Harmonikus szám

Sablon:Más A matematikában az n-edik harmonikus szám az első n pozitív egész szám reciprokának az összege:

$H_n=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots +\frac{1}{n}=\sum _{k=1}^n\frac{1}{k}.$

Ez egyébként egyenlő ezen számok harmonikus közepe reciprokának az n-szeresével.

Harmonikus szám $H_{n,1}$, $n=\lfloor x\rfloor$ (vörös vonal) és az aszimptotikus korlátja $\gamma +\ln [x]$ (kék vonal)

A harmonikus számokat már az ókorban is tanulmányozták, és a számelméletben fontos szerepet töltenek be. A harmonikus sor részletösszegei, és szorosan kapcsolódnak a Riemann-féle zéta-függvényhez. Amikor egy nagy volumenű mennyiség a Zipf-törvény szerinti eloszlást mutat, a legértékesebb tétel az n-edik harmonikus. Ez számos meglepő eredményhez vezet a hosszú farok- és a hálózatelméletben.

Képletek

Az integrállal történő kifejezés Eulertől ered:

$H_n=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{1-x^n}{1-x}dx.$

A fenti egyenlőség nyilvánvalóan következik az alábbi egyenlőségből:

$\frac{1-x^n}{1-x}=1+x+\cdots +x^{n-1}$

Elegáns kombinatorikai kifejezés nyerhető $H_n$-re, felhasználva egy egyszerű transzformációt: $x=1-u$:

$\begin{array}{cc}{H}_n& =\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{1-x^n}{1-x}dx=-\underset{1}{\overset{0}{\int }}\frac{1-(1-u{)}^n}{u}du=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{1-(1-u{)}^n}{u}du\\ & =\underset{0}{\overset{1}{\int }}[\sum _{k=1}^n(-1{)}^{k-1}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})u^{k-1}]du\\ & =\sum _{k=1}^n(-1{)}^{k-1}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})\underset{0}{\overset{1}{\int }}{u}^{k-1}du\\ & =\sum _{k=1}^n(-1{)}^{k-1}\frac{1}{k}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}).\end{array}$

Hasonló kifejezés nyerhető a harmadik Retkes-azonosság felhasználásával:

$x_1=1,\dots ,x_n=n$, és felhasználva a tényt: ${\mathrm{\Pi }}_k(1,\dots ,n)=(-1{)}^{n-k}(k-1)!(n-k)!$.

$H_n=H_{n,1}=\sum _{k=1}^n\frac{1}{k}=(-1{)}^{n-1}n!\sum _{k=1}^n\frac{1}{k^2{\mathrm{\Pi }}_k(1,\dots ,n)}=\sum _{k=1}^n(-1{)}^{k-1}\frac{1}{k}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})$

H_n közel úgy nő, mint az n természetes logaritmusa. Ennek az oka, hogy az összeg közelíthető egy integrállal:

$\underset{1}{\overset{n}{\int }}\frac{1}{x}dx$

melynek értéke: ln(n).

H_n - : ln(n) sor monoton csökken a korlátja felé:

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }(H_n-\ln n)=\gamma$

(ahol γ az Euler–Mascheroni-konstans: 0,5772156649...), és a megfelelő aszimptotikus kiterjesztés, amint $n\to \mathrm{\infty }$:

$H_n\sim \ln n+\gamma +\frac{1}{2n}-\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{B_{2k}}{2k{n}^{2k}}=\ln n+\gamma +\frac{1}{2n}-\frac{1}{12n^2}+\frac{1}{120n^4}-\cdots$

ahol $B_k$ a Bernoulli-számok.

Generáló függvények

A harmonikus számok generáló függvénye:

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{z}^n{H}_n=\frac{-\ln (1-z)}{1-z},$

ahol $\ln (z)$ a természetes logaritmus. Egy exponenciális generáló függvény: $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{z^n}{n!}{H}_n=-e^z\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{k}\frac{(-z{)}^k}{k!}=e^z\text{Ein}(z)$

ahol $\text{Ein}(z)$ a teljes exponenciális integrál.

Megjegyezzük, hogy:

$\text{Ein}(z)={\text{E}}_1(z)+\gamma +\ln z=\mathrm{\Gamma }(0,z)+\gamma +\ln z$

ahol $\mathrm{\Gamma }(0,z)$ az inkomplett gamma-függvény.

Alkalmazások

A harmonikus számok számos alkalmazásban megtalálhatók, mint például a digamma-függvénynél: $\psi (n)=H_{n-1}-\gamma .$ Ezt a kifejezést gyakran használják harmonikus számok kiterjesztésénél nem egész n-re. A harmonikus számokat gyakran használják a γ meghatározásához, felhasználva az előző fejezetben bevezetett korlátot:

$\gamma =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }(H_n-\ln (n+\frac{1}{2}))$

mely gyorsabban konvergál.

2002-ben Jeffrey Lagarias bebizonyította, hogy a Riemann-hipotézis egyenlő a következő állítással:

$\sigma (n)\le H_n+\ln (H_n)e^{H_n},$

igaz minden n ≥ 1 egész számra; szigorú egyenlőtlenséggel, ha n > 1. Itt σ(n) az n osztó összege.

Általánosítás

Az általánosított harmonikus szám:

$H_{n,m}=\sum _{k=1}^n\frac{1}{k^m}.$

n a végtelenbe tart, ha $m>1$. Más kifejezésben:

$H_{n,m}=H_n^{(m)}=H_m(n).$

A speciális esetben, amikor $m=1$, csak egyszerűen harmonikus számnak hívják, és gyakran index nélkül jelölik, mint itt:

$H_n=\sum _{k=1}^n\frac{1}{k}.$

Ha a korlát $n\to \mathrm{\infty }$, az általánosított harmonikus szám a Riemann-féle zéta-függvényhez konvergál:

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{H}_{n,m}=\zeta (m).$

Az általánosított harmonikus számok generáló függvénye:

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{z}^n{H}_{n,m}=\frac{{\mathrm{L}\mathrm{i}}_m(z)}{1-z},$

ahol ${\mathrm{L}\mathrm{i}}_m(z)$ a polilogaritmus és |z| < 1. A fent megadott képletnél az m=1 egy speciális eset.

Irodalom

• Sablon:CitLib
• Sablon:CitLib
• Sablon:CitLib

Kapcsolódó szócikkek

• http://mathworld.wolfram.com/HarmonicNumber.html
• Polilogaritmus
• Riemann-hipotézis
• Bernoulli-számok
• Harmonikus közép
• Eloszlásfüggvény
• Valószínűségszámítás
• Statisztika
• Matematikai statisztika
• harmonikus sor
• Zipf-törvény
• Hosszú farok
• Dzsip-probléma