Digamma-függvény

Digamma-függvény a komplex síkon: a színek kódolják az s értékét, erősebb színek a zéró közeli értékeket mutatják

A ψ(x) jelű digamma-függvény a gamma-függvény logaritmikus deriváltja.

$\psi (x)=\frac{d}{dx}\ln \mathrm{\Gamma }(x)=\frac{{\mathrm{\Gamma }}^{\prime }(x)}{\mathrm{\Gamma }(x)}.$

Ez az első poligamma-függvény.

Kapcsolat a harmonikus számokkal

A digamma-függvény (jelölései: ψ₀(x), ψ⁰(x), vagy $ϝ$, a digamma (Ϝ ϝ) a preklasszikus görög ábécé hatodik betűje után) következőképpen kapcsolódik a harmonikus számokhoz:

$\psi (n)=H_{n-1}-\gamma$

ahol H_n az n-edik harmonikus szám, és γ az Euler-Mascheroni konstans. Félegész értékekre:

$\psi (n+\frac{1}{2})=-\gamma -2\ln 2+\sum _{k=1}^n\frac{2}{2k-1}$

Intergrállal kifejezve

$\psi (x)=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}(\frac{e^{-t}}{t}-\frac{e^{-xt}}{1-e^{-t}})dt$

ez a kifejezés akkor érvényes, ha $x$ valós része pozitív.

Kifejezhetjük:

$\psi (s+1)=-\gamma +\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{1-x^s}{1-x}dx$

mely megfelel az Euler-integrálnak harmonikus számokra.

Sorozattal kifejezve

A digamma kiszámolható a komplex síkon a negatív egészeken kívül a következő képlettel:

$\psi (z+1)=-\gamma +\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{z}{n(n+z)}z\ne -1,-2,-3,\dots$

vagy

$\psi (z)=-\gamma +\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{z-1}{(n+1)(n+z)}=-\gamma +\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+z})z\ne 0,-1,-2,-3,\dots$

Ez felhasználható racionális függvények végtelen szummájának számítására, például:

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{u}_n=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{p(n)}{q(n)}$,

ahol p(n) és q(n) n polinomjai.

Magasabb rendű poligamma-függvény sor kiterjesztésével, egy általánosított képlet kapható:

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{u}_n=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\sum _{k=1}^m\frac{a_k}{(n+b_k{)}^{r_k}}=\sum _{k=1}^m\frac{(-1{)}^{r_k}}{(r_k-1)!}{a}_k{\psi }^{(r_k-1)}(b_k),$

feltéve, ha a sorozat bal oldala konvergens.

Taylor sorok

A digammának van egy racionális zéta sorozata, mely a Taylor-sorból ered z=1-nél. Ez:

$\psi (z+1)=-\gamma -\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\zeta (k+1)(-z{)}^k$,

mely konvergál |z|<1 felé. Itt a $\zeta (n)$ a Riemann-féle zéta-függvény.

Newton sor

A digamma Newton-sora az Euler integrál képletből adódik:

$\psi (s+1)=-\gamma -\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^k}{k}(\genfrac{}{}{0ex}{}{s}{k})$

ahol $(\genfrac{}{}{0ex}{}{s}{k})$ a binomiális együttható.

Reflexiós képlet

A digamma-függvény reflexiós képlete hasonló a gamma-függvényével.

$\psi (1-x)-\psi (x)=\pi \cot \left(\pi x\right)$

Gauss-összeg

A digamma Gauss-összege:

$\frac{-1}{\pi k}\sum _{n=1}^k\sin \left(\frac{2\pi nm}{k}\right)\psi \left(\frac{n}{k}\right)=\zeta (0,\frac{m}{k})=-B_1\left(\frac{m}{k}\right)=\frac{1}{2}-\frac{m}{k}$

$0<m<k$ egészekre. Itt, a ζ(s,q) a Hurwitz zéta függvény, és a $B_n(x)$ a Bernoulli-polinom.

Gauss digammaelmélete

Gauss digamma elmélete, szerint m és k ( m < k), pozitív egészekre, a digamma függvény elemi függvényekkel is kifejezhető:

$\psi \left(\frac{m}{k}\right)=-\gamma -\ln (2k)-\frac{\pi }{2}\cot \left(\frac{m\pi }{k}\right)+2\sum _{n=1}^{\lfloor (k-1)/2\rfloor }\cos \left(\frac{2\pi nm}{k}\right)\ln (\sin \left(\frac{n\pi }{k}\right))$

Közelítések

J.-M. Bernardo AS 103 algoritmusa szerint a digamma-függvény x valós számokra közelíthető:

$\psi (x)=\ln (x)-\frac{1}{2x}-\frac{1}{12x^2}+\frac{1}{120x^4}-\frac{1}{252x^6}+O\left(\frac{1}{x^8}\right)$

Hasonló közelítés magasabb tagokra:

$\begin{array}{cc}\psi (x)& =\ln (x)-\frac{1}{2x}-\frac{1}{12x^2}+\frac{1}{120x^4}-\frac{1}{252x^6}+\frac{1}{240x^8}-\frac{5}{660x^{10}}\\ & +\frac{691}{32760x^{12}}-\frac{7}{84x^{14}}+\frac{3617}{8160x^{16}}-\frac{43867}{14364x^{18}}+O\left(\frac{1}{x^{20}}\right)\end{array}$

Speciális értékek

Gauss digamma elmélete eredményeképpen a digamma-függvény zárt formájú értékei racionális számokra:

$\psi (1)=-\gamma$

$\psi \left(\frac{1}{2}\right)=-2\ln 2-\gamma$

$\psi \left(\frac{1}{3}\right)=-\frac{\pi }{2\sqrt{3}}-\frac{3}{2}\ln 3-\gamma$

$\psi \left(\frac{1}{4}\right)=-\frac{\pi }{2}-3\ln 2-\gamma$

$\psi \left(\frac{1}{6}\right)=-\frac{\pi }{2}\sqrt{3}-2\ln 2-\frac{3}{2}\ln (3)-\gamma$

$\psi \left(\frac{1}{8}\right)=-\frac{\pi }{2}-4\ln 2-\frac{1}{\sqrt{2}}\{\pi +\ln (2+\sqrt{2})-\ln (2-\sqrt{2})\}-\gamma$

Források

• Sablon:CitLib
• Sablon:CitLib

Kapcsolódó szócikkek

• Poligamma-függvény
• Trigamma-függvény
• Csebisev-polinomok
• Gamma-függvény
• Derivált
• Digamma
• Riemann-féle zéta-függvény
• Newton-sor