Unitér mátrix

A komplex U unitér mátrix négyzetes mátrix, melynek transzponált konjugáltja (*-gal jelölve) egyben inverze is:

$U^{*}U=U{U}^{*}=E.$

$U^{-1}=\stackrel{T}{\stackrel{‾}{U}}.$

Speciális eset

Az unitér mátrix speciális esete az ortogonális mátrix, melyben csak valós számok szerepelnek.

Tulajdonságok

• Sajátértékeinek abszolút értéke 1.
• U invertálható
• |det($U$)| = 1
• skalárszorzattartó: :$⟨Ux,Uy⟩=⟨x,y⟩$, ahol $⟨\cdot ,\cdot ⟩$ skalárszorzat
• normatartó: $\Vert Ux\Vert =\Vert x\Vert$
• $U$ oszlopai ortonormált bázist alkotnak
• $U$ sorai ortonormált bázist alkotnak
• a mátrixhoz tartozó lineáris leképezés izometria

Normális mátrixok, ezért a spektrálelmélet szerint felbonthatók a következőképpen:

$U=V\mathrm{\Sigma }{V}^{*}$

Az nxn-es unitér mátrixok csoportot alkotnak

Példa

$\left[\begin{array}{ccc}{2}^{-1/2}& 2^{-1/2}& 0\\ -2^{-1/2}i& 2^{-1/2}i& 0\\ 0& 0& i\end{array}\right]$

Források

• Sablon:Mathworld