varphi }=\frac{a\mathrm{sh}\tau }{\mathrm{ch}\tau -\cos \sigma }$

Így az infinitezimális térfogatelem:

$dV=\frac{a^3\mathrm{sh}\tau }{{(\mathrm{ch}\tau -\cos \sigma )}^3}d\sigma d\tau d\varphi$

Differenciáloperátorok

A Laplace-operátor: $$\begin{array}{cc}{\mathrm{\nabla }}^2\mathrm{\Phi }=\frac{{(\mathrm{ch}\tau -\cos \sigma )}^3}{a^2\mathrm{sh}\tau }& [\mathrm{sh}\tau \frac{\partial }{\partial \sigma }\left(\frac{1}{\mathrm{ch}\tau -\cos \sigma }\frac{\partial \mathrm{\Phi }}{\partial \sigma }\right)\\ & +\frac{\partial }{\partial \tau }\left(\frac{\mathrm{sh}\tau }{\mathrm{ch}\tau -\cos \sigma }\frac{\partial \mathrm{\Phi }}{\partial \tau }\right)+\frac{1}{\mathrm{sh}\tau (\mathrm{ch}\tau -\cos \sigma )}\frac{{\partial }^2\mathrm{\Phi }}{\partial {\varphi }^2}]\end{array}$$

Egy $$\overrightarrow{n}(\tau ,\sigma ,\varphi )=n_{\tau }(\tau ,\sigma ,\varphi ){\hat{e}}_{\tau }+n_{\sigma }(\tau ,\sigma ,\varphi ){\hat{e}}_{\sigma }+n_{\varphi }(\tau ,\sigma ,\varphi ){\hat{e}}_{\varphi },$$ vektormező esetén a vektor Laplace-operátor:

$$\begin{array}{cc}\mathrm{\Delta }\overrightarrow{n}(\tau ,\sigma ,\varphi )& =\mathrm{\nabla }(\mathrm{\nabla }\cdot \overrightarrow{n})-\mathrm{\nabla }\times (\mathrm{\nabla }\times \overrightarrow{n})\\ & =\frac{1}{a^2}{\overrightarrow{e}}_{\tau }\{n_{\tau }(-\frac{{\mathrm{sh}}^4\tau +(\mathrm{ch}\tau -\cos \sigma {)}^2}{{\mathrm{sh}}^2\tau })+n_{\sigma }(-\mathrm{sh}\tau \sin \sigma )+\frac{\partial n_{\tau }}{\partial \tau }\left(\frac{(\mathrm{ch}\tau -\cos \sigma )(1-\mathrm{ch}\tau \cos \sigma )}{\mathrm{sh}\tau }\right)+\cdots \\ & +\frac{\partial n_{\tau }}{\partial \sigma }(-(\mathrm{ch}\tau -\cos \sigma )\sin \sigma )+\frac{\partial n_{\sigma }}{\partial \sigma }(2(\mathrm{ch}\tau -\cos \sigma )\mathrm{sh}\tau )+\frac{\partial n_{\sigma }}{\partial \tau }(-2(\mathrm{ch}\tau -\cos \sigma )\sin \sigma )+\cdots \\ & +\frac{\partial n_{\varphi }}{\partial \varphi }\left(\frac{-2(\mathrm{ch}\tau -\cos \sigma )(1-\mathrm{ch}\tau \cos \sigma )}{{\mathrm{sh}}^2\tau }\right)+\frac{{\partial }^2{n}_{\tau }}{{\partial \tau }^2}(\mathrm{ch}\tau -\cos \sigma {)}^2+\frac{{\partial }^2{n}_{\tau }}{{\partial \sigma }^2}(-(\mathrm{ch}\tau -\cos \sigma {)}^2)+\cdots \\ & +\frac{{\partial }^2{n}_{\tau }}{{\partial \varphi }^2}\frac{(\mathrm{ch}\tau -\cos \sigma {)}^2}{{\mathrm{sh}}^2\tau }\}\\ & +\frac{1}{a^2}{\overrightarrow{e}}_{\sigma }\{n_{\tau }(-\frac{({\mathrm{ch}}^2\tau +1-2\mathrm{ch}\tau \cos \sigma )\sin \sigma }{\mathrm{sh}\tau })+n_{\sigma }(-{\mathrm{sh}}^2\tau -2{\sin }^2\sigma )+\dots \\ & +\frac{\partial n_{\tau }}{\partial \tau }(2\sin \sigma (\mathrm{ch}\tau -\cos \sigma ))+\frac{\partial n_{\tau }}{\partial \sigma }(-2\mathrm{sh}\tau (\mathrm{ch}\tau -\cos \sigma ))+\cdots \\ & +\frac{\partial n_{\sigma }}{\partial \tau }\left(\frac{(\mathrm{ch}\tau -\cos \sigma )(1-\mathrm{ch}\tau \cos \sigma )}{\mathrm{sh}\tau }\right)+\frac{\partial n_{\sigma }}{\partial \sigma }(-(\mathrm{ch}\tau -\cos \sigma )\sin \sigma )+\cdots \\ & +\frac{\partial n_{\varphi }}{\partial \varphi }\left(2\frac{(\mathrm{ch}\tau -\cos \sigma )\sin \sigma }{\mathrm{sh}\tau }\right)+\frac{{\partial }^2{n}_{\sigma }}{{\partial \tau }^2}(\mathrm{ch}\tau -\cos \sigma {)}^2+\frac{{\partial }^2{n}_{\sigma }}{{\partial \sigma }^2}(\mathrm{ch}\tau -\cos \sigma {)}^2+\cdots \\ & +\frac{{\partial }^2{n}_{\sigma }}{{\partial \varphi }^2}\left(\frac{(\mathrm{ch}\tau -\cos \sigma {)}^2}{{\mathrm{sh}}^2\tau }\right)\}\\ & +\frac{1}{a^2}{\overrightarrow{e}}_{\varphi }\{n_{\varphi }(-\frac{(\mathrm{ch}\tau -\cos \sigma {)}^2}{{\mathrm{sh}}^2\tau })+\frac{\partial n_{\tau }}{\partial \varphi }\left(\frac{2(\mathrm{ch}\tau -\cos \sigma )(1-\mathrm{ch}\tau \cos \sigma )}{{\mathrm{sh}}^2\tau }\right)+\cdots \\ & +\frac{\partial n_{\sigma }}{\partial \varphi }(-\frac{2(\mathrm{ch}\tau -\cos \sigma )\sin \sigma }{\mathrm{sh}\tau })+\frac{\partial n_{\varphi }}{\partial \tau }\left(\frac{(\mathrm{ch}\tau -\cos \sigma )(1-\mathrm{ch}\tau \cos \sigma )}{\mathrm{sh}\tau }\right)+\cdots \\ & +\frac{\partial n_{\varphi }}{\partial \sigma }(-(\mathrm{ch}\tau -\cos \sigma )\sin \sigma )+\frac{{\partial }^2{n}_{\varphi }}{{\partial \tau }^2}(\mathrm{ch}\tau -\cos \sigma {)}^2+\cdots \\ & +\frac{{\partial }^2{n}_{\varphi }}{{\partial \sigma }^2}(\mathrm{ch}\tau -\cos \sigma {)}^2+\frac{{\partial }^2{n}_{\varphi }}{{\partial \varphi }^2}\left(\frac{(\mathrm{ch}\tau -\cos \sigma {)}^2}{{\mathrm{sh}}^2\tau }\right)\}\end{array}$$

A további differenciáloperátorok, mint $\mathrm{\nabla }\cdot 𝐅$ és $\mathrm{\nabla }\times 𝐅$ kifejezhetők a $(\sigma ,\tau ,\varphi )$ koordinátákkal úgy, hogy behelyettesítjük a skálázási tényezőket az ortogonális koordináta-rendszerek általános képleteibe.

Harmonikus függvények

Standard szétválasztás

A háromváltozós ${\mathrm{\nabla }}^2\mathrm{\Phi }=0$ Laplace-egyenlet megoldható a változók szétválasztásával a toroid koordináta-trendszerben. Ha elvégezzük az $\mathrm{\Phi }=U\sqrt{\mathrm{ch}\tau -\cos \sigma }$ helyettesítést, akkor szétválasztható egyenletet kapunk. Egy partikuláris megoldás:

$\mathrm{\Phi }=\sqrt{\mathrm{ch}\tau -\cos \sigma }{S}_{\nu }(\sigma )T_{\mu \nu }(\tau )V_{\mu }(\varphi )$

ahol minden függvény a következők lineáris kombinációja:

$S_{\nu }(\sigma )=e^{i\nu \sigma },e^{-i\nu \sigma }$

$T_{\mu \nu }(\tau )=P_{\nu -1/2}^{\mu }(\mathrm{ch}\tau ),Q_{\nu -1/2}^{\mu }(\mathrm{ch}\tau )$

$V_{\mu }(\varphi )=e^{i\mu \varphi },e^{-i\mu \varphi }$

ahol P és Q első- és másodfajú asszociált Legendre-függvények. Ezekre a Legendre-függvényekre gyakran hivatkoznak úgy, mint Legedre-harmonikusokra.

A toroid harmonikusoknak több érdekes tulajdonságuk van. Elvégezve a $z=\mathrm{ch}\tau >1$ helyettesítést, akkor például a $\mu =0$ eltűnési renddel és a $\nu =0$ esetben:

$Q_{-\frac{1}{2}}(z)=\sqrt{\frac{2}{1+z}}K\left(\sqrt{\frac{2}{1+z}}\right)$

és

$P_{-\frac{1}{2}}(z)=\frac{2}{\pi }\sqrt{\frac{2}{1+z}}K\left(\sqrt{\frac{z-1}{z+1}}\right)$

ahol $K$ és $E$ rendre első- és másodfajú elliptikus integrálok. A többi toroid harmonikus kifejezhető teljes elliptikus integrálokkal.

Egy klasszikus alkalmazás a differenciálegyenletek megoldása, köztük Laplace egyenletéé, ami szétválasztható a toroid koordináta-rendszerben. A Helmholtz-egyenlet ezzel szemben nem választható szét a toroid koordináta-rendszerben. Tipikus példák egy vezető gyűrű vagy elfajult esetben egy vezető kör elektromos mezeje és potenciálja.

Alternatív szétválasztás

Egy alternatív helyettesítés: (Andrews 2006)

$\mathrm{\Phi }=\frac{U}{\sqrt{\rho }}$

ahol

$\rho =\sqrt{x^2+y^2}=\frac{a\mathrm{sh}\tau }{\mathrm{ch}\tau -\cos \sigma }.$

Ezzel ismét egy szétválasztható egyenlethez jutunk. A változók szétválasztásával:

$\mathrm{\Phi }=\frac{a}{\sqrt{\rho }}{S}_{\nu }(\sigma )T_{\mu \nu }(\tau )V_{\mu }(\varphi )$

ahol minden függvény a következők lineáris kombinációja:

$S_{\nu }(\sigma )=e^{i\nu \sigma },e^{-i\nu \sigma }$

$T_{\mu \nu }(\tau )=P_{\mu -1/2}^{\nu }(\mathrm{cth}\tau ),Q_{\mu -1/2}^{\nu }(\mathrm{cth}\tau )$

$V_{\mu }(\varphi )=e^{i\mu \varphi },e^{-i\mu \varphi }.$

Habár itt ugyanazok a harmonikus függvények jelennek meg, most az argumentum $\mathrm{cth}\tau$ $\mathrm{ch}\tau$ helyett, és $\mu$ és $\nu$ indexei megcserélődtek. Ez hasznos, hogyha a peremfeltételek függetlenek a $\theta$ szférikus szögtól, például egy töltött gyűrű, két párhuzamos sík vagy egy végtelen félsík. A hiperbolikus koszinuszt vagy hiperbolikus kotangenst argumentumában tartalmazó toroid harmonikusokhoz kapcsolódó azonosságokat a Whipple-képletek tartalmazzák.

Források

• Byerly, W E. (1893) An elementary treatise on Fourier's series and spherical, cylindrical, and ellipsoidal harmonics, with applications to problems in mathematical physics Ginn & co. pp. 264–266
• Sablon:Cite book
• Sablon:Cite journal
• Sablon:Cite journal
• Sablon:Cite book
• Sablon:Cite book
• Sablon:Cite book
• Sablon:Cite book