Csebisev-polinomok

A matematikában a Csebisev-polinomok olyan ortogonális polinomsorozatok, melyek kapcsolatban állnak a De Moivre képlettel, és amelyeket rekurzív módon lehet definiálni. Nevüket Pafnutyij Lvovics Csebisev orosz matematikus után kapták. Általában különbséget tesznek elsőfajú Csebisev-polinomok (jelölés Sablon:Mvar), illetve másodfajú Csebisev-polinomok között (jelölés Sablon:Mvar).

A Sablon:Mvar, és az Sablon:Mvar Csebisev-polinomok n-ed fokúak, és bármelyik fajta Csebisev-polinomok sorozata polinomsorozatot alkot.

A Sablon:Mvar Csebisev-polinomok a lehető legnagyobb vezető együtthatóval rendelkeznek, figyelembe véve azt a tényt, hogy abszolút értékük a [-1,1] intervallumon kötve van az 1 által.

A Csebisev-polinomok fontos szerepet játszanak a közelítő módszerek elméletében, mivel az elsőfajú Csebisev-polinomok gyökeit, melyeket Csebisev-csomópontoknak is hívnak, csomópontokként használják a polinomiális interpolációnál. Az így kapott interpolációs polinom minimalizálja a Runge-hatásból származó problémát.

A differenciálegyenletek területén a Csebisev-differenciálegyenletek megoldásaként találunk rájuk:

(1 - x^{2}) y^{″} - x y^{'} + n^{2} y = 0

és

(1 - x^{2}) y^{″} - 3 x y^{'} + n (n + 2) y = 0

Az első egyenletből kapjuk Sablon:Mvar-t, míg a másodikból Sablon:Mvar-t. Ezek az egyenletek a Sturm-Liouville differenciálegyenletek speciális esetei.

Definíciók

Az elsőfajú Csebisev-polinomokat a következő rekurenciás összefüggés definiálja:

\begin{matrix} T_{0} (x) & = 1 \\ T_{1} (x) & = x \\ T_{n + 1} (x) & = 2 x T_{n} (x) - T_{n - 1} (x) . \end{matrix}

A megszokott generátorfüggvény Sablon:Mvar-re:

\sum_{n = 0}^{\infty} T_{n} (x) t^{n} = \frac{1 - t x}{1 - 2 t x + t^{2}};

Az exponenciális generátorfüggvény:

\sum_{n = 0}^{\infty} T_{n} (x) \frac{t^{n}}{n!} = \frac{1}{2} (e^{(x - \sqrt{x^{2} - 1}) t} + e^{(x + \sqrt{x^{2} - 1}) t}) = e^{t x} \cosh (t \sqrt{x^{2} - 1}) .

A kétdimenziós potenciálelmélet területén releváns generátorfüggvény:

\sum_{n = 1}^{\infty} T_{n} (x) \frac{t^{n}}{n} = \ln \frac{1}{\sqrt{1 - 2 t x + t^{2}}} .

A másodfajú Csebisev-polinomokat a következő rekurenciás összefüggés definiálja:

\begin{matrix} U_{0} (x) & = 1 \\ U_{1} (x) & = 2 x \\ U_{n + 1} (x) & = 2 x U_{n} (x) - U_{n - 1} (x) . \end{matrix}

A megszokott generátorfüggvény Sablon:Mvar-re:

\sum_{n = 0}^{\infty} U_{n} (x) t^{n} = \frac{1}{1 - 2 t x + t^{2}};

Az exponenciális generátorfüggvény:

\sum_{n = 0}^{\infty} U_{n} (x) \frac{t^{n}}{n!} = e^{t x} (\cosh (t \sqrt{x^{2} - 1}) + \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 1}} \sinh (t \sqrt{x^{2} - 1})) .

Kapcsolatok az első- illetve másodfajú Csebisev-polinomok között

Az első- illetve másodfajú Csebisev-polinomok megfelelnek a Lucas sorozat egy kiegészítő párjának Sablon:Math és Sablon:Math, Sablon:Math és Sablon:Math paraméterekkel:

\begin{matrix} {\tilde{U}}_{n} (2 x, 1) & = U_{n - 1} (x), \\ {\tilde{V}}_{n} (2 x, 1) & = 2 \cdot T_{n} (x) . \end{matrix}

Két kölcsönös rekurenciás összefüggést is kielégítenek:

\begin{matrix} T_{n + 1} (x) & = x T_{n} (x) - (1 - x^{2}) U_{n - 1} (x), \\ U_{n} (x) & = x U_{n - 1} (x) + T_{n} (x) . \end{matrix}

Az első- illetve másodfajú Csebisevpolinomokat a következő összefüggések is összekapcsolják:

\begin{matrix} T_{n} (x) & = \frac{1}{2} (U_{n} (x) - U_{n - 2} (x)) . \\ T_{n} (x) & = U_{n} (x) - x U_{n - 1} (x) . \\ U_{n} (x) & = 2 \sum_{odd j}^{n} T_{j} (x) & páratlan n . \\ U_{n} (x) & = 2 \sum_{even j}^{n} T_{j} (x) - 1 & páros n . \end{matrix}

Explicit kifejezések

A Csebisev-polinomok meghatározásának különböző megközelítései különböző explicit kifejezésekhez vezetnek, mint például:

\begin{matrix} T_{n} (x) & = {\begin{matrix} \cos (n \arccos x) & | x | \leq 1 \\ \frac{1}{2} ((x - \sqrt{x^{2} - 1})^{n} + (x + \sqrt{x^{2} - 1})^{n}) & | x | \geq 1 \end{matrix} \\ = {\begin{matrix} \cos (n \arccos x) & - 1 \leq x \leq 1 \\ \cosh (n arcosh x) & 1 \leq x \\ (- 1)^{n} \cosh (n arcosh (- x)) & x \leq - 1 \end{matrix} \\ T_{n} (x) & = \sum_{k = 0}^{⌊ \frac{n}{2} ⌋} (\binom{n}{2 k}) {(x^{2} - 1)}^{k} x^{n - 2 k} \\ = x^{n} \sum_{k = 0}^{⌊ \frac{n}{2} ⌋} (\binom{n}{2 k}) {(1 - x^{- 2})}^{k} \\ = \frac{n}{2} \sum_{k = 0}^{⌊ \frac{n}{2} ⌋} (- 1)^{k} \frac{(n - k - 1)!}{k! (n - 2 k)!} (2 x)^{n - 2 k} n > 0 \\ = n \sum_{k = 0}^{n} (- 2)^{k} \frac{(n + k - 1)!}{(n - k)! (2 k)!} (1 - x)^{k} n > 0 \\ =_{2} F_{1} (- n, n; \frac{1}{2}; \frac{1}{2} (1 - x)) \end{matrix}

x^{n} = 2^{1 - n} {\sum^{'}}_{j = 0, n - j páros}^{n} (\binom{n}{\frac{n - j}{2}}) T_{j} (x),

ahol a szummajel alapja azt jelzi, hogy a Sablon:Math hozzájárulását felezni kell, ha megjelenik.

\begin{matrix} U_{n} (x) & = \frac{{(x + \sqrt{x^{2} - 1})}^{n + 1} - {(x - \sqrt{x^{2} - 1})}^{n + 1}}{2 \sqrt{x^{2} - 1}} \\ = \sum_{k = 0}^{⌊ \frac{n}{2} ⌋} (\binom{n + 1}{2 k + 1}) {(x^{2} - 1)}^{k} x^{n - 2 k} \\ = x^{n} \sum_{k = 0}^{⌊ \frac{n}{2} ⌋} (\binom{n + 1}{2 k + 1}) {(1 - x^{- 2})}^{k} \\ = \sum_{k = 0}^{⌊ \frac{n}{2} ⌋} (\binom{2 k - (n + 1)}{k}) (2 x)^{n - 2 k} & n > 0 \\ = \sum_{k = 0}^{⌊ \frac{n}{2} ⌋} (- 1)^{k} (\binom{n - k}{k}) (2 x)^{n - 2 k} & n > 0 \\ = \sum_{k = 0}^{n} (- 2)^{k} \frac{(n + k + 1)!}{(n - k)! (2 k + 1)!} (1 - x)^{k} & n > 0 \\ = (n + 1)_{2} F_{1} (- n, n + 2; \frac{3}{2}; \frac{1}{2} (1 - x)) \end{matrix}

ahol Sablon:Math hipergeometrikus függvény.

Példák

Elsőfajú

Az első néhány elsőfajú Csebisev-polinom Sablon:OEIS2C

\begin{matrix} T_{0} (x) & = 1 \\ T_{1} (x) & = x \\ T_{2} (x) & = 2 x^{2} - 1 \\ T_{3} (x) & = 4 x^{3} - 3 x \\ T_{4} (x) & = 8 x^{4} - 8 x^{2} + 1 \\ T_{5} (x) & = 16 x^{5} - 20 x^{3} + 5 x \\ T_{6} (x) & = 32 x^{6} - 48 x^{4} + 18 x^{2} - 1 \\ T_{7} (x) & = 64 x^{7} - 112 x^{5} + 56 x^{3} - 7 x \\ T_{8} (x) & = 128 x^{8} - 256 x^{6} + 160 x^{4} - 32 x^{2} + 1 \\ T_{9} (x) & = 256 x^{9} - 576 x^{7} + 432 x^{5} - 120 x^{3} + 9 x \\ T_{10} (x) & = 512 x^{10} - 1280 x^{8} + 1120 x^{6} - 400 x^{4} + 50 x^{2} - 1 \\ T_{11} (x) & = 1024 x^{11} - 2816 x^{9} + 2816 x^{7} - 1232 x^{5} + 220 x^{3} - 11 x \end{matrix}

Másodfajú

Az első néhány másodfajú Csebisev-polinom Sablon:OEIS2C

\begin{matrix} U_{0} (x) & = 1 \\ U_{1} (x) & = 2 x \\ U_{2} (x) & = 4 x^{2} - 1 \\ U_{3} (x) & = 8 x^{3} - 4 x \\ U_{4} (x) & = 16 x^{4} - 12 x^{2} + 1 \\ U_{5} (x) & = 32 x^{5} - 32 x^{3} + 6 x \\ U_{6} (x) & = 64 x^{6} - 80 x^{4} + 24 x^{2} - 1 \\ U_{7} (x) & = 128 x^{7} - 192 x^{5} + 80 x^{3} - 8 x \\ U_{8} (x) & = 256 x^{8} - 448 x^{6} + 240 x^{4} - 40 x^{2} + 1 \\ U_{9} (x) & = 512 x^{9} - 1024 x^{7} + 672 x^{5} - 160 x^{3} + 10 x \end{matrix}

Források

Csebisev-polinomok

Tartalomjegyzék

Definíciók

Kapcsolatok az első- illetve másodfajú Csebisev-polinomok között

Explicit kifejezések

Példák

Elsőfajú

Másodfajú

Források

Navigációs menü

Csebisev-polinomok

Definíciók

Kapcsolatok az első- illetve másodfajú Csebisev-polinomok között

Explicit kifejezések

Példák

Elsőfajú

Másodfajú

Források

Navigációs menü

Keresés