Polárkoordináta-rendszer

A polárkoordinátázás a sík egyfajta görbevonalú bekoordinátázása. Koncentrikus körök és sugárirányú egyenesek alkotják a hálózatot

A matematikában és a geodéziában a polárkoordináta-rendszer olyan kétdimenziós koordináta-rendszer, mely a sík minden pontját egy szög és egy távolság adattal látja el. Tulajdonképpen itt a sík egy paraméterezéséről beszélhetünk. A polárkoordináták a sík egy kitüntetett pontjától mért távolságból és egy, a ponton átmenő, vektorosan definiált egyenestől mért irányszögből állnak. Konkrétan a hozzárendelés, mely a sík derékszögű koordináta-rendszerben megadott (x,y) koordinátájú pontjait ellátja polárkoordinátákkal a következő kapcsolatban van a derékszögű koordinátákkal:

$\{\begin{array}{c}x=r\cdot \cos \phi \\ y=r\cdot \sin \phi \end{array}$

ahol r a sík P(x,y) pontjának origótól mért távolsága (nemnegatív szám), φ pedig az x tengely és az OP szakasz irányított szögtávolsága (ez radiánban 0 és 2π közötti érték, fokban 0° és 360° közötti). A koordinátavonalakat ebben a rendszerben egyfelől azon pontok alkotják, melyek mentén a φ koordináta állandó, vagyis az origóból induló félegyenesek, másrészt azok, amelyek mentén r állandó, vagyis az origó középpontú körök. A matematikában a szög előjeles, a pozitív forgásirány az óramutató járásával ellentétes irány. A geodéziában az óramutató járása szerinti irány a pozitív. A polárkoordináta-rendszerek a derékszögű görbe vonalú koordináta-rendszerek speciális esetei.

A polárkoordináta rendszert olyankor célszerű használni az elterjedtebb Descartes-féle derékszögű koordináta-rendszerrel szemben, ha a pontok helyének megadása egyszerűbb távolságokkal és szögekkel, mint két egymásra merőleges szakasz hosszával. Ilyen terület például a geodézia, ahol a derékszögű koordináta-rendszer az ortogonális mérésnek felel meg, amit mérőszalaggal és derékszögprizmával végeznek. A pontos szögmérő műszerek (teodolit) elterjedésével a poláris mérés került előtérbe, amely távolság- és szögmérési adatokból számít koordinátákat.

Definíció

Amikor polárkoordinátával jellemezzük a sík egy P pontját, akkor a pontot két adatával adjuk meg. Ehhez először rögzítenünk kell egy középpontot, a pólust (vagy a derékszögű koordináta rendszerrel történő összevetésben az origót), továbbá egy origó végpontú félegyenest, mely a kezdő irányt rögzíti. A polárkoordináták közül a távolsági adat a kezdőponttól adott távolságban lévő pontok halmazát, azaz egy kört határoz meg. Az irányszög a kezdő iránytól adott szögben látszó pontok halmazát, azaz egy félegyenest határoz meg. A körív és a félegyenes metszéspontja lesz a polárkoordinátákkal megadott pont.

Az r-rel jelölt koordináta, a sugár, a pont origótól mért távolsága, néha R-rel vagy ρ-val is jelölik. Ha O jelöli az origót és OA jelöli a kezdő irány félegyenesét, akkor a P pont φ koordinátája nem más, mint az OP félegyenes és az OA félegyenes irányított szöge. Az irányítás azt jelenti, hogy a szöget az OA félegyenestől az óramutató járásával ellentétes körüljárással mérjük. A szöget gyakran még θ-val, α-val és még sok mással is jelölik. A szög megadása az SI-nek megfelelő módon radiánban történik, de sokszor természetesen fokokat is használnak.

Átváltás a derékszögű és polárkoordináták között

Világos, hogy ha az r és a φ adott a sík egy P pontjára vonatkoztatva, akkor az szögfüggvények 90°-nál nagyobb szögekre való kiterjesztésének definíciója folytán a derékszögű koordinátákba való átváltás a következő. Ha a kezdő irányt az x tengelynek fogjuk fel és ennek origó körüli +90°-os elforgatottját az y tengelynek, akkor a derékszögű koordináták:

$x=r\cdot \cos \phi$

$y=r\cdot \sin \phi$

Ha a derékszögű koordináták az adottak, akkor az x és y adatokból a távolságot például a Pitagorasz-tétellel számíthatjuk:

$r=\sqrt{x^2+y^2}$

A φ értékéhez a szögfüggvényértékek visszakeresésének módszerével juthatunk. Itt természetesen vigyázni kell arra – mint minden esetben, amikor trigonometrikus értékekből következtetünk vissza szögértékre –, hogy helyes szöget adjon vissza a számítás. Ehhez a következőket kell szem előtt tartani.

• $r$ = 0 esetén φ a polárkoordináta-rendszerben határozatlan, azaz bármely valós érték alkalmas lenne az origó szögének jellemzésére, hiszen ez az érték egyáltalán nem jellemzője az origónak
• $r$ ≠ 0 esetén ahhoz, hogy a φ polárkoordinátára egyetlen értéket kapjunk, 2π hosszúságú intervallumra kell korlátozódnunk. A szokásos tartományok [0, 2π) vagy (-π, π].

[0, 2π) illetve [0, 360°) intervallumba eső szög esetén

A [0, 2π) tartományban az inverz szögfüggvények (arkusz függvények) segítségével kapjuk meg φ-t:

$\phi =\{\begin{array}{cc}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}(\frac{y}{x})& \text{ha }x>0\acute{e}sy\ge 0\\ \mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}(\frac{y}{x})+2\pi & \text{ha }x>0\acute{e}sy<0\\ \mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}(\frac{y}{x})+\pi & \text{ha }x<0\\ \frac{\pi }{2}& \text{ha }x=0\acute{e}sy>0\\ \frac{3\pi }{2}& \text{ha }x=0\acute{e}sy<0\end{array}$

Az árkusz koszinusz leegyszerűsíti az esetszétválasztást:

${\phi }^{\prime }=\{\begin{array}{cc}\arccos \frac{x}{r}& \mathrm{h}\mathrm{a}y\ge 0\\ 2\pi -\arccos \frac{x}{r}& \mathrm{h}\mathrm{a}y<0\end{array}$

(−π, π] illetve (−180°,180°] intervallumba eső szög esetén

A (-π, π] tartományban pedig a φ polárszög értéke:

$\phi =\{\begin{array}{cc}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}(\frac{y}{x})& \text{ha }x>0\\ \mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}(\frac{y}{x})+\pi & \text{ha }x<0\acute{e}sy\ge 0\\ \mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}(\frac{y}{x})-\pi & \text{ha }x<0\acute{e}sy<0\\ \frac{\pi }{2}& \text{ha }x=0\acute{e}sy>0\\ -\frac{\pi }{2}& \text{ha }x=0\acute{e}sy<0\end{array}$

Egyes programozási nyelvek és alkalmazások tartalmaznak egy arctan2(x, y) függvényt, ami figyelembe veszi a fenti esetszétválasztást, és tetszőleges $x,y$ esetén képes φ értéket számolni.

Ugyanezt az eredményt kapjuk, ha az $x,y$ koordinátájú pontot azonosítjuk a $z=x+\mathrm{i}y$ komplex számmal, és az

$\phi =\arg (z)$

szöget az $\arg$ argumentumfüggvénnyel számoljuk.

Az árkusz koszinusz segítségével az esetszétválasztás egyszerűsíthető:

$\phi =\{\begin{array}{cc}+\arccos \frac{x}{r}& \mathrm{h}\mathrm{a}y\ge 0\\ -\arccos \frac{x}{r}& \mathrm{h}\mathrm{a}y<0\end{array}$

A középponti és a kerületi szögek tételéből tudjuk, hogy egy körben a középponti szög kétszer akkora, mint a hozzá tartozó kerületi szög. Így a $\phi$ szög kiszámítása az árkusz tangens használatával is egyszerűsíthető:

$\phi =\{\begin{array}{cc}2\mathrm{arctg}\frac{y}{r+x}& \mathrm{h}\mathrm{a}r+x\ne 0\\ \pi & \mathrm{h}\mathrm{a}r+x=0\end{array}$

A szög eltolása

Egyes alkalmazásokban más szögtartományokat használnak. Legyen ${\phi }_{\text{min}}=0$ az alsó határ! Ekkor az

$\varphi =\phi -2\pi \cdot \lfloor \frac{\phi -{\phi }_{\text{min}}}{2\pi }\rfloor$

egyenlet a $\phi$ szöget a kívánt intervallumba transzformálja, így az is teljesül, hogy $\varphi \in [{\phi }_{\text{min}},{\phi }_{\text{min}}+2\pi )$. Itt $x\mapsto \lfloor x\rfloor$ az alsó egészrész, vagyis $\lfloor x\rfloor$ minden $x$ valós számhoz a legnagyobb egész számot rendeli, ami nem nagyobb, mint $x$.

Koordinátavonalak

Egy $(r_0;{\phi }_0)$ koordinátákkal adott pont koordinátavonalai:

${\overrightarrow{k}}_1(r)=\left(\begin{array}{c}r\cos {\phi }_0\\ r\sin {\phi }_0\end{array}\right),r\in [0,\mathrm{\infty }[$ és

${\overrightarrow{k}}_2(\phi )=\left(\begin{array}{c}{r}_0\cos \phi \\ r_0\sin \phi \end{array}\right),\phi \in [0,2\pi [$,

azaz egy, a középpontból kiinduló félegyenes, és egy origó körüli $r_0$ sugarú kör.

Példák polárkoordinátákra

Egyes algebrai görbék polárkoordinátás egyenletekkel definiálhatók. Sok esetben az ilyen egyenletek egyszerűen az $r$ sugarat θ függvényében adják meg. Az eredményül kapott görbe pontjait $(r(\vartheta ),\vartheta )$ alakban kapjuk meg és a görbét $r$ polárkoordinátás függvény grafikonjának tekinthetjük.

A szimmetria különböző estei az $r$ függvényből vezethetők le. Ha $r(-\vartheta )$ = $r(\vartheta )$, akkor a görbe szimmetrikus a (0°/180°) egyenesre, ha $r(\pi -\vartheta )$ = $r(\vartheta )$, akkor a függőleges (90°/270°) egyenesre szimmetrikus és ha $r(\vartheta -\alpha )$ = $r(\vartheta )$, akkor a görbe centrálisan szimmetrikus az origóra.

Bizonyos görbék függvénye sokkal egyszerűbben írható fel polárkoordináták segítségével, mint derékszögű koordinátákkal. Az ismertebbek közé tartozik az arkhimédészi spirál, a lemniszkáta, a Pascal-féle csigagörbe és a kardioid.

Kör

Az ($r$₀, φ) középpontú és $a$ sugarú kör általános egyenlete

$r^2-2r{r}_0\cos (\vartheta -\phi )+r_0^2=a^2.$

Ez különböző módon egyszerűbbé tehető, hogy egyes speciális eseteknek megfeleljen, például ez az egyenlet

$r(\vartheta )=a$

olyan $a$ sugarú kört ír le, melynek középpontja a pólusban van.

Egyenes

A $0<\vartheta <6\pi$ tartományban az
$r(\vartheta )$ = $\vartheta$ egyenlettel leírható arkhimédészi spirál egyik ága

Sugárirányú egyenesek (vagyis, amelyek a póluson átmennek) egyenlete:

$\vartheta =\phi$,

ahol φ az egyenes szöge, azaz φ = arctan $m$, ahol $m$ az egyenes meredeksége (iránytangense) derékszögű koordináta-rendszerben. Nem sugárirányú egyenes egyenlete, mely a sugárirányú $\vartheta$ = φ egyenletű egyenesre merőleges és azt a ($r$₀, φ) pontban metszi:

$r(\vartheta )=r_0\sec (\vartheta -\phi ).$

Arkhimédészi spirál

Az arkhimédészi spirál egy Arkhimédész által felfedezett híres spirális görbe, melyet szintén le lehet írni egyszerű polárkoordinátás egyenlettel:

$r(\vartheta )=a+b\vartheta .$

Az a paraméter változtatásával megfordul a spirális, a b viszont a spirális egy sugárhoz tartozó pontjainak távolságát adja meg, ami egy spirálisnál állandó érték. Az arkhimédészi spirálnak két ága van, az egyikre θ > 0, a másikra θ < 0. A két ág simán csatlakozik egymáshoz a pólusban. Az egyik ág tükörképe a 90°/270° egyenesre, mint tükörtengelyre a másik ágat adja. Ez a görbe az egyik első görbe volt a kúpszeletek után, mely a matematikai értekezésekben például szolgált a polárkoordinátás leírásra.

Kúpszeletek

Ellipszis

A kúpszelet polárkoordinátás egyenlete, ha a pólusban van az egyik fókusza és a másik valahol a 0°-os sugáron (így a főtengelye a poláris tengelyen fekszik):

$r=\frac{\ell }{1+e\cos \vartheta }$

ahol e az excentricitás, és $\ell$ a semi-latus rectum (a fókuszból a főtengelyre a görbéig húzott egyenes szakasz hossza, ld. az ábrát). Ha e > 1, akkor az egyenlet hiperbolát definiál, ha e = 1, akkor a parabola egyenlete, míg e < 1 esetén a görbe ellipszis. Speciális eset az e = 0 az utóbbinál, amikor is az ellipszis $\ell$ sugarú körré fajul.

Komplex szám trigonometrikus alakja

Egy z komplex szám ábrázolása a komplex síkon

Egy z komplex szám ábrázolása az Euler-formula segítségével

Minden komplex szám felfogható úgy, hogy az egy pont a komplex síkon, és így kifejezhető, mint egy derékszögű koordináta-rendszer egy pontja, vagy egy pont a polárkoordináta rendszeren. Derékszögű koordináta-rendszerben egy z szám így írható fel:

$z=x+iy$

ahol i a képzetes egység, vagy polárkoordinátás alakba átírva:

$z=r\cdot (\cos \vartheta +i\sin \vartheta )$

és innen

$z=r{e}^{i\vartheta }$

ahol e az Euler-féle szám, melyek azonosak az Euler-formula értelmében.

(Megjegyzendő, hogy ez a képlet ugyanúgy, mint minden más összefüggés, mely szögek hatványait tartalmazza, feltételezi, hogy a szögek radiánban vannak megadva.) A komplex számok derékszögű és polárkoordinátás alakjai közötti konverzió a fentebb leírt szabályok szerint történik.

A komplex számok szorzása, osztása és hatványozása általában sokkal egyszerűbb a poláris alakkal, mint a derékszögű változattal. A hatványozás szabályai szerint

• A szorzás:

$r_0{e}^{i{\vartheta }_0}\cdot r_1{e}^{i{\vartheta }_1}=r_0{r}_1{e}^{i({\vartheta }_0+{\vartheta }_1)}$

• Az osztás:

$\frac{r_0{e}^{i{\vartheta }_0}}{r_1{e}^{i{\vartheta }_1}}=\frac{r_0}{r_1}{e}^{i({\vartheta }_0-{\vartheta }_1)}$

• A hatványozás (De Moivre-képlet):

$(r{e}^{i\vartheta }{)}^n=r^n{e}^{in\vartheta }$

Polárkoordináta-transzformáció az analízisben

Polárkoordináta-transzformációt gyakran alkalmaznak olyan kétváltozós függvények esetén, melyek valamilyen középpontos szimmetriát mutatnak. Ekkor az D &sunbe; R × R halmazon értelmezett

$f:D\to 𝐑;(x,y)\mapsto f(x,y)$

függvény helyett az

$(f\circ G)(r,\phi )=f(r\cdot \cos \phi ,r\cdot \sin \phi )$

függvényt vizsgálják, ahol a

$G:[0,+\mathrm{\infty })\times [0,2\pi );(r,\phi )\mapsto (r\cdot \cos \phi ,r\cdot \sin \phi )$

leképezés a polártranszformáló függvény.

Megjegyzendő, hogy G csak majdnem mindenhol injektív. G legbővebb injektivitási tartománya a

$(0,+\mathrm{\infty })\times [0,2\pi )$

Folytonosság, határérték

Kétváltozós függvény origóbeli határértékének létezését polárkoordinátákban a következőképpen mutathatjuk ki. Ha f kétváltozós függvény és A valós szám, akkor

$\mathrm{\exists }\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{0}f=A\iff \mathrm{\forall }(r_n,{\phi }_n)\in (\mathrm{D}\mathrm{o}\mathrm{m}(f\circ G)\setminus \{0\}\times [0,2\pi ){)}^{{𝐙}^{+}}(\mathrm{\exists }\lim (r_n)=0\Rightarrow \mathrm{\exists }\lim (f(G(r_n,{\phi }_n)))=A)$

Például az

$f(x,y)=\frac{x{y}^2}{x^2+y^2}$

függvénynek létezik az origóban határértéke, mert az x = r $\cdot$ cos(φ), y = r $\cdot$ sin(φ) helyettesítéssel:

$f(x(r,\phi ),y(r,\phi ))=\frac{r^3\cos (\phi ){\sin }^2(\phi )}{r^2}=r\cos (\phi ){\sin }^2(\phi )$

amely (0-hoz tartó) $\cdot$ (korlátos) alakú és így a 0-hoz tart. Míg az

$f(x,y)=\frac{xy}{x^2+y^2}$

függvénynek nem létezik az origóban határértéke, helyettesítve az

$f(x(r,\phi ),y(r,\phi ))=\frac{r^2\cos (\phi )\sin (\phi )}{r^2}=\cos (\phi )\sin (\phi )$

függvényt kapjuk, ami az φ = 0 esetén a 0 értéket veszi föl, de φ = π/4-re az 1/2-et adja, így létezik két irány, amelyek felől a 0-hoz tartva az r-rel a függvényértékek sorozata nem azonos számokhoz tart.

Polárkoordinátás görbe érintője

Az $r(\vartheta )$ poláris görbe érintője meredekségének meghatározásához bármelyik pontban először írjuk át a görbe egyenletét paraméteres egyenletrendszerbe:

$x=r(\vartheta )\cos \vartheta$

$y=r(\vartheta )\sin \vartheta$

Mindkét egyenletet θ szerint deriválva ezt kapjuk:

$\frac{dx}{d\vartheta }=r^{\prime }(\vartheta )\cos \vartheta -r(\vartheta )\sin \vartheta$

$\frac{dy}{d\vartheta }=r^{\prime }(\vartheta )\sin \vartheta +r(\vartheta )\cos \vartheta$

A második egyenletet az elsővel osztva megkapjuk a görbe egy tetszőleges (r, $r(\vartheta )$) pontjában az érintő meredekségét a derékszögű koordináta-rendszerben:

$\frac{dy}{dx}=\frac{r^{\prime }(\vartheta )\sin \vartheta +r(\vartheta )\cos \vartheta }{r^{\prime }(\vartheta )\cos \vartheta -r(\vartheta )\sin \vartheta }$

Szektortartomány területe

Az R integrálási területet az $r(\vartheta )$ görbe és a θ = a és a θ = b sugár határolja.

Az R területet n darab egyenlő ívű körcikkel közelítjük (itt n = 5).

Jelölje R azt a területet, melyet az $r(\vartheta )$ görbe és a $\vartheta$ = a és $\vartheta$ = b zár közre, ahol 0 < b − a < 2π. Ekkor az R területe:

$\frac{1}{2}\underset{a}{\overset{b}{\int }}r(\vartheta {)}^{2}d\vartheta .$

Ez az eredmény a következőképpen vezethető le. Először az [a, b] intervallumot n számú részre bontjuk, ahol n tetszőleges pozitív egész szám. Így a részek Δθ ívhossza b − a (a terület teljes ívhossza) osztva a részek számával. Minden egyes i = 1, 2, …, n résznél legyen ${\vartheta }_i$ a rész szögfelezője és szerkesszünk olyan körcikket, melynek középpontja a pólus, sugara $r({\vartheta }_i)$, középponti szöge $\mathrm{\Delta }\vartheta$ és ívhossza $r({\vartheta }_i)\mathrm{\Delta }\vartheta$. Az egyes körcikkek területe ennélfogva: $\frac{1}{2}r({\vartheta }_i{)}^2\mathrm{\Delta }\vartheta$. Következésképpen a körcikkek összterülete:

$\sum _{i=1}^n\frac{1}{2}r({\vartheta }_i{)}^2\mathrm{\Delta }\vartheta .$

A részterületek n számának növelésével a terület közelítése javul. Ha n → ∞, az összeg a fenti integrál Riemann összegéhez tart.

Integráltranszformáció

G folytonosan differenciálható (sőt, analitikus) az értelmezési tartománya belsején, Jacobi-mátrixa:

${\mathrm{J}}^G(r,\phi )=\left(\begin{array}{cc}\cos (\phi )& -r\cdot \sin (\phi )\\ & \\ \sin (\phi )& r\cdot \cos (\phi )\end{array}\right)$ és ennek determinánsa: $\det {\mathrm{J}}^G(r,\phi )=r$

Legyen tehát a kétváltozós f valós függvény integrálható egy olyan T ⊆ R×R tartományon, mely polárkoordináta-hálózathoz jól illeszkedik. Ekkor az eredetileg x és y paraméterekkel megadott T = T_x,y tartományon az integrál kiszámítását visszavezethetjük a (0,+R) × (0,2π) tégla egy feltehetőleg T-nél alkalmasabb

$T_{r,\phi }=\{(r,\phi )\in (0,+R)\times (0,2\pi )\mid (x(r,\phi ),y(r,\phi ))\in T_{x,y}\}$

részhalmazán történő integráljára:

$\underset{T_{x,y}}{\int }f(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y=\underset{T_{r,\phi }}{\int }f(x(r,\phi ),y(r,\phi ))\cdot r\mathrm{d}r\mathrm{d}\phi$

Vektoranalízis

A vektoranalízist szintén lehet alkalmazni a polárkoordinátákra. Legyen $𝐫$ egy $(r\cos (\vartheta ),r\sin (\vartheta ))$ helyvektor, ahol r és $\vartheta$ a t idő függvénye, $\widehat{𝐫}$ pedig egy $𝐫$ irányú egységvektor, $\hat{\mathit{\vartheta }}$ pedig egy $𝐫$-re merőleges egységvektor. A helyvektor idő szerinti első és második deriváltja:

$\frac{d𝐫}{dt}=\dot{r}\widehat{𝐫}+r\dot{\vartheta }\hat{\mathit{\vartheta }},$

$\frac{d^2𝐫}{d{t}^2}=(\ddot{r}-r{\dot{\vartheta }}^2)\widehat{𝐫}+(r\ddot{\vartheta }+2\dot{r}\dot{\vartheta })\hat{\mathit{\vartheta }}.$

Lokális bázisvektorok és ortogonalitás

Egyenes vonalú koordináta-rendszerekben (lásd: affin koordináta-rendszer) a teljes vektortérnek van bázisa. Görbe vonalú koordináta-rendszerekben minden pontban külön bázissal kell számolni. A helyi ${\overrightarrow{b}}_1$ és ${\overrightarrow{b}}_2$ bázisvektorok a koordinátavonalak érintői, és a görbeegyenletekből adódnak azok paraméter szerinti deriválásával. Ugyanehhez az eredményhez eljuthatunk az $\overrightarrow{r}$ helyvektor koordinátatranszformációjának parciális deriválásával az $r$ és $\phi$ koordináták szerint:

$\overrightarrow{r}=\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}r\cos \phi \\ r\sin \phi \end{array}\right)$

illetve

${\overrightarrow{b}}_1=\frac{\partial \overrightarrow{r}}{\partial r}=\left(\begin{array}{c}\cos \phi \\ \sin \phi \end{array}\right)$ és ${\overrightarrow{b}}_2=\frac{\partial \overrightarrow{r}}{\partial \phi }=\left(\begin{array}{c}-r\sin \phi \\ r\cos \phi \end{array}\right)$.

A bázisvektorok hossza

$|{\overrightarrow{b}}_1|=\sqrt{{\overrightarrow{b}}_1{\overrightarrow{b}}_1}=1$ és $|{\overrightarrow{b}}_2|=\sqrt{{\overrightarrow{b}}_2{\overrightarrow{b}}_2}=r$

és ortogonálisak egymásra, mivel:

${\overrightarrow{b}}_1{\overrightarrow{b}}_2=0$.

Így a koordinátavonalak merőlegesek egymásra, tehát a polárkoordináta-rendszer ortogonális koordináta-rendszer.

A tenzorszámításban a koordinátavonalakhoz érintőleges lokális koordináta-rendszerek a koordinátatranszformációk során kovariánsan viselkednek.

Metrikus tenzor

Egy kovariáns $g=(g_{ij})$ metrikus tenzor komponensei a kovariáns helyi bázisvektorok skaláris szorzatai:

$g_{ij}={\overrightarrow{b}}_i{\overrightarrow{b}}_j(i,j\in \{1,2\})$.

Az előző szakasz eredményeit felhasználva:

$g=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& r^2\end{array}\right)$.

Funkcionáldetermináns

A polárkoordinátákról az $x=r\cos \phi ,y=r\sin \phi$ Descartes-koordinátákra való áttérés funkcionáldeterminánsa a Jacobi-mátrix determinánsa:

$\det J=\det \frac{\partial (x,y)}{\partial (r,\phi )}=\left|\begin{array}{cc}\frac{\partial x}{\partial r}& \frac{\partial x}{\partial \phi }\\ \frac{\partial y}{\partial r}& \frac{\partial y}{\partial \phi }\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}\cos \phi & -r\sin \phi \\ \sin \phi & r\cos \phi \end{array}\right|=r{\cos }^2\phi +r{\sin }^2\phi =r$

Felszínelem

$r\cdot \mathrm{d}\phi$ szélességű és $\mathrm{d}r$ magasságú felszínelem polárkoordinátákkal

A funkcionáldeterminánssal adódik a felszínelem polárkoordinátákban:

$\mathrm{d}A=\mathrm{d}x\mathrm{d}y=|J|\mathrm{d}r\mathrm{d}\phi =r\mathrm{d}r\mathrm{d}\phi$

A felszínelem értelmezhető differenciális téglalapként, melynek szélessége $r\cdot \mathrm{d}\phi$ és magassága $\mathrm{d}r$.

Vonalelem

A fenti

$x=r\cos \phi$

$y=r\sin \phi$

transzformációegyenletekből következik, hogy

$\mathrm{d}x=\cos \phi \mathrm{d}r-r\sin \phi \mathrm{d}\phi$

$\mathrm{d}y=\sin \phi \mathrm{d}r+r\cos \phi \mathrm{d}\phi$

A kartesiánus vonalelemre teljesül, hogy:

$\mathrm{d}{s}^2=\mathrm{d}{x}^2+\mathrm{d}{y}^2$

amiből a polárkoordinátákra:

$\mathrm{d}{s}^2=\mathrm{d}{r}^2+r^2\mathrm{d}{\phi }^2$

Sebesség és gyorsulás polárkoordinátákban

A mozgást sugaras és a rá merőleges érintőleges irányra bontjuk. Az $\dot{\overrightarrow{r}}$ sebességvektorra teljesül, hogy:

$\dot{\overrightarrow{r}}=\dot{r}{\overrightarrow{e}}_r+r\dot{\phi }{\overrightarrow{e}}_{\phi }$

ahol ${\overrightarrow{e}}_r=(\cos (\phi ),\sin (\phi ))$ és ${\overrightarrow{e}}_{\phi }=(-\sin (\phi ),\cos (\phi ))$ egységvektorok.

Az $\ddot{\overrightarrow{r}}$ gyorsulásra:

$\ddot{\overrightarrow{r}}=(\ddot{r}-r{\dot{\phi }}^2){\overrightarrow{e}}_r+(2\dot{r}\dot{\phi }+r\ddot{\phi }){\overrightarrow{e}}_{\phi }.$

Története

A szög és a távolság fogalmakat az ókorban a Krisztus előtti első évezredben már ismerték. Hipparkhosz elsőként (190–120) állított elő húrtáblázatot (a szinusztáblázat ősét), hogy a húr hosszának ismeretében meg lehessen találni a hozzá tartozó szöget. Ennek segítségével tudott polárkoordinátákat használni, és ezzel meghatározni bizonyos csillagok helyét. Műve azonban csak a koordináta-rendszernek csak egy részét ismertette.

Arkhimédész A spirálokról című művében írt spirálokról, ahol a sugár a szög függvényében változik (lásd arkhimédészi spirál). Azonban ő sem írt a teljes koordináta-rendszerről.

Különböző leírások készültek arról, hogyan definiálható a polárkoordináta-rendszer egy formális koordináta-rendszer részeként. A téma történetét Julian Coolidge, a Harvard professzora foglalta össze Origin of Polar Coordinates című könyvében. Eszerint Grégoire de Saint-Vincent és Bonaventura Cavalieri egymástól függetlenül vezették be a fogalmat a 17. század közepén. Saint-Vincent magánjellegű feljegyzéseiben 1625-ben írt róla, és 1647-ben jelentette meg művét. Cavalieri 1635-ben adta ki az első változatot, és az újabb, javított változatot 1653-ban. Cavalieri arra használta, hogy megoldjon egy arkhimédészi spirállal kapcsolatos problémát. Később Blaise Pascal polárkoordináta-rendszerrel számította ki parabolikus szögek hosszát.

Sir Isaac Newton az 1671-ben megírt, és 1736-ban kiadott Method of Fluxions című művében polárkoordináta-rendszerek közötti transzformációkról írt, a „Seventh Manner; For Spirals“ fejezetben. Emellett még kilenc más koordináta-rendszert is bevezetett.

Jakob Bernoulli az Acta Eruditorum (1691) szakmai folyóiratban alkalmazott egy rendszert, ami egy egyenesből és egy rajta kijelölt pontból állt, melyet pólusnak nevezett. A koordinátákat a pólustól mért távolság és az egyenessel bezárt szög határozta meg. Bernoulli munkája bevezette a simulókör fogalmát is, melyet ezekkel a koordinátákkal határozott meg.

Gregorio Fontana a 18. században bevezette a polárkoordináták fogalmát az olasz nyelvbe. George Peacock 1816-ban bevezette ezt az angol nyelvbe, amikor Sylvestre Lacroix művét, a Differential and Integral Calculust fordította.

Elsőként Alexis-Claude Clairaut gondolta tovább a polárkoordinátákat három dimenzióba, azonban ez végül csak Leonhard Eulernak sikerült.

Fordítás

• Sablon:Fordítás
• Sablon:Fordítás

Források

• Pattantyús Gépész- és Villamosmérnökök Kézikönyve 1. kötet. Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1961
• Sablon:Cite book