Cayley–Hamilton-tétel

Az Arthur Cayleyről és William Rowan Hamiltonról elnevezett Cayley–Hamilton-tétel a lineáris algebra, azon belül is a mátrixalgebra jelentős tétele. Azt mondja ki, hogy a komplex test feletti tetszőleges A négyzetes mátrix gyöke saját karakterisztikus polinomjának.

Ha Sablon:Mvar egy adott Sablon:Math-es mátrix és Sablon:Math az Sablon:Math-es egységmátrix, akkor Sablon:Mvar karakterisztikus polinomja a $p_A(\lambda )=\det (\lambda I_n-A)$ polinom, ahol Sablon:Math a determináns és Sablon:Mvar a polinom változója. A Cayley–Hamilton egyenlet azt állítja, hogy ha ebbe az egyenletbe Sablon:Mvar helyett Sablon:Mvar-t írunk, akkor az eredmény a nullmátrix lesz, vagyis $p_A(A)=\mathrm{𝟎}$ .

A tételt először Hamilton bizonyította 1862-ben, de csak egy speciális esetben, a kvaterniók által alkotott vektortérre.

Példa

Legyen

$A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right)$

Akkor A karakterisztikus polinomja

$p(\lambda )=\left|\begin{array}{cc}\lambda -1& -2\\ -3& \lambda -4\end{array}\right|=(\lambda -1)(\lambda -4)-2\cdot 3={\lambda }^2-5\lambda -2.$

Így

$p(A)=A^2-5A-2I_2=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right)-\left(\begin{array}{cc}5& 10\\ 15& 20\end{array}\right)-\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 2\end{array}\right)=$

$=\left(\begin{array}{cc}7& 10\\ 15& 22\end{array}\right)-\left(\begin{array}{cc}5& 10\\ 15& 20\end{array}\right)-\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 0\end{array}\right),$

ami egybevág a tétel állításával.

Ekvivalens megfogalmazás

A tétel ekvivalens azzal az állítással, hogy az A négyzetes mátrix minimálpolinomja osztója A karakterisztikus polinomjának.

Valóban, ha a A minimálpolinomja $m$, akkor definíció szerint A kielégíti $m$-et és így ha $m$ osztója A karakterisztikus polinomjának, akkor A kielégíti azt is.

Megfordítva, A minimálpolinomja, $m$, osztója minden olyan polinomnak, amelynek A gyöke, így ha A gyöke a saját $p$ karakterisztikus polinomjának, akkor $m$ szükségképpen osztója $p$-nek.

Általánosítás

Noha a tétel eredeti formájában a komplex test feletti mátrixokról szól, az állítás tetszőleges kommutatív gyűrű felett is igaz.