Biszférikus koordináta-rendszer

A biszférikus koordináta-rendszer koordinátafelületei. A fókuszok 1 távolságra vannak a függőleges z-tengelytől. A piros önátmetsző tórusz a σ=45° koordinátafelület, a kék gömb a τ=0.5 koordinátafelület, és a sárga félsík a φ=60° koordinátafelület. A zöld tengely jelöli az a tengelyt, amihez a φ azimut viszonyítva van. A fekete pont a piros, kék és sárga felületek metszéspontja, melynek Descartes-koordinátái körülbelül (0,841; -1,456; 1,239)

A biszférikus koordináta-rendszer egy háromdimenziós koordináta-rendszer, ami a bipoláris koordináta-rendszerből származtatható a két fókuszt összekötő egyenes körüli forgatással. Ezzel a bipoláris koordináta-rendszer fókuszai megmaradnak pontoknak a biszférikus koordináta-rendszerben.

Definíció

A $(\sigma ,\tau ,\varphi )$ biszférikus koordináták leggyakrabban használt definíciója:

$\begin{array}{cc}x& =a\frac{\sin \sigma }{\mathrm{ch}\tau -\cos \sigma }\cos \varphi ,\\ y& =a\frac{\sin \sigma }{\mathrm{ch}\tau -\cos \sigma }\sin \varphi ,\\ z& =a\frac{\sinh \tau }{\mathrm{ch}\tau -\cos \sigma },\end{array}$

ahol egy $P$ pont $\sigma$ koordinátája megegyezik az $F_{1}P{F}_2$ szöggel; a $\tau$ koordináta pedig a fókuszoktól mért $d_1$ és $d_2$ hányadosának természetes logaritmusa:

$\tau =\ln \frac{d_1}{d_2}$

Koordinátafelületek

A konstans $\sigma$-jú felületek különböző sugarú, egymást metsző tóruszok:

$z^2+{(\sqrt{x^2+y^2}-a\mathrm{ctg}\sigma )}^2=\frac{a^2}{{\sin }^2\sigma }$

melyek mind áthaladnak a fókuszokon, de nem metszik egymást. A konstans $\tau$-jú felületek különböző sugarú, egymást nem metsző gömbök, melyek körülveszik a fókuszokat:

$(x^2+y^2)+{(z-a\mathrm{cth}\tau )}^2=\frac{a^2}{{\mathrm{sh}}^2\tau }$

A konstans $\tau$-jú gömbök középpontja a $z$-tengelyen helyezkedik el, míg a konstans $\sigma$-jú tóruszok középpontja az $xy$-síkban található.

Inverz képletek

Az inverz transzformációk képletei:

$\begin{array}{cc}\sigma & =\arccos \left(\frac{R^2-a^2}{Q}\right),\\ \tau & =\mathrm{arsh}\left(\frac{2az}{Q}\right),\\ \varphi & =\mathrm{arctg}\left(\frac{y}{x}\right),\end{array}$

ahol $R=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$ és $Q=\sqrt{{(R^2+a^2)}^2-{\left(2az\right)}^2}.$

Skálázási tényezők

A $\sigma$ és $\tau$ biszférikus koordináták skálázási tényezője megegyezik:

$h_{\sigma }=h_{\tau }=\frac{a}{\mathrm{ch}\tau -\cos \sigma }$

míg az azimut skálázási tényezője

$h_{\varphi }=\frac{a\sin \sigma }{\mathrm{ch}\tau -\cos \sigma }$

Eszerint az infinitezimális térfogatelem:

$dV=\frac{a^3\sin \sigma }{{(\mathrm{ch}\tau -\cos \sigma )}^3}d\sigma d\tau d\varphi$

és a Laplace-operátor:

$\begin{array}{cc}{\mathrm{\nabla }}^2\mathrm{\Phi }=\frac{{(\mathrm{ch}\tau -\cos \sigma )}^3}{a^2\sin \sigma }& [\frac{\partial }{\partial \sigma }\left(\frac{\sin \sigma }{\mathrm{ch}\tau -\cos \sigma }\frac{\partial \mathrm{\Phi }}{\partial \sigma }\right)\\ & +\sin \sigma \frac{\partial }{\partial \tau }\left(\frac{1}{\mathrm{ch}\tau -\cos \sigma }\frac{\partial \mathrm{\Phi }}{\partial \tau }\right)+\frac{1}{\sin \sigma (\mathrm{ch}\tau -\cos \sigma )}\frac{{\partial }^2\mathrm{\Phi }}{\partial {\varphi }^2}]\end{array}$

A további differenciáloperátorok, mint $\mathrm{\nabla }\cdot 𝐅$ és $\mathrm{\nabla }\times 𝐅$ kifejezhetők a $(\sigma ,\tau )$ koordinátákkal úgy, hogy behelyettesítjük a skálázási tényezőket az ortogonális koordináta-rendszerek általános képleteibe.

Alkalmazások

A bipoláris koordináta-rendszer klasszikus alkalmazásai a parciális differenciálegyenletek megoldását segítik, például Laplace egyenletének megoldását, ahol is a bipoláris koordináták lehetővé teszik a változók szétválasztását. Azonban a a Heimholtz-egyenlet nem biztos, hogy szétválasztható ebben a koordináta-rendszerben.

Egy tipikus példa két különböző sugarú vezető gömb elektromos mezője.

Források

• Sablon:Cite book
• Sablon:Cite book
• Sablon:Cite book
• Sablon:Cite book
• MathWorld description of bispherical coordinates