Gauss-összeg

Sablon:Nincs forrás A Gauss-összeg a számelmélet egyik fontos fogalma.

Ha $p$ páratlan prímszám, $\omega =\cos \left(\frac{2\pi }{p}\right)+i\sin \left(\frac{2\pi }{p}\right)$ az „első” p-edik egységgyök, akkor a

$G=\sum _{k=0}^{p-1}{\omega }^{k^2}$

összeget nevezzük Gauss-összegnek.

Könnyű belátni, hogy $G$ értéke $\sqrt{p}$ vagy $-\sqrt{p}$ ha $p$ 4-gyel osztva 1-et ad maradékul és $i\sqrt{p}$ vagy $-i\sqrt{p}$ ha $p$ 4-gyel osztva 3-at ad maradékul. Gauss 1801 májusában naplójában rögzítette azt a sejtését hogy a helyes érték mindig $\sqrt{p}$illetve $i\sqrt{p}$. Ezt négy évig nem tudta igazolni, noha, mint barátjának, Olbersnek 1805. szeptember 3-án megírta, nem volt olyan hét, amikor ne vette volna elő a problémát. Végül „Wie der Blitz einschlägt, hat sich das Räthsel gelöst…” (váratlan villámcsapásként megláttam a probléma megoldását).

Általánosítás

Gauss általánosan megmutatta, hogy minden pozitív egész $N$ számra, ha

$\omega =\cos \left(\frac{2\pi }{N}\right)+i\sin \left(\frac{2\pi }{N}\right)$

akkor

$\sum _{k=1}^N{\omega }^{k^2}=\{\begin{array}{cc}\sqrt{N}& \text{ha }N\equiv 1(\mathrm{mod}4)\\ 0& \text{ha }N\equiv 2(\mathrm{mod}4)\\ i\sqrt{N}& \text{ha }N\equiv 3(\mathrm{mod}4)\\ (1+i)\sqrt{N}& \text{ha }N\equiv 0(\mathrm{mod}4)\end{array}$

Gauss vizsgálta a

$G_3=\sum _{k=1}^p{\omega }^{k^3}$

összeget is. A Disquisitiones Arithmeticae-ben megállapította, hogy ha $p\equiv 1(\mathrm{mod}3)$, akkor $4p=A^2+27B^2$ alakban írható, és ha kikötjük, hogy $A\equiv 1(\mathrm{mod}3)$ legyen, akkor $G_3$ gyöke az irreducibilis $x^3-3px-Ap$ polinomnak.