Vegyes szorzat

A vegyes szorzat három darab háromdimenziós vektor között értelmezett matematikai művelet, melynek eredménye skalár (szám).

Az a, b és c vektorok vegyes szorzatának jele abc. Értéke definíció szerint abc = (a × b)·c, ahol „×” a vektoriális szorzatot, „·” pedig a skaláris szorzatot jelöli. Ennek a számnak az abszolút értéke megegyezik a három vektor által kifeszített paralelepipedon térfogatával. Ha a három tényező ebben a sorrendben jobbrendszert alkot, akkor az előjel pozitív; ha balrendszert, akkor negatív.

Definíció

Legyenek $\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$ és $\overrightarrow{c}$ háromdimenziós vektorok ${ℝ}^3$-ben! Ekkor vegyes szorzatuk:

$(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c})=(\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b})\cdot \overrightarrow{c}$.

Jelölése

Gyakran nem vezetnek be külön jelölést, hanem a definíciót használják: $(\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b})\cdot \overrightarrow{c}$. Más jelölések: $[\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}]$, $⟨\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}⟩$ és $|\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}\overrightarrow{c}|$.

Tulajdonságai

• abc = bca = cab = –cba = –bac = –acb
• (λa)bc = a(λb)c = ab(λc) = λ(abc), bármely λ skalárra.
• Ha az a, b, c vektorok lineárisan összefüggők, akkor a vegyes szorzat 0.
• A vegyes szorzat megegyezik annak a 3×3-as négyzetes mátrixnak a determinánsával, melynek sor- vagy oszlopvektorai sorrendben az adott három vektorral egyeznek meg, azaz

$𝐚𝐛𝐜=\det \left(\begin{array}{c}𝐚,𝐛,𝐜\end{array}\right)=\left|\begin{array}{ccc}{a}_1& a_2& a_3\\ b_1& b_2& b_3\\ c_1& c_2& c_3\end{array}\right|.$

• Disztributív a vektorösszeadásra nézve

$𝐚𝐛(𝐜+𝐝)=𝐚𝐛𝐜+𝐚𝐛𝐝$.

• Mivel $\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{a}=\overrightarrow{0}$, azért:

  $(\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{a})\cdot \overrightarrow{b}=\overrightarrow{0}\cdot \overrightarrow{b}=\overrightarrow{0}$.

  $(\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b})\cdot \overrightarrow{a}=(\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{a})\cdot \overrightarrow{b}=\overrightarrow{0}\cdot \overrightarrow{b}=\overrightarrow{0}$.

  $(\overrightarrow{b}\times \overrightarrow{a})\cdot \overrightarrow{a}=(\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{a})\cdot \overrightarrow{b}=\overrightarrow{0}\cdot \overrightarrow{b}=\overrightarrow{0}$.

• A skaláris szorzat definíciója alapján:

  $(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c})=(\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b})\cdot \overrightarrow{c}=|(\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b})||\overrightarrow{c}|\cos \sphericalangle (\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b},\overrightarrow{c})$.

ahol $\sphericalangle (\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b},\overrightarrow{c})$ a $\overrightarrow{c}$ vektornak és az $\overrightarrow{a}$ és $\overrightarrow{b}$ vektor síkjára merőleges, azokkal jobbrendszert alkotó vektornak a szöge.

Geometriai jelentése

A paralelepipedon térfogata (V) az alapterület (A) és a magasság (h) szorzata. A vektorok által kifeszített tetraéder térfogata a paralelepipedon térfogatának hatoda.

$V=A\cdot h$

Az a×b vektoriális szorzat nagysága éppen az a és b vektorok által kifeszített paralelogramma területe:

$A=|𝐚\times 𝐛|$.

A paralelepipedon magassága a c vektor vetülete az a×b vektoriális szorzat irányára. Ha α szöget zárnak be egymással, akkor a skaláris szorzat definíciója szerint

$h=\left|𝐜\right|\cos \alpha ={\widehat{𝐞}}_{(𝐚\times 𝐛)}\cdot 𝐜=𝐚𝐛𝐜$

Ebből következik, hogy

$V=A\cdot h=|𝐚\times 𝐛|({\widehat{𝐞}}_{(𝐚\times 𝐛)}\cdot 𝐜)=(𝐚\times 𝐛)\cdot 𝐜$

Ha α = 90°, akkor ez a szorzat nulla. Ekkor a vektorok lineárisan összefüggnek, egy síkban fekszenek, más szóval komplanárisak.

Az előjeles térfogat negatív, ha α > 90°. Ekkor a vektoriális szorzat és a vetített magasság iránya ellentétes, mert a vektorok balsodrású rendszert képeznek.

Algebrai tulajdonságok levezetése

Kifejezése Levi-Civita-szimbólumokkal:

Először a skalárszorzatot ábrázoljuk összegként:

$(\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b})\cdot \overrightarrow{c}=\sum _{i=1}^3(\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}{)}_i\cdot c_i.$

majd a vektoriális szorzatot:

$\sum _{i=1}^3(\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}{)}_i\cdot c_i=\sum _{i=1}^3\sum _{j=1}^3\sum _{k=1}^3{\epsilon }_{ijk}{a}_j{b}_k{c}_i.$

A totálisan antiszimmetrikus ${\epsilon }_{ijk}$ epszilontenzor egyenlő ${\epsilon }_{kij}$-vel, illetve megegyezik ${\epsilon }_{jki}$-vel. Így a vegyes szorzat:

$\sum _{i=1}^3\sum _{j=1}^3\sum _{k=1}^3{\epsilon }_{ijk}{a}_j{b}_k{c}_i=\sum _{i=1}^3\sum _{j=1}^3\sum _{k=1}^3{\epsilon }_{kij}{a}_j{b}_k{c}_i=\sum _{i=1}^3\sum _{j=1}^3\sum _{k=1}^3{\epsilon }_{jki}{a}_j{b}_k{c}_i.$

A szummajelek felcserélésével és zárójelek ügyes beszúrásával:

$\sum _{i=1}^3\left(\sum _{j=1}^3\sum _{k=1}^3{\epsilon }_{ijk}{a}_j{b}_k\right)c_i=\sum _{k=1}^3\left(\sum _{i=1}^3\sum _{j=1}^3{\epsilon }_{kij}{c}_i{a}_j\right)b_k=\sum _{j=1}^3\left(\sum _{k=1}^3\sum _{i=1}^3{\epsilon }_{jki}{b}_k{c}_i\right)a_j.$

A Levi-Civita-szimbólumokról áttérve a vektoriális szorzatra:

$(\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b})\cdot \overrightarrow{c}=(\overrightarrow{c}\times \overrightarrow{a})\cdot \overrightarrow{b}=(\overrightarrow{b}\times \overrightarrow{c})\cdot \overrightarrow{a}.$

Ismételt vektoriális szorzás

Ha egy vektoriális szorzatot megszorzunk még egy vektorral, akkor hármas vektoriális szorzatot kapunk. A Graßmann-azonosság, más néven Graßmann kifejtési tétele szerint:

$\overrightarrow{a}\times (\overrightarrow{b}\times \overrightarrow{c})=(\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{c})\overrightarrow{b}-(\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b})\overrightarrow{c}$

illetve

$(\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b})\times \overrightarrow{c}=(\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{c})\overrightarrow{b}-(\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{c})\overrightarrow{a},$

ahol a szorzópontok a skaláris szorzatot jelölik. A fizikában gyakran az

$\overrightarrow{a}\times (\overrightarrow{b}\times \overrightarrow{c})=\overrightarrow{b}(\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{c})-\overrightarrow{c}(\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}),$

írásmódot használják, és gyakran BAC-CAB-formulának nevezik. Indexes írásmóddal:

$\sum _{k=1}^3{\epsilon }_{ijk}{\epsilon }_{klm}={\delta }_{il}{\delta }_{jm}-{\delta }_{im}{\delta }_{jl}$.

ahol ${\epsilon }_{ijk}$ a Levi-Civita-szimbólum, és ${\delta }_{ij}$ a Kronecker-delta.

Ismételt vegyes szorzás

Két vektorhármas, $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}$ és $\overrightarrow{u},\overrightarrow{v},\overrightarrow{w}$ ismételt vegyes szorzata

$\begin{array}{cc}[(\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b})\cdot \overrightarrow{c}][(\overrightarrow{u}\times \overrightarrow{v})\cdot \overrightarrow{w}]=& \left|\begin{array}{ccc}\overrightarrow{a}& \overrightarrow{b}& \overrightarrow{c}\end{array}\right|\left|\begin{array}{ccc}\overrightarrow{u}& \overrightarrow{v}& \overrightarrow{w}\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccc}(\overrightarrow{a}& \overrightarrow{b}& \overrightarrow{c}{)}^{\mathrm{\top }}\end{array}\right|\left|\begin{array}{ccc}\overrightarrow{u}& \overrightarrow{v}& \overrightarrow{w}\end{array}\right|\\ =& \left|\begin{array}{c}{\left(\begin{array}{ccc}\overrightarrow{a}& \overrightarrow{b}& \overrightarrow{c}\end{array}\right)}^{\mathrm{\top }}\left(\begin{array}{ccc}\overrightarrow{u}& \overrightarrow{v}& \overrightarrow{w}\end{array}\right)\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccc}\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{u}& \overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{v}& \overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{w}\\ \overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{u}& \overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{v}& \overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{w}\\ \overrightarrow{c}\cdot \overrightarrow{u}& \overrightarrow{c}\cdot \overrightarrow{v}& \overrightarrow{c}\cdot \overrightarrow{w}\end{array}\right|\end{array}$

mivel a transzponálás nem változtatja meg a determinánst, másrészt a determinánsok szorzástétele miatt mátrixok szorzásakor a szorzatmátrix determinánsa a determinánsok szorzata. Ha a két vektorhármas megegyezik:

$[(\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b})\cdot \overrightarrow{c}{]}^2=\left|\begin{array}{ccc}\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{a}& \overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}& \overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{c}\\ \overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{a}& \overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{b}& \overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{c}\\ \overrightarrow{c}\cdot \overrightarrow{a}& \overrightarrow{c}\cdot \overrightarrow{b}& \overrightarrow{c}\cdot \overrightarrow{c}\end{array}\right|\ge 0$

és így a Gram-determináns pozitív definit. Ahogy az egyszeres vegyes szorzatnál, úgy ennél is ez a determináns kritérium a tényezők lineáris függetlenségére. A determináns megadja a paralelepipedon térfogatának négyzetét. Ha egy lineáris transzformáció egy paralelepipedont egy másikra képez, akkor a Gram-determináns megadja, hogy hányszorosára változott a térfogatuk. A Gram-determinánsos kifejezés előnye, hogy magasabb dimenziókra is általánosítható.

Az integrálszámítás térfogateleme

A térfogati integrál $\mathrm{d}V$ térfogateleme függ az alkalmazott koordináta-rendszertől. Descartes-féle koordinátákban:

$\mathrm{d}V=\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z$.

Egy másik koordináta-rendszerben, ahol a koordináták $x^{\prime },y^{\prime },z^{\prime }$, a helyi bázisvektorok vegyes szorzataként számítható. Az ${\overrightarrow{b}}_1,{\overrightarrow{b}}_2$ és ${\overrightarrow{b}}_3$ bázisvektorok az adott pontban a koordinátavonalak érintővektorai, melyek a következő koordinátatranszformációból adódnak:

$\overrightarrow{r}=\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}x(x^{\prime },y^{\prime },z^{\prime })\\ y(x^{\prime },y^{\prime },z^{\prime })\\ z(x^{\prime },y^{\prime },z^{\prime })\end{array}\right)$

az $x^{\prime },y^{\prime },z^{\prime }$ koordináták szerinti parciális deriváltjaként:

${\overrightarrow{b}}_1=\frac{\partial \overrightarrow{r}}{\partial x^{\prime }},{\overrightarrow{b}}_2=\frac{\partial \overrightarrow{r}}{\partial y^{\prime }},{\overrightarrow{b}}_3=\frac{\partial \overrightarrow{r}}{\partial z^{\prime }}$.

Egy bázisvektor koordinátái alkotják a Jacobi-mátrix egyik oszlopát. Így e három vektor vegyes szorzatát a funkcionáldetermináns adja meg.

A transzformációs tétel alapján a térfogatelem:

$\mathrm{d}{V}^{\prime }=|\det \frac{\partial (x,y,z)}{\partial (x^{\prime },y^{\prime },z^{\prime })}|\mathrm{d}{x}^{\prime }\mathrm{d}{y}^{\prime }\mathrm{d}{z}^{\prime }$.

Példa: Gömbkoordináták

Áttérés a gömbkoordinátákra:

$\overrightarrow{r}=\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}r\sin \theta \cos \phi \\ r\sin \theta \sin \phi \\ r\cos \theta \end{array}\right)$

így a helyi bázisvektorok a megfelelő pontokban:

${\overrightarrow{b}}_1=\frac{\partial \overrightarrow{r}}{\partial r}=\left(\begin{array}{c}\sin \theta \cos \phi \\ \sin \theta \sin \phi \\ \cos \theta \end{array}\right),{\overrightarrow{b}}_2=\frac{\partial \overrightarrow{r}}{\partial \theta }=\left(\begin{array}{c}r\cos \theta \cos \phi \\ r\cos \theta \sin \phi \\ -r\sin \theta \end{array}\right),{\overrightarrow{b}}_3=\frac{\partial \overrightarrow{r}}{\partial \phi }=\left(\begin{array}{c}-r\sin \theta \sin \phi \\ r\sin \theta \cos \phi \\ 0\end{array}\right)$

Tehát a funkcionáldetermináns:

$\det \frac{\partial (x,y,z)}{\partial (r,\theta ,\phi )}=\det \left(\begin{array}{ccc}\sin \theta \cos \phi & r\cos \theta \cos \phi & -r\sin \theta \sin \phi \\ \sin \theta \sin \phi & r\cos \theta \sin \phi & r\sin \theta \cos \phi \\ \cos \theta & -r\sin \theta & 0\end{array}\right)=r^2\sin \theta .$

amiből adódik a térfogatelem: $\mathrm{d}V$:

$\mathrm{d}V=|\det \frac{\partial (x,y,z)}{\partial (r,\theta ,\phi )}|\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta \mathrm{d}\phi =r^2\sin \theta \mathrm{d}r\mathrm{d}\theta \mathrm{d}\phi .$

Források

• Wolfgang Gawronski: Grundlagen der Linearen Algebra. Aula-Verlag, Wiesbaden 1996, Sablon:ISBN
• Sablon:Cite book
• Sablon:Cite book